数学重点内容精选——第六章

1、 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 第六章第六章 不等式、推理与证明不等式、推理与证明 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 目录链接目录链接 第二节第二节 均值不等式均值不等式11 第三节第三节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法. 20 第四节第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 29 第五节第五节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理.36 第六节第六节 直接证明与间接证明直接证

2、明与间接证明.45 第七节第七节 数学归纳法数学归纳法.51 第一节第一节 不等关系与不等式不等关系与不等式.3 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 第一节第一节 不等关系与不等式不等关系与不等式 考 纲 展 示 1了解现实世界和日常生活中的不等关系 2了解不等式(组)的实际背景 3掌握不等式的性质及应用 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 不等式性质的考查主要以客观题为主，难度中等偏下 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题

3、角度 高考对不等式性质的考查有以下几个命题角度： (1)与充要条件相结合命题； (2)与命题真假的判断相结合命题； (3)求代数式的取值范围 高频考点全通关不等式性质的简单应用 【命题角度命题角度】 【考情分析考情分析】 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 【答案答案】A 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解与充要条件相结合命题与充要条件相结合命题 例 1(2013天津高考)设 a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解析】(ab)a

4、20，则必有 ab0，即 ab； 而 ab 时，不能推出(ab)a20，如 a0，b1， 所以“(ab)a20”是“ab1，ccb； acloga(bc) 其中所有正确结论的序号是() ABCD 【解析】由不等式性质及 ab1，知1 a1b，又 ccb，正确；由指数函数的图象与性质，知正确； 由 ab1，cbc1c1， 由对数函数的图象与性质，知正确 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解与命题真假的判断相结合命题与命题真假的判断相结合命题 高频考点全通关不等式性质的简单应用 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关

5、二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解求代数式的取值范围求代数式的取值范围 例 3(2014南通模拟)设 x，y 为实数，满足 3xy28，4x2 y 9， 则x3 y4的最大值是_ 【解析】4x2 y 9，1 9 y x214， 1 81y 2 x4 1 16. 又3xy28，而x3 y4 1 y4 x3 1 xy2y2 x4，且 1 27xy2y 2 x412，2x 3 y427. 【答案】27 高频考点全通关不等式性质的简单应用 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题

6、类型，掌握解题策略 不等式性质的应用问题的常见类型及解题策略 (1)与充要条件相结合问题 用不等式的性质分别判断 pq 和 qp 是否正确，要注意 特殊值法的应用 (2)与命题真假判断相结合问题 解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特 殊值验证的方法 (3)求代数式的取值范围 要注意不等式同向可乘性的适用条件以及整体思想的运用 高频考点全通关不等式性质的简单应用 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 1已知 ab0，给出下列四个不等式： a

7、2b2；2a2b1；abab；a3b32a2b. 其中一定成立的不等式为 () ABCD 解析：选 A由 ab0，可得 a2b2，成立；由 ab0，可得 ab1， 而函数 f(x)2x在 R 上是增函数，f(a)f(b1)，即 2a2b1，成立； ab0，ab，(ab)2(ab)22ab2b2b(ab)0， abab，成立；若 a3，b2，则 a3b335,2a2b36，则 a3b30ba，cdbc；a dbcbd；a(dc)b(dc) 中正确的命题为_ 解析：a0b，cd0，ad0，则 ad0ba，知 ab0，又cd0， 因此 a(c)(b)(d)，即 acbd0， a dbcacbdcd

8、bd，正确； ab，dc0，a(dc)b(dc)，正确 答案： 高频考点全通关不等式性质的简单应用 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 考 纲 展 示 第二节均值不等式第二节均值不等式 1了解均值不等式的证明过程 2会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 利用均值不等式求最值是高考的常考内容，题型既有选择题、填空 题，也有解答题 高考对利用均值不等式求最值的考查常有以下几个命题角度： (1)知和求积的最值；

9、 (2)知积求和的最值； (3)构造不等式求最值 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度 高频考点全通关利用均值不等式求最值 【考情分析考情分析】 【命题角度命题角度】 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 【答案答案】 D 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解知和求积的最值知和求积的最值 例 1(2013福建高考)若2x2y1，则 xy 的取值范围是() A0,2B2,0 C2，)D(，2 【解析】因为 2x0,2y0，所以 12x2y22x 2y22xy， 故2xy1 2，即 2x y1 4

10、2 2，所以 xy2. 高频考点全通关利用均值不等式求最值 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解知积求和的最值知积求和的最值 例 2(2013 山东高考)设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0. 则当xy z 取得最大值时，2 x1y2z的最大值为( ) A0B1C.9 4 D3 【解析】由 x23xy4y2z0，得 zx23xy4y2， xy z xy x23xy4y2 1 x y4yx 3.又 x、y、z 为正实数， x y4yx 4， 当且仅当 x2y 时取等号，

11、此时 z2y2. 2 x1y2z 2 2y1y 2 2y2 1 y 22 y 1 y1 21， 当1 y1，即 y1 时，上式有最大值 1. 【答案】B 高频考点全通关利用均值不等式求最值 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解构造不等式求最值构造不等式求最值 例 3(2013 天津高考)设 ab2，b0，则 1 2|a|a|b 的 最小值为_ 解析：ab2，b0，b2a0，得 a2.令 t 1 2|a|a|b ab 4|a| |a| b ， 当 0a2 时，tab 4a a b1

12、4 b 4aab142 1 454， 当且仅当 b 4aab，即 b2a，a23(0,2)时，t 取得最小值为 5 4. 当 a34， 1 2|a|a|b 的最小值为3 4. 高频考点全通关利用均值不等式求最值 【答案】34 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略 利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略 (1)知和求积的最值 求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值” 但应注意以下两点： 具备条件正数；验证等号成立 (2)知积求和的最值 明确

13、“积为定值，和有最小值”，直接应用均值不等式求解， 但要注意利用均值不等式求最值的条件 (3)构造不等式求最值 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换” 或“常数 1”的替换，构造不等式求解 高频考点全通关利用均值不等式求最值 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 1已知 f(x)x1 x2(x0)，则 f(x)有( ) A最大值为 0B最小值为 0 C最大值为4D最小值为4 解析：选 Cx0， x1 x2 x 1 x 22x 1

14、x24， 当且仅当x1 x，即 x1 时等号成立 高频考点全通关利用均值不等式求最值 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 2已知 a， bR， 且 ab1， 则 11 a 11 b 的最小值为_ 解析： 11 a 11 b 1ab a 1ab b 2b a 2a b 52 b aab 549.当且仅当 ab1 2时，取等号 答案：9 高频考点全通关利用均值不等式求最值 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUA

15、NG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 3.(2013四川高考)已知函数 f(x)4xa x(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_. 解析：x0，a0，f(x)4xa x2 4xa x4 a， 当且仅当 4xa x时等号成立，此时 a4x 2， 由已知 x3 时函数取得最小值，所以 a4936. 答案：36 高频考点全通关利用均值不等式求最值 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 第三节一元二次不等式及其解法第三节一元二次不等式及其解法 考 纲 展 示

16、1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的 二次函数、一元二次方程的关系 3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不 等式，会设计求解的程序框图 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择 题或填空题，难度适中，属中档题 高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个命题角度： (1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式的解； (3)已知一元二次不等式的解集求参数 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关

17、一：了解考情，熟悉命题角度 高频考点全通关一元二次不等式的解法 【考情分析考情分析】 【命题角度命题角度】 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 【答案答案】A 闯关二闯关二: :典题针对讲解典题针对讲解已知一元二次不等式的解集求参数已知一元二次不等式的解集求参数 例 1(2013重庆高考)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的 解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a() A.5 2 B.7 2 C.15 4 D.15 2 【解析】法一：不等式 x22ax8a20，a5 2. 法二： 由 x22ax8a20，

18、得(x2a)(x4a)0， 不等式 x22ax8a20 的解集为(2a,4a)，又不等式 x22ax8a20 的解集为(x1，x2)， x12a，x24a.x2x115，4a(2a)15，解得 a5 2. 高频考点全通关一元二次不等式的解法 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关二闯关二: :典题针对讲解典题针对讲解直接考查一元二次不等式的解法直接考查一元二次不等式的解法 例2(2013 广东高考)不等式x2x20的解集为_ 【解析】由 x2x20，得(x1)(x2)0，2x1， 即不等式 x2x20 的解集为x|2

19、x1 高频考点全通关一元二次不等式的解法 【答案】x|2x0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_ 【解析】f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0， 又当 x0，f(x)x24x.又 f(x)为奇函数， f(x)f(x)，f(x)x24x(x0， x0， x0 时，由 f(x)x，得 x24xx，解得 x5； 当 x0 时，f(x)x 无解； 当 xx，得x24xx，解得5xx 的解集用区间表示为(5,0)(5，) 闯关二闯关二: :典题针对讲解典题针对讲解与函数的奇偶性等相结合，与函数的奇偶性等相结合， 考查一元二次不等式的解法考查一元二次不等式的解法 【答

20、案】(5,0)(5，) 高频考点全通关一元二次不等式的解法 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略 一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略 (1)直接求解一元二次不等式 对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解； 对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系 数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根， 最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集 (2)与函数的奇偶性相结合的一元二次不等式的解法 先借助函数的

21、奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接根据函数 的性质求解 (3)已知一元二次不等式的解集求参数根据根与系数的关系求解 高频考点全通关一元二次不等式的解法 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 1.已知关于 x 的不等式 x2ax2a0 在 R 上恒成立， 则实数 a 的取值范围是_ 解析：不等式 x2ax2a0 在 R 上恒成立， 即(a)28a0， 0a8，即 a 的取值范围是(0,8) 答案：(0,8) 高频考点全通关一元二次不等式的解法 天成

22、教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 2.已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)， 若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_ 解析：f(x)x2axb 的值域为0，)，0，ba2 4 0， f(x)x2axa2 4 xa 2 2.又f(x)0. 解：x2(3a)x3a0，(x3)(xa)0. 当 a3 时，x3，不等式的解集为x|x3； 当 a3 时，不等式为(x3)20，不等式的解集为x|xR 且 x3

23、； 当 a3 时，xa，不等式的解集为x|xa 高频考点全通关一元二次不等式的解法 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 考 纲 展 示 第四节二元一次不等式（组）与简单第四节二元一次不等式（组）与简单 的线性规划问题的线性规划问题 1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示 二元一次不等式组 3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 线性目

24、标函数的最值问题是每年高考的热点，属必考内容，题 型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题 高考对线性目标函数最值问题的考查有以下两个命题角度： (1)求线性目标函数的最值； (2)已知线性目标函数的最值求参数 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度 高频考点全通关线性目标函数的最值问题 【考情分析考情分析】 【命题角度命题角度】 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 【答案答案】 A 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值 例 1(2013天津高考)设变量

25、 x，y 满足约束条件 3xy60， xy20， y30， 则目标函数 zy2x 的最小值为() A7B4C1D2 【解析】 由 x，y 满足的约束条件可画出所表示的 平面区域为如图所示的三角形 ABC， 作出直线 y2x，经过平移得目标函数 zy2x 在点 B(5,3)处取得最小值， 即 zmin3107. 高频考点全通关线性目标函数的最值问题 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解已知线性目标函数的最值求参数已知线性目标函数的最值求参数 例 2(2013 浙江高考)设 zkxy

26、，其中实数 x，y 满足 x2， x2y40， 2xy40. 若 z 的最大值为 12，则实数 k_. 解：画出可行域如图所示 其中 A(2,3)，B(2,0)，C(4,4) 当 k0 时，显然不符合题意； 当 k0 时，最大值在点 C 处取得， 此时 124k4，即 k2； 当 k0(舍)或 k20(舍)故 k2. 高频考点全通关线性目标函数的最值问题 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略 线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略 (1)求线性目标函

27、数的最值 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得， 所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点， 然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值 (2)由目标函数的最值求参数 求解线性规划中含参问题的基本方法有两种： 一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解， 代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围 ； 二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条 件，确定最优解的位置，从而求出参数 高频考点全通关线性目标函数的最值问题 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO

28、YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 1(2013新课标全国卷)已知 a0， x， y 满足约束条件 x1， xy3， yax3. 若 z2xy 的最小值为 1，则 a() A.1 4 B.1 2 C1D2 解析：选 B由约束条件画出可行域 (如图所示的ABC) 由 x1， yax3， 得 A(1，2a)， 当直线 2xyz0 过点 A 时， z2xy 取得最小值， 所以 1212a，解得 a1 2. 高频考点全通关线性目标函数的最值问题 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHU

29、ANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 2.已知变量 x，y 满足约束条件 xy30， 1x1， y1， 则 zxy 的最大值是_ 解析：如图所示，画出约束条件表示的 平面区域(四边形 ABCD)，作出目标函数 zxy 的基本直线 l0：xy0， 通过平移可知 zxy 在点 C 处取最大值， 而点 C 的坐标为(1,4)，故 zmax5. 答案：5 高频考点全通关线性目标函数的最值问题 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 考 纲 展 示 第五节合情推理与演绎

30、推理第五节合情推理与演绎推理 1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理， 了解合情推理在数学发现中的作用 2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运 用它们进行一些简单推理 3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难 度稍大，属中高档题 高考对归纳推理的考查常有以下几个命题角度： (1)归纳推理与等式或不等式“共舞”问题； (2)归纳推理与数列“牵手”问题； (3)归纳推理与图形变化“相融”问题 闯关一

31、：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度 高频考点全通关归纳推理 【考情分析考情分析】 【命题角度命题角度】 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解归纳推理与等式或不等式归纳推理与等式或不等式“共舞共舞” 例 1(2013陕西高考)观察下列等式： 121， 12223， 1222326， 1222324210， 照此规律，第 n 个等式可为_ 解析：观察规律可知， 第 n 个式子为 12223242(1)n1n2(1)n1nn1 2 . 高频考点全通关归纳推理 【答案

32、】12223242(1)n1n2(1)n1nn1 2 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解归纳推理与数列归纳推理与数列“牵手牵手”问题问题 例 2(2013湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为nn1 2 1 2n 21 2n.记第 n 个 k 边 形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数N(n,3)1 2n 21 2n， 正方形数N(n,4)n2， 五边形数N

33、(n,5)3 2n 21 2n， 六边形数N(n,6)2n2n， 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)_. 解析：N(n，k)akn2bkn(k3)，其中数列ak是以1 2为首项，12为公差的等差数列； 数列bk是以1 2为首项， 12为公差的等差数列 所以 N(n,24)11n210n， 当 n10 时， N(10，24)1110210101 000. 高频考点全通关归纳推理 【答案答案】 1 000 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解归纳推理与图形变化

34、归纳推理与图形变化“相融相融”问题问题 例 3(2014青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长 度均为 1，两两夹角为 120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度 为原来1 3的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120，依此规律得到 n 级分形图 一级分形图二级分形图三级分形图 n 级分形图中共有_条线段；n 级分形图中所有线段长度之和为 _ 解析：（1） 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段 ， 由题图知， 一级分形图有 3(323) 条线段，二级分形图有 9(3223)条线段，三级分形图中有 21(3233)条线段，按此规律

35、n 级分形图中的线段条数 an(32n3)(nN*) （2）分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 1 3的线段，n 级分形图中第 n 级的所 有线段的长度为 bn3 2 3 n1(nN*)，n 级分形图中所有线段长度之和为 Sn3 2 3 03 2 3 1 3 2 3 n131 2 3 n 12 3 99 2 3 n. 高频考点全通关归纳推理 【答案】（1）32n3（2）9923n 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略 归纳推理问题的常见类型

36、及解题策略 (1)与等式或不等式“共舞”问题 观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看， 发现隐含的规律 (2)与数列“牵手”问题 先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象， 该结论超越了前提所包含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论 (3)与图形变化“相融”问题 合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性 高频考点全通关归纳推理 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 1设函数 f(x) x x2(x0)

37、，观察： f1(x)f(x) x x2， f2(x)f(f1(x) x 3x4， f3(x)f(f2(x) x 7x8， f4(x)f(f3(x) x 15x16， 根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN*且 n2 时，fn(x)f(fn1(x)_. 解析：根据题意知，分子都是 x，分母中的常数项依次是 2,4,8,16，可知 fn(x) 的分母中常数项为 2n，分母中 x 的系数为 2n1，故 fn(x)f(fn1(x) x 2n1x2n. 答案： x 2n1x2n 高频考点全通关归纳推理 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FAN

38、G AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 2.如图的倒三角形数阵满足：第 1 行的 n 个数，分别是 1,3,5，2n1； 从第 2 行起， 各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和 ； 数阵共有 n 行 当 n2 012 时，第 32 行的第 17 个数是_ 1357911 48121620 12202836 解析：每行的第 1 个数分别是 1,4,12,32，记为数列an，它的通项 公式为 ann2n1，则第 32 行的第 1 个数为 a32322321236，而 在第 32 行的各个数成等差数列，且公差为 232，所以第 17 个数是 236 (171

39、)232236242322236237. 答案：237 高频考点全通关归纳推理 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 3仔细观察下面和的排列规律： ， 若依此规律继续下去， 得到一系列的 和，那么在前 120 个和中，的个数是_ 解析：进行分组| |，则前 n 组两种圈的总数是 f(n)234 (n1)nn3 2 ，易知 f(14)119，f(15)135，故 n14. 答案：14 高频考点全通关归纳推理 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN

40、CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 考 纲 展 示 第六节直接证明与间接证明第六节直接证明与间接证明 1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法； 了解分析法和综合法的思考过程和特点 2了解反证法的思考过程和特点 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中， 为中高档题 高考对反证法的考查常有以下两个命题角度： (1)证明否定性命题； (2)证明存在性问题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度 高频考点全通关反证法的应用

41、 【考情分析考情分析】 【命题角度命题角度】 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解证明否定性命题或存在性命证明否定性命题或存在性命 题题 例(2013 北京高考)已知an是由非负整数组成的无穷数列该数列前 n 项的最大值记为 An， 第 n 项之后各项 an1，an2，的最小值记为 Bn，dnAnBn. (1)若an为 2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为 4 的数列(即对任意 nN*，an4an)，写出 d1，d2， d3，d4的值； (2)设 d 是非负整数证明：dn

42、d(n1,2,3，)的充分必要条件为an是公差为 d 的等差数列； (3)证明：若 a12，dn1(n1,2,3，)，则an的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1. 解：(1)d1d21，d3d43. (2)证明：(充分性)因为an是公差为 d 的等差数列，且 d0，所以 a1a2an， 因此 Anan，Bnan1，dnanan1d(n1,2,3，) (必要性)因为 dnd0(n1,2,3，)，所以 AnBndnBn，又 anAn，an1Bn， 所以 anan1，于是，Anan，Bnan1.因此 an1anBnAndnd， 即an是公差为 d 的等差数列 (3)证明：因为 a12，d11

43、，所以 A1a12，B1A1d11.故对任意 n1，anB11. 假设an(n2)中存在大于 2 的项设 m 为满足 am2 的最小正整数，则 m2，并且对任意 1k2.于是，BmAmdm211，Bm1 minam，Bm2.故 dm1Am1Bm1220，与 dm11 矛盾 所以对于任意 n1，有 an2，即非负整数列an的各项只能为 1 或 2. 因为对任意 n1，an2a1，所以 An2.故 BnAndn211. 因此对于任意正整数 n，存在 m 满足 mn，且 am1，即数列an有无穷多项为 1. 高频考点全通关反证法的应用 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIA

44、O YU CHUANG XIN FANG AN 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略 反证法应用问题的常见类型及解题策略 (1)证明否定性命题 解决此类问题分三步： 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止； 由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论正确 (2)证明存在性问题 证明此类问题的方法类同问题(1) 高频考点全通关反证法的应用 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技

45、能 1(2013陕西高考)设an是公比为 q 的等比数列 (1)推导an的前 n 项和公式； (2)设 q1，证明数列an1不是等比数列 解：(1)设an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sna1a1a1na1； 当 q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1， qSna1qa1q2a1qn， 得，(1q)Sna1a1qn， Sna11q n 1q ，Sn na1，q1， a11qn 1q ，q1. (2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的 kN*， (ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21， a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a

46、1qk1，a10，2qkqk1qk1. q0，q22q10，q1，这与已知矛盾 假设不成立，故an1不是等比数列 高频考点全通关反证法的应用 天成教育天成教育 创新方案创新方案 TIAN CHENG JIAO YU CHUANG XIN FANG AN 闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能 2已知 f(x)x2pxq. 求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2； (2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1 2. 证明：(1)因为 f(x)x2pxq， 所以 f(1)1pq，f(2)42pq，f(3)93pq， 则 f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.