变换的复合与矩阵的乘法(1)

1、 矩阵乘法的概念矩阵乘法的概念 问题情境问题情境 问题问题 生活实例生活实例 某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手 初、复赛成绩如下：初、复赛成绩如下： 初初 赛赛 复复 赛赛 甲甲 8080 9090 乙乙 8686 8888 8886 9080 问题情境问题情境 如果规定综合成绩按如下方法裁定，其中期中占如果规定综合成绩按如下方法裁定，其中期中占 40%40%，期末占，期末占60%60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩 阵的形式表示阵的形式表示 6 . 0 4 . 0 8886 9080 6 . 0884 . 086 6

2、. 0904 . 080 2 .87 86 建构数学建构数学 2221 1211 aa aa 2221 1211 bb bb 2222122121221121 2212121121121111 babababa babababa 1 1、矩阵乘法法则、矩阵乘法法则: = = 2. 矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法矩阵乘法MN的几何意义对向量连续实施的两次的几何意义对向量连续实施的两次 几何变换几何变换(先先TN, 后后TM)的复合变换的复合变换. 建构数学建构数学 3. n次变换的表示方式次变换的表示方式Mn 当连续对向量实施当连续对向量实施n ( )次变换次变换 时记为时记

3、为 Nn M T M个个n n MMMM 4 4初等变换及初等变换矩阵初等变换及初等变换矩阵 初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变 换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一 次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫 做做初等变换初等变换，对应的矩阵叫做，对应的矩阵叫做初等变换矩阵初等变换矩阵。 数学运用数学运用 例例1 （1）已知已知A= B= 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 试计算：试计算：AB，A2 数学运用数学运用 例例1 （

4、2）已知已知A= B= 试计算：试计算：AB, BA 20 01 32 41 数学运用数学运用 例例1 （3）已知已知A= B= C= 试计算：试计算：AB，AC 00 01 10 01 20 01 说明：说明： （1）矩阵）矩阵A，B都是非零矩阵但它们的乘积可能都是非零矩阵但它们的乘积可能 是零矩阵；是零矩阵； （2）对于矩阵）对于矩阵A，B不一定有不一定有AB=BA； （3）对于矩阵）对于矩阵A，B，C虽有虽有AB=AC，但不一定，但不一定 有有B=C 0 90 例例2: 已知梯形已知梯形ABCD, A(0, 0), B(3, 0),C(2, 2), D(1, 2), 先将梯形作关于先将梯形作关于x轴的反射变换轴的反射变换, 再将再将 所得图形绕原点逆时针旋转所得图形绕原点逆时针旋转 . （1）求连续两次变换所对应的变换矩阵）求连续两次变换所对应的变换矩阵M； （2）求点）求点A, B, C, D在在 作用下所得到的结果；作用下所得到的结果； （3）在平面直角坐标系内画出两次变换对应在平面直角坐标系内画出两次变换对应 的几何图形，并验证的几何图形，并验证(2)中的结论。中的结论。 M T 数学运用数学运用 数学运用数学运用 例例3: 已知已知A= ，B= ， 试求试求AB, 并对其几何意义给予解释。并对其