平面向量的数乘运算

1、平面向量的数乘运算 平面向量的数乘运算知识点一：向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则知识点二：向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共线知识点三：平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）知识点四：分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是（当知识点五：平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：

2、设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或 设，则设、都是非零向量，是与的夹角，则数学 平面向量数量积的坐标表示同步达纲【同步达纲练习】一、选择题.1.下列各向量中，与=(3,2)垂直的向量是( )A. =(3,-2) B. =(2,3) C. =(-4,6) D. =(-3,2)2.若=(2,3), =(-4,7),则在方向上的投影为( )A. B. C. D. 3.已知向量=(3,-2), =(m+1,1-m)，若，则m的值为( )A. B.- C.-1 D.14.已知向量=5,且=(3,x-1),xN,与向量垂直的单位向量是( )A

3、.(，-) B.(-，) C.(- ，)或(，-) D.( ，-)或(-，)5.若=(cos,sin), =(cos,sin)，则( )A. B. C.( +)(-) D.( +)(-)6.已知=(1, ), =(+1, -1),则与的夹角为( )A. B. C. D. 7.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.已知=(-2,-1), =(,1).若与的夹角为钝角，则的取值范围是( )A.(- ，+)B.(2，+) C.(- ，+)D.(-,- )9.已知=(x1,y1),=(x2,

4、y2)，则在下列各结论中为=0的充要条件的是( )=或=或 x1y1+x2y2=0 x1x2+y1y2=0A. B. C. D.10.已知与的夹角的余弦为-，则，的坐标可以为( )A.(4，3)，(-12，5)B.(3，4)，(5，12) C.(-3，4)，(5，-12)D.(-3，4)，(-5，12)二、填空题1.已知=(4,3), =(-1,2)，则与的夹角为 .2.已知=(3,-5), =(-4,-2),则= .3.顺次连接A(3，-1)，B(1，2)，C(-1，1)，D(3，-5)的四边形是 .4.以原点和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，则向量为 .5.已知向量=

5、(1,2), =(x,1),分别求出当+2与2-平行和垂直时实数x的值 .6.已知=(2,1),=(-1,-1), =+k,=+,与的夹角是，则实数k的值 .三、解答题1.已知=(1,-2), =(4,3)求(1) 2 (2) 2 (3) (4)(3+2)(-3) (5) 与的夹角(6) 在上的投影2.已知：点A(0，3)，B(6，3)，ADOB，垂足为D，求点D的坐标.3.已知A(-2，3)，正方形OABC，求点C、点B的坐标.【素质优化训练】1.已知=(-1,0), =(1,1), =+(、R)，若，且=2,试求、的值及向量c的坐标.2.若=(cos,sin), =(cos,sin)，用k

6、+=-k(kR，k0),试用k表示.3.已知=(-3,-2), =(-4,k),若(5-)(-3)=-55,求实数k的值.4.求与向量=(,-1)和=(1, )的夹角相等，且模为的向量的坐标.5.已知矩形ABCD的相对顶点A(0，-1)，C(2，5)，且顶点B到两坐标轴的距离相等，求顶点D的坐标.【生活实际运用】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF (2)PAEF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，=,则A(0，1)，P(，)，E(1，)，F(，0)=(-,1-), =(-1,- )(1)2=(-)2+(1-)2=2-+12

7、=( -1)2+(-)2=2-+12=2,故PA=EF(2) =(-)( -1)+(1-)(- )=0 PAEF.【知识探究学习】已知A(0，a),B(0,b),(0ab)，在x轴的正半轴上求点C，使ACB最大，并求出最大值.解，设C(x,0)(x0)则=(-x,a), =(-x,b)则=x2+ab.cosACB=令t=x2+ab故cosACB=当=即t=2ab时，cosACB最大值为.当C的坐标为(,0)时，ACB最大值为arccos.【同步达纲练习】一、1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C二、1.arccos 2.-2 3.梯形 4.(-，)或(-，-) 5. ，或-2 6. 三、1.(1) 2=5 (2) 2=25 (3) =-2 (4)-121 (5)-arccos (6)-2.D(2，1) 3.C(