曲面积分一PPT学习教案

1、会计学1 曲面积分一曲面积分一 一、第一类曲面积分概念的引入 实例实例 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连 续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量. 所谓曲面光滑所谓曲面光滑 即曲面上各点处都即曲面上各点处都 有切平面有切平面, ,且当点且当点 在曲面上连续移动在曲面上连续移动 时时, ,切平面也连续切平面也连续 转动转动. . 第1页/共29页 二、第一类曲面积分的定义 1.1.定义定义 第2页/共29页 记为记为 dSzyxf),(. 即即 dSzyxf),( iii n i i Sf ),(lim 1 0 .叫积分曲面叫积分曲面 叫被积函数，叫被积

2、函数，其中其中),(zyxf 2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质 则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若, 21 dSzyxf),( 21 ),(),(dSzyxfdSzyxf. 第3页/共29页 三、第一类曲面积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种： ),(:. 1yxzz 若曲面若曲面 则则 dSzyxf),( ;1),(, 22 dxdyzzyxzyxf xy D yx 第4页/共29页 2 若曲面 ： ),( zxyy 则则 dSzyxf),( ;1),(, 22 dxdzyyzzxyxf xz D zx ),(.

3、3zyxx ：若曲面若曲面 则则 dSzyxf),( .1,),( 22 dydzxxzyzyxf yz D zy 第5页/共29页 例例1 1 解解 积积分分曲曲面面 ：yz 5 , 投影域投影域 ： 25| ),( 22 yxyxDxy 第6页/共29页 dxdyzzdS yx 22 1 dxdy 2 )1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xy D dxdyyyx)5(2 xy D dxdyx)5(2 rdrrd 5 0 2 0 )cos5(2.2125 第7页/共29页 例例 2 2 计计算算dSxyz |, 其其中中 为为抛抛物物面面 22 yxz （10 z）. 解解依对称性

4、知：依对称性知： 轴对称，轴对称，关于关于 抛物面抛物面 z yxz 22 被被积积函函数数| xyz关关于于 xoz、yoz 坐标面对称 坐标面对称 有有 1 4成立成立，( 1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) x y z 第8页/共29页 dxdyzzdS yx 22 1 dxdyyx 22 )2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 1 4 dxdyyxyxxy xy D 2222 )2()2(1)(4 其其中中1| ),( 22 yxyxDxy, 0, 0 yx 第9页/共29页 利用极坐标利用极坐标 trxcos , trysin , rdrrrttrdt 1 0 22

5、2 2 0 41sincos4 drrrtdt 2 1 0 5 0 412sin2 2 令令 2 41ru du u u 2 5 1 ) 4 1 ( 4 1 . 420 15125 第10页/共29页 四、第二类曲面积分基本概念 观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的) 曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧 第11页/共29页 曲面的分类曲面的分类: 1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. . 典典 型型 双双 侧侧 曲曲 面面 n 第12页/共29页 典型典型单侧曲面单侧曲面: 莫比乌斯带莫比乌斯带 第13页/共29

6、页 曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. . 决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. . 曲面的投影问题曲面的投影问题: :在有向曲面上取一小块 在有向曲面上取一小块 面面在在xoyS ,为为上的投影上的投影 xy S)( . 0cos0 0cos)( 0cos)( )( 时时当当 时时当当 时时当当 xy xy xy S .)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中 xy 第14页/共29页 五、第二类曲面积分概念的引入 实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. . ( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v , ,有有向向

7、平平面面区区域域A A, ,求求单单位位 时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). . A AvnvA vA 0 cos 流量流量 v 0 n A 第15页/共29页 x y z o 第16页/共29页 x y z o i S ),( iii i v i n 把曲面分成把曲面分成n小块小块 i s ( ( i s 同时也代表同时也代表 第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),), 在在 i s 上任取一点上任取一点 ),( iii , , 1. 分割分割 则该点流速为则该点流速为 . i v 法向量为法向量为 . i n 第17页/共29页 该该

8、点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量 kjin iiii coscoscos 0 , , 通通过过 i s 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为 )., 2 , 1(niSnv iii ,),(),(),( ),( kRjQiP vv iiiiiiiii iiii 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 n i iii Snv 1 第18页/共29页 iiiii iiii n i iiii SR QP cos),( cos),(cos),( 1 )(,( )(,()(,( 1 xyiiii xziiiiyz n i iiii SR SQSP 3.3.取极限取

9、极限 0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 )(,( )(,()(,(lim 1 0 xyiiii xziiiiyz n i iiii SR SQSP 第19页/共29页 定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面, ,函数在上有函数在上有 界界, ,把分成把分成n块小曲面块小曲面 i S ( ( i S 同时又表示第同时又表示第 i块小曲面的面积块小曲面的面积),), i S 在在xoy面上的投影为面上的投影为 xyi S )( , ,),( iii 是是 i S 上任意取定的一点上任意取定的一点, ,如如 果当各小块曲面的直径的最大值果当各小块曲面的直径的最大值 0 时时

10、, , n i xyiiii SR 1 0 )(,(lim 存在存在, , 则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上对对 坐标坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分) ) 六、第二类曲面积分的概念及性质六、第二类曲面积分的概念及性质 第20页/共29页 记作记作 dxdyzyxR),(, ,即即 n i xyiiii SRdxdyzyxR 1 0 )(,(lim),( 被积函数被积函数 积分曲面积分曲面 类似可定义类似可定义 n i yziiii SPdydzzyxP 1 0 )(,(lim),( n i zxiiii SQdzd

11、xzyxQ 1 0 )(,(lim),( 第21页/共29页 存在条件存在条件: 当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲 面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. . 组合形式组合形式: dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意义物理意义: dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 第22页/共29页 性质性质: 21 21 . 1 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz RdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxR dzdxzyxQ

12、dzdxzyxQ dydzzyxPdydzzyxP ),(),( ),(),( ),(),(. 2 第23页/共29页 七、第二类曲面积分的计算法 设积分曲面是由设积分曲面是由 方程方程),(yxzz 所给所给 出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在 xoy面上的投影区域面上的投影区域 为为 xy D, ,函数函数 ),(yxzz 在在 xy D上具上具 有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, , 被积函数被积函数),(zyxR在在 上连续上连续. . ),(yxfz xy D x y z o xy S)( 第24页/共29页 n i xyiiii SRdxdyzyxR 1 0 )(,(lim),(

13、),( ,)()(, 0cos, iii xyxyi z S 又又 取上侧取上侧 n i xyiiiii n i xyiiii zR SR 1 0 1 0 )(,(,(lim )(,(lim xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即 第25页/共29页 ,)()(, 0cos, xyxyi S 取下侧取下侧若若 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),( 则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yz D dydzzyzyxPdydzzyxP,),(),( 则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zx D dzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),( 注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. . 第26页/共29页 例例 1 1 计算计算 xyzdxdy 其中是球面其中是球面 1 222 zyx外