微分方程模型在探求事物规律中的应用

1、 微分方程模型在探求事物规律中的应用 杨国华 （甘肃畜牧工程职业技术学院 武威 733006）一、建立常微分方程模型的方法和步骤如下：1、运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的.如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，傅里叶传热导定律，弹性形变中的虎克定律，拆里定律，阿基米德原理，放射性问题中的衰变率，生物学、经济学、人口问题中的增长率等2、利用导数的定义建立微分方程模型在微积分中导数是一个重要概念，其定义为如果函数是可微的，那么就可解释为相对于在该点的瞬时变化率.把导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用如在生物学以及人口问题研究中出现

2、的“速率”、“增长”；在放射问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际”等，这些词的出现就是一个信号，这个时候要注意哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示当中例如在考古学中，经常需要测定某种文物的绝对年龄，这时我们可以考察其中的放射性物质，由裂变规律可知，放射性物质的裂变速度与其存余量成正比我们假设时刻时该放射性物质的存余量为，是的函数，则我们可以建立微分方程模型其中是衰变系数，与放射性物质本身有关.求解该模型，我们解得：,其中是待定系数，它可以由初始条件确定.这样我们就可以测定这种文物的绝对年龄.3、利用微元法建立微分方程模型这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接

3、对函数运用有关定律建立模型一般的，如果某一实际问题中所求的变量符合下列条件： 是与一个自变量的变化区间有关的量，对于区间具有可加性，部分量那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型，其步骤是：根据问题的具体情况，选取一个自变量，并确定其变化区间为，在区间中任意选取一个任意小的区间记作，求出相应于这个区间的部分量的近似值将近似的表示为一个连续函数在处的值与的乘积，即，记，称为量的微元等式两边同时积分就可以求出要求的量了这种方法经常被应用于各种领域例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、静

4、力矩与重心4、模拟近似对于规律或现象不是很清楚，且比较复杂的实际问题，常用模拟近似法来建立微分方程模型这类模型一般要做一些合理假设，将要研究的问题突显出来，这个过程往往是近似的.用此法建立微分方程模型后，要分析其解的有关性质，在此基础上同实际情况对比，看所建立的模型是否符合实际，必要时要对假设或模型进行修改二、建立微分方程模型的一般准则在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线1、转化翻译：有许多表示导数的常用词，如速率、增长、衰变、边际、弹性等改变、变化、增加

5、、减少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变，随什么而变，这时也许导数就用得上2、机理分析：将所研究的问题看成一个封闭和系统，思考研究的问题是否遵循什么原理或物理定律，是应该用已知的定律还是去推导问题的合适结果在不知道问题的机理时，合理的想象和类比是很重要的 不少问题都遵循下面的平衡式：净变化率=输入率-输出率如果当这个平衡式出现的时候我们能理解它，并且能使用正确的物理量，或许就得到了需要的微分方程3、微分方程模型：微分方程是在任何时刻必须正确的瞬时表达式如看到了表示导数的关键词，就要寻找与、 的关系首先将注意力集中在文字形式的总关系式上，如“速率=输入-输出”写出这些关系式，然后准确填

6、好式中的所有项4、单位：一旦确定了哪些项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位，保证式子的平衡 5、定解条件：系统在某一特定时刻的信息，独立于微分方程而成立，利用它们来确定有关的常数，包括比例系数、原微分方程的其它参数以及解中的积分系数.三、微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含

7、有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型例1 细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解： 第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息如果我们用表示总数，第一句话告诉我们它的通解为 和这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即 (1)和 (2)其中的单位为小时(1)意味着 (2)意味着 它给出 故 要我们求的是个细菌例2 将室内一支读数为的温度计放到室外min后，温度计的读数为；又过了10min，读数为.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律

8、计算出正确的答案牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为的物体放进处于常温的介质中时，的变化速率正比于与周围介质的温度差在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，基本上不受影响实验证明，这是一个相当好的近似解： 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了.所以，用了两段话来作为我们求解的出发点第三段关键词“以某一速度变化”这句话是说与是成正比例的，即给出的三个特定条件是：其中的单位是分钟，而的单位是度.微分方程的解为解出三个常数解出例3 （新产品的推广）经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此推导出一些有

9、用的结果以指导生产呢？解：设电饭煲的需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已经销售出去并在使用的电饭煲数量为x(t)，则尚未使用的户数大致为Kx(t)，于是，根据统计筹算律，记比例系数为k，则x(t)满足 此方程即Logistic模型，解为：（注：此外还有两个奇解x=0和x=K）。对x(t)求一阶、两阶导数：容易看出，x(t)0，即x(t)单调增加，这当然是十分自然的。进而，由x(t0)=0，可以得出=1，此时，。当t0，即x(t)单调增加，而当tt0时，x(t)0，即x(t)单调减小。这说明，在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，达到最大值，此时该产品最为畅销，其后销售速度将开始下降。实际调查表明，销售曲线与Logistic曲线十分接近，尤其是在销售后期，两者几乎完全吻合。四、小结通过上述微分方程模型在探求事物规律中应用的介绍，我们发现一切数学理论的产生都是为了解决实际应用过程中的问题.而一切数学模型的建立，都是为了更好的指导数