概率论与数理统计课后习题答案徐雅静版

1、习题答案第1章三、解答题1. 设P(AB) = 0 ,贝U下列说法哪些是正确的？A和B不相容；(2) A和B相容；(3) AB是不可能事件；(4) AB不一定是不可能事件；(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0(6) P(A -B) = P(A)解：(4) (6)正确.2. 设 A, B是两事件，且 P(A) = 0.6 , RB) = 0.7，问：(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少？(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少？解：因为 P(AB) P(A) P(B)-P(A B),又因为 P(B) _P(A B)即 P(B)P(A B)_0.所以(1)

2、 当 P(B)二 P(A B)时 P(AB)取到最大值,最大值是 P(AB)二 P(A) =0.6.(2) P( A B) =1 时 P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-仁0.3.3. 已知事件 A, B 满足 P(AB)二 P(AB)，记 P(A) = p，试求 P(B).解：因为 P(AB)二 P(AB),即 P(AB) = P(A ) = 1 - P(A B) = 1 _ P(A) _ P(B) P(AB),所以 P(B) =1 _P(A) =1 _ p.4. 已知 P(A) = 0.7 , P(A -B) = 0.3 ,试求 P( AB).解：因为 P(A -B

3、) = 0.3 ,所以 P(A ) -P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) -0.3,又因为 P(A) = 0.7 ,所以 P(AB) =0 .7 -0.3=0.4 , P(AB) =1 - P(AB) =0.6.5. 从5双不同的鞋子种任取 4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？4解：显然总取法有n二C10种，以下求至少有两只配成一双的取法k :法一：分两种情况考虑：k 二c； c：(c2)2+c；其中：c；c2(c2)2为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：k=c5 C8 C6 + c55 2! 51 11 1_才 aa其中：C5 86为恰有1双配对的方

4、法数2!法三：分两种情况考虑：k 二c5(c； _c4)+c51 2 1其中：c5(c8 C4)为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k = c5c； - c；法五：考虑对立事件：k d (C；)441 4其中：C5 (C2)为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件CwC6word资料可编辑4!C1 c1 c1 c1其中：864为没有一双配对的方法数4!所求概率为k 13P 4C10216. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码.求:(1) 求最小号码为5的概率;(2) 求最大号码为5的概率.解：(1)法一：c；1汁c3a|1P3

5、，法一 ：P3C1012A。12(2)法二:p C1 法一 p c3a：1P3，法一：P3Cw 20A10207. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1 , 2, 3的概率.解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3的事件，则P(MJP(M2)c； A4T91616&设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少 ？解：设M2, M 1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品C2C1C1C2P(M2)32 =0.3,P(M1)= 0.

6、6,P(M1)2 =0.1C5C5C59. 口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 .解：设 M1= 取到两个球颜色相同” M1= 取到两个球均为白球” M2= 取到两个球均为黑球”，则M =M1 M 2且M1 M2所以 P(M ) = P(M1 M2) = P(M1) P(M2)=_cLC cl C132810 .若在区间(0, 1)内任取两个数,求事件 两数之和小于6/5 ”的概率.解：这是一个几何概型问题.以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间1 = (X,y)： 0 x, y 1因此图？事件A =两数

7、之和小于6/5 ” ( x, y)-x + y 6/51A的面积P(A) =的面积22 5172511 .随机地向半圆0 ： y T2ax x2 ( a为常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于一的概率.4解：这是一个几何概型问题.以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标,:表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间=(x, y)： 0 ： x : 2a,0 ： y ： . 2ax x2事件A =原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 -4/ 2 . =(x, y): 0 ：

8、 x ： 2a,0 ： y ： 一 2ax x ,04因此A的面积P(A)二i 的面积12 1 2a a241 2-a212 .1 1已知 P(A) ,P(B A)=-431,P(AB)= ,求 P(aUb)2解:P(AB) = P(A)P(B A)=丄 1 丄，P(B) P(AB)4 312P(A| B)丄_：12 213 .率是多少解:1111 P(A B) =P(A) P(B) -P(AB)二46 123设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，题中要求的已知所取两件产品中有一件是不合格品已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概,则另一件也是不合格品的概率”应理解为

9、求已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率设A=所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=两件均为不合格品C22C22P(A) =1 P(A) =12，P(B) ?C10 3C1015B 鸣=竺=2启JP(A) P(A) 15 3514 .有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取岀的球是白球的概率是多少？解：设A=从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=从第2个箱子中取出的1个球是白球”

10、，则P(A)=CC532,P(A)二由全概率公式得55P(B) = P(A)P(B| A) P(A)P(B| A) g 2 C4 5 C95 c92345由贝叶斯公式得P沖呼淀1515 .将两信息分别编码为 A和B传递出去，接收站收到时，信息A与信息B传送的频繁程度为2： 1，若接收站收到的信息是解：设M=原发信息是A”,N=接收到的信息是A ”，5 C94523A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，A，问原发信息是A的概率是多少？已知P(N |M ) =0.02,P(N | M) =0.01, P(M )二 所以P(N | M )=0.98, P(N |M)=0.99

11、, P(M)J3P(M )P(N |M )0.9(- 0.980.01) 196333197由贝叶斯公式得P(M |N)二P(M )P(N | M )+P(M )P(N | M )1 1 116 .三人独立地去破译一份密码 ，已知各人能译岀的概率分别为 一，一，问三人中至少有一人能将此密码译岀的概率是5 3 4多少？解：设A=第i个人能破译密码”，i= 1,2,3.1 11423已知 P(AJ,P(A2),P(Aa),所以 P(AJ,P(A2),P(Aa),534534至少有一人能将此密码译岀的概率为4 2 331P(AA2A0 J-P(A)P(A2)P(A2)J5 3 4517 .设事件A与

12、B相互独立，已知P(A) = 0.4 , P(AU B) = 0.7 ,求 P(BA).解：由于A与B相互独立,所以RAB)=P(A)RB),且P(AUB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将 P(A) = 0.4 , P(AU B) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5 ,所以P(B|A) =1 _P(B A) =1 _ P(AB) =1 _ P(A)P(B) =1 _ 卩 才 一0.5 =。百.P(A)P(A)或者，由于A与B相互独立，所以A与B相互独立,所以P(B A) = P(B) = 1 - P(B) = 1 - 0.5 二

13、 0.5.18 .甲乙两人独立地对同一目标射击一次 ，其命中率分别为0.6和0.5 ,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少 ？解：设A=甲射击目标”，B=乙射击目标”，M=命中目标”，已知 P(A)=P(B)=1, P(M A)=0.6,P(M B)=0.5,所以P(M ) =P(AB Ab AB) =P(AB) P(AB) P(AB).由于甲乙两人是独立射击目标，所以P(M ) =P(A)P(B) P(A)P(B) P(A)P(B) =0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 =0.8.P(A|MP(AMP(A)P(M|A1 .J0.75P(M )P(M )0.819 .某零件用

14、两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,各道工序岀现不合格品的概率分别为0.3 , 0.2, 0.1 ;第二种工艺有两道工序,各道工序岀现不合格品的概率分别为 0.3, 0.2，试问：(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0.3时，情况又如何？解：设A=第1种工艺的第i道工序岀现合格品”，i=1,2,3; Bi=第2种工艺的第i道工序岀现合格品”，i=1,2.(1)根据题意,P(A1 )=0.7 , P(A2)=0.8 , P(A3)=0.9 , P(B1)=0.7, P(B2)=0.8 , 第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)=

15、 P(A1)P(A2)P(A3)= 0.7 0.8 0.9 =0.504,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= p(B1)p(B2)= 0.7 0.8 = 0.56,可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。(2)根据题意,第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504 ,而P(B1)=P(B2)=0.7 ,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= p(B1)p(B2)= 0.7 0.7 =0.49.可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。11 .设两两相互独立的三事件A , B和C满足条件ABC = - , P(A)二P(B)二P(C) ,且已知29P(A B C)，求 P(A)

16、.16解：因为 ABC =、，所以 P(ABC) =0,因为A, B, C两两相互独立,P(A) = P(B)二P(C),所以P(AB) P(BC) P(AC) =P(A)P(B) P(B)P(C) P(A)P(C ) =3P(A)2由加法公式 P(A B C) =P(A) P(B) P(C) _P(AB)_P(BC)_P(AC) P(ABC)得293P(A) -3P(A)即4P(A) -34P(A) -10161 1考虑到P(A) ,得P(A) .2 41 2.设事件A, B, C的概率都是一，且P(ABC) =P(ABC),证明：212P(ABC) = P(AB) P(AC) P(BC)

17、-2证明：因为P(ABC)二P(ABC),所以P(ABC) =1 _P(A B C) =1 _P(A) P(B) P(C) _ P(AB) _ P(BC) _ P(AC) P(ABC)1P(A) =P(B) =P(C)代入上式得到23 P(ABC) =1 - P(AB) -P(BC) -P(AC) P(ABC) 2整理得12P(ABC) =P(AB) P(BC) P(AC) .23.设 0 P(A) 1 , 0 P(B) 1 , P(A|B) + P(A| B) =1 ,试证A与B独立.证明：因为P(A|B) + P(A | B) =1，所以P(AB) P(AB) P(AB) 1 -P(A B

18、)P(B) P(B) P(B) 1 - P(B)将 P(A B) =P(A) P(B) P(AB)代入上式得P(AB) 1 _ P(A) _P(B) P(AB) P(B)1 -P(B)两边同乘非零的P(B)1- P(B)并整理得到P(AB)二 P(A)P(B),所以A与B独立.4.设A, B是任意两事件,其中A的概率不等于0和1,证明P( B I A)二P(B | A)是事件A与B独立的充分必要条件 证明：充分性，由于P(B | A P(B|A),所以P(AB) = P(AB),即P(A) P(A)P(AB) _ P(B) _ P(AB)p(A) 一 1 -P(A)，两边同乘非零的P(A)1-

19、 P(A)并整理得到P(AB) = P(A)P(B),所以A与B独立.必要性：由于A与B独立，即P(AB)二P(A) P(B),且P(A) = O,P(A) = 0,所以一方面P講=喙心)，另一方面P(B|AHP(A)P(AB) P(B) P(AB) P(B) P(A)P(B) = P(B),P(A)P(A)若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不P，P(A2闪专P(A |代)二p(AA2)P(A2)_ P(A)P(A2| A) _ P P _ p2+(1-p)尸1Pgp所以 P(B | A) =P(B | A).5. 一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p，及格则第二

20、次及格的概率为(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率(2)若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率.解：设A=第i次及格”，i=1, 2.已知 P(A)二 P, p(A2 | A)二由全概率公式得P(A2)= P(A)P(A I A) P(A)P(A2 |A1)= P2 (1 - p)-P(1)他取得该资格的概率为P(A1 A2) =P(A) P(A2)-P(AA2)=P(A) P(A2)-P(A1)P(A2|AJ,22 “、P 2 3p - Pp p (1 - P) p a2(2)若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6. 每箱产品有10件，其中次品从0到2是

21、等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收.由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10% .求检验一箱产品 能通过验收的概率.解：设A= 一箱产品有i件次品”，i=0, 1，2.设M= 一件产品为正品”，N= 一件产品被检验为正品1 已知叭宀小叭匕皿皿皿10.1,由全概率公式1989P(M )二 P(A)P(M | A。)P(A)P(M | A) P(A2)P(M | A?)(1),3 10 101091P(M)P(MT帀竝,又 P(N|M)-P(N|M)-0.00.98,由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为9 1

22、P(N)二 P(M )P(N | M ) P(M )P(N | M )0.980.1 =0.892.10 107. 用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8;若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为 0.9;据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6.今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率.解：A= 一产品真含有杂质”，Bi=对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前

23、两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B，发生了，而B3未发生.又知 P(Bi |A) =0.8, P(Bj | A) =0.9, P(A)=0.4,所以P(Bi | A) =0.2,P(Bj | A) =0.1, P(A) =0.4,P(A) =0.6,所求概率为P(A|B1B2B3)=宓 SA)P(曲带鷺隔B3|A)由于三次检验是独立进行的，所以P(A|BB2B3)二P(A)P(B1 |A)P(B2A)P(B3A)_ _p(A)p(B I a)p(B2 I A)P(B3|A)p(A)p(B1 |A)p(B2|A)p(b3|A)二 0.905.0.4 x 0.8 x 0.8

24、 x 0.20.4 0.8 0.8 0.2 0.6 0.1 0.1 0.9&火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁试问(1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？(2) 都不被击毁的概率等于多少 ？解：设Ai=第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.已知 P(A,) =P(A3) =0.3, P(A2) =P(A4) =0.35,所以P(Aj = P(As) =0.7, P(A2 P(Aj =0.65,(1) 火炮被击毁的概率为p(Aa AA2AA4)=p

25、(Aa)pAzAa)= P(A)P(A2)+P(A)P(A2)P(A3)P(A4)=0.7m0.35 + 0.7x0.65x 0.7x0.35= 0.356475坦克被击毁的概率为P(A A1A2A3) = P(A)卩(瓦入2人)二P(A) P(A)P(A2)P(A3)=0.3 0.7 0.65 0.3 = 0.4365(2) 都不被击毁的概率为P(A1A2A3A4P(A)P(A2)P(A3)P(A40.7 0.65 0.7 0.65=0.207025.9甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止 ，此人即1为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都

26、是，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率2解：Ai=甲第i局获胜”，Bi=乙第i局获胜”，B=丙第i局获胜”，i=1,2,.，1已知P(A)二P(BJ二P(G), i =1,2,.，由于各局比赛具有独立性，所以2在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为P(A1C2C3AC2B3A4C5C6AC2B3A4C5B6A7C8C9.)-十17,同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为 -7丙得冠军的概率为=2,甲、乙得冠军的概率均为72(1-7)诗第二章一、填空题:P：X1.F(X2)-F(X1)2.PX=k =4卩扛1 _p)n，k = 0，1,，n3.PXk!e_,几、0为

27、参数，4.15.丄f(X)二 b -aI 0,a ： x : b其它(x_J26.f(x)” 22 二，-:x : :x27.(X)-:x ：亠-二 a8.)-CT9.X-112Pi0.40.40.2可观察岀随机变量的取值及概率分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法910.64分析：每次观察下基本结果X1/2 ”出现的概率为12f (x)dx 二C3O2 2xdx二1，而本题对随机变量X取值的观察可看作是34重伯努利实验，所以PY =C|(-)2(-)3446411.PX : 22】=X -12.2-12 2八0.7257,2P.6X：5.8,pd：1-叱2

28、 212.13.-16-1-门(2.4) ：(一1.3)-：(2.4)1 =0.8950,同理，P| X | 3.5 =0.8822.G(y)二 PY =3X 1 空 y?F ( y -1)汀().13，利用全概率公式来求解：48p& =2 = Ppx-2?单项选择题：1. B，2. B，3. C，1 11 134448由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导F(-a)= Jf (x)dx = f(x)dx- L f(x)dx只有B的结果满足 F（ ；） =lim F（x） =1根据分布函数和概率密度的性质容易验证2x2，可以看岀Y不超过XX 22,所以0faf (x)dxf (x)dx广F

29、Y(y) = pW 兰 y=丿1, y P ：X _ y y-2:21,y 10护y -2-xdx,y ： 2yy1 -e = y-2门0，:2可以看岀，分布函数只有一个间断点.5. C,事件的概率可看作为事件A （前三次独立重复射击命中一次）与事件B （第四次命中）同时发生的概率，即P = P(AB)=P(A)P(B)=c3p(1p)3 p.三、解答题(A)1. (1)X1234561197531Pi363636363616分析：这里的概率均为古典概型下的概率 ，所有可能性结果共 36种，如果X=1 ,则表明两次中至少有一点数为 1 ,其余一个1 至6点均可，共有C2 6-1（这里C2指任选

30、某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的11（1 C1 x 6 -1（25 + 111情形，因为C2 x6多算了一次）或c2 X 5十1种，故px = 1=，其他结果类似可363636得.0 ,x 1PX =1,1 Wx c2PX =1 +PX =2 ,2 兰 x c3F(x) =PX =1 +PX =2 +PX =3, 3 兰 x c4PX =1 +PX =2 +PX =3 +PX =4，4 兰 x6-:111 ,1 x ：23620 c .c2 x ；： 33627 c 3 二 x 436324乞x 536355 _ x 6361 , x 一62.注意,这里X指的是

31、赢钱数,X取0-1或100-1 ,显然Px99二io1263.: k 、a - k k!=ae一 =1,所以 a = e.O X -14.(1)f (x)a x c-iPX = 1, 1 Exc2PX =1 PX =2,2 ex ： 31, x _31，-1 _ x ： 24-2 x : 341, x _ 3八-1TP2 _ X _3 ；=PX =2、X=3 P?X =2P?X =3二？45.(1)pxpx_5 ； = 1 -P、X _4 ； = 115 116 一 166.(1)丄J,00 123 i：=3的倍数百=lim7 2+4 丄1 323P 0.5t 二 P 1.5 P、X =0 ；

32、2.5.0.5t =2.5 P _1 ；=1 -P、x =0 ； = 1-e：5px122h-4il 22，丿7解：设射击的次数为X,由题意知X B 400,0.2卩仪兰2 = 1-卩仪 =心c400O.O2kO.98400俺1 送匚e* =1 0.28 = 0.9972 ,其中 8=400 xo.02. 心k!&解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数 ，X B 5,0.3则指示灯发岀信号的概率p =px 兰3匸1 卩仪 3匸1 (C00.300.75 +C50.3S.74 +C2.320.73)= 1 - 0.8369 = 0.1631；-x9.解：因为X服从参数为5的指数分布，贝U

33、 F(x)=1e5，PX 10 ；二1 - F(10)则 PY 二 k二C5k(eJk(1 -e)5*, k = 0,1,5PY _1 =1_PY =0 =1(1 _eB5 =05672_ a cosxdx = 2a，所以-312- . 1、P0 ： X 4 cosxdx sinx|4 22由 f(x)在 x=1 的连续性可得 lim F(x) =lim F(x) = F(1)，即 a=1.P0.3 ： X11.解(1)(2)(3)X的概率密度12.解因为X服从(0, 5)20 一 4：0.7F(0.7)-F(0.3) =042x,0 c x c10, .f (x) = F (x)=丿上的均匀

34、分布，所以f (x) = (1) -(0.5) -1 二 0.8413 0.6915 -1 = 0.5328P：_4 ： X 乞 10=F(10) _ F(_4)：(3.5) - ：(一3.5) -1 =2 ：(3.5) -1= 2 9998-1 =0.996P2=1_px 兰 2=1_卩_2 兰 X 兰2)=1 - F(2) - F(-2) =1 J (-0.5) -(-2.5)丨=1 - (2.5) -门(0.5)丄1 -0.3023=0.6977PX3； = 1 -PX 打 十 F(3)十门(0) =1-0.5 二 0.5(2) P X C - 1 - PX 二 C，则 p X _ cp

35、 = 1 = F (c) =：( C 3)=，经查表得2 2 2不1c 3 J(0)，即0，得c = 3 ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。2 2 PX d = 1PX 5 九1-F(d) =1-讥心)一0.9，2-J _ Q-J _ Q则：:，(一 3)空 0.1，即:(-一 一)_0.9，经查表知：:(1.28)= 0.8997， 2 2d -3故-1.28，即 d 乞 0.44 ；14.解：PXk= 1 _P?X _k ；=1 _pk=(兰)k二2 2(一) =0.1a所以 G(JS) =0.95 , px :： k、F(k)a15.解 XN(；2)则PX - 1= FCv) _F(

36、 J _；)(t) =0.95 ；由对称性更容易解出；CJ二 Pc :：: X :：: - C ?k +CTk _T-：()G()aa=(1) -G(T)= 2(1) -1 =0.6826上面结果与匚无关，16.解：由X的分布律知p1516151151130X-2-1013X241019|X|21013即无论二怎样改变，PX -：；，都不会改变；所以Y的分布律是Z的分布律为Y0149P17_111530530Y0123P1711153053017.解因为服从正态分布2NK )，所以 f (x)=(X_J2-2芒F(x)xe(x)2dx,Fy(y)二 pex 乞 y 313word资料可编辑当

37、y 岂0时，FY(y) =0，则 fY(y) =0 当 y 0时，Fy(y) = pex _ y I ptx _ |n y?fY(y)十丫) =(F(ln y)=1亠eCJ所以Y的概率密度为fY(y) = y 2-I0y _o18.解 Xu (0,1) , f (x) =m10cxc10FY(y)二 PY yp：1 x _ y ： _ 1 _ F (1 _ y)所以 fY(y) = fx(1 y)=1, 0 cl - y 10,其他1, 0 y 10,其他19.解：X U (1,2),则 f (x)=；当 y 乞0时，FY(y) =P当y0时，Fv(y)二Ln y21汀X(尹y)fY(y)二1

38、FY(y)化51 1= j2 fx (尹 y)0其他h 1xc20 其他FY(y) = pV _ y丄 Pe2X - y?2X0，24e : x e其他20.解： Fy (y)二pYi/-PCX 二 Fx (f y)fY(y) = FY1(y)=(F(3y)Wfx G y)3 33因为 fx(x)= |x210 1x1其他所以 fY（y）Wfx（y）1 、 I 丄 y2 、ry 3 “3 0 ,1 2 y 180Fy2W) =PY2 zyP3 X 曲一 1 Jy :：: 13其他丄P：X _3-八1 -Fx,3 ： y ： 3 , 其他(3 - y),word资料可编辑-1 ：: X :：:

39、1其他fY2(y)界丫2(口 屮-Fx(3-y) =fx(3-y)f3 2 x 因为fX(x)=丿2i032所以 fY2(y) = fx(3-y) t(3y) 一1*3*10,其他(3)FY(y)二 P Y3 y 二 P：X2 空 y ?当 y 二0 时，Fy3 (y)二 P x 2 二 y 二 0 , fY3(y)二 Fy3(x) = 0FY3(y)y zxyFx y Fx( .y),所以 fY2(y) = fx(3 - y)=2o时,32(3 - y) 2 ”:： 4 -20,其他卄丫3（刈 F yy）二fx , y fx(.y)fY3(y)所以fY3( y)=2lyfX、y 25 y因为

40、fx (x)二所以fY3 (y) =12200 ,:： X : 1 其他0 ： y : 1其他四.应用题1解：设x为同时打电话的用户数,由题意知xB 10,0.2设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，贝Ukk , iPx 乞 k二為 C1i00.2i0.8104e =0.99，其中？； =2,i =0i =0 i !查表得k=5.1-e42.解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为 记X为10块组件中不能正常工作的个数，则X B（10,1 e.4），5小时后系统不能正常工作，即X -2 -，其概率为px 色2

41、 = 1 px 0= 1_GMe3)0(e3)10 乂肺一訂4)14)10= 0.8916.3.解：2因为X N (20,40 ),所以P X 兰 3C = P30 兰 X 兰 3C = F(30) F(30)“30-20、30-20、5 “)( “ )4040= 6(0.25) + (1.25) -1= 0.5187+0.8944-1= 0.4931设丫表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则X B(3,0.4931),(1) PY _1 =1 PY =0 =1 C?0.49310(1 0.4931)3 “-0.50693 =0.8698.(2) PY =1 -C30.49311 X0

42、.50692 =0.3801.4.解：当y ：0时，Y y是不可能事件,知F (y) =0 ,当0乞y 2时，丫和X同分布，服从参数为5的指数分布,知F (y)=当y - 2时，Y乞y为必然事件，知F(y) =1 ,因此，丫的分布函数为o ,yyF(y) 二纠-e5,0兰 y 2；1,八25.解：(1)挑选成功的概率_Cs70(2)设10随机挑选成功的次数为X,则该XB(10丄70丿设10随机挑选成功三次的概率为：1 1PX =3 =C130()k(1)7 0.00036,7070以上概率为随机挑选下的概率,远远小于该人成功的概率 3/10=0.3 ,因此，可以断定他确有区分能力(B)1.解：

43、由概率密度可得分布函数 F(x)二0, x 01一 x, 0兰x兰131 卜，1 cxc332(x -3), 3 _ x _69x 6由于 plx _k .；二一，即 F(k)二一，易知3 32.解：X服从(-1,2)的均匀分布，f (x)1，-1 x 科3，其他2，又Y =丿1 ,X _,-1，X : ,则 py =1 ；=PX _0 = q2 f (x)PY =1 = P X ： 0 = 1- P X _ 0 = 所以Y的分布律为丫2-11P12333.解：Fy(yH P1 -3 x 空 y = PX 一(1 - y)3 =1 - Fx(1 - y)3，fY (y) = Fy (y)勺F(

44、1 y)3 = fx (1 y)3 *1 y)3 】=fY(y)= 3(1 - y)2兀3(1 - y)2 fX (1 - y)311(1 一 y)6 Py R4.证明：因fx(x)是偶函数，故fx(-X)二fx(x)，Fy(vHPY二 PX 岂 y二 PX 一 y =1 PX 乞-y =1 Fx( y)fY(y)二 Fy (y)x(-y)x(y).5.解：随机变量X的分布函数为X乞11 ： x 8，显然 F(x) 0,1，FY(y)二 PY 二 PF(X)空 y，当y ： 0时， F (X)空y是不可能事件，知F Y( y) = 0，当 0 乞 y ：1 时，FY(y) =P3 X 一1 乞

45、 y =PX 乞(1 y)3 =y ,当y _ 1时， F (X)乞y是必然事件，知F 丫( y) = 1 ,0 , y : 0即Fy(y)二 y, 0zy 1时,2y-1FY(y)=PX 兰亍=ye dx = 1- e 21_y所以fY(y)0,y叮,y 1，其他;(2)Fy2(v) =PY2 yHPey，Xx当y兰0时，e y为不可能事件，则FY2(y) =Pe 0，贝U Fy2 (y) = PX! ln yGn y，. e dx根据fY2（y）讥（y）得f0,fY2(y)=丄b2y o0 ,x(3) FY3(yPYyHPXy，当 y 乞0 时，Fy3(0 =PX2 乞 y =0，当 y

46、0时，FY3(y) = PX2 m y = P： . y 乞 X 岂、y o edx = 1 _e_ y，所以第二 e, F(y)二 P yHPey，当 y 乞0时，F（y）0即 f（y）0,故有(2) 丫2-In y:y 1 时，FY(y) = Pe乞 y二 P X _2_1时,fYi (y)_2x=e ,FY(y) = P$X 色2亠. 2x2e dx =1,1,0云云1，可以看出y1服从区间(0,1)均匀分布；0,2exdx = y ,F%(y)北丫21 曲二 P1-e乞 y = PeX _1-y当 1-0时，Fy(y)二 Pex当 0 1 - y ： 1 时,FM)二 PeX-1-y-ln(1 _y)22exdx = y ,当 1 -y -1 时，Fy(y)二PeXJ-y= 土严n(1 _y)2 0dx = 0 ,由以上结果,易知fY2 (y)=均匀分布。1,0 Uy11，可以看出丫2服从区