§1.6 理想气体微观描述的初级理论

1、1.6 理想气体微观描述的初级理论理想气体微观描述的初级理论 1.6.1 1.6.1 理想气体微观模型理想气体微观模型 要从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。要从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。 一、一、实验证实对理想气体可作如下三条基本假定实验证实对理想气体可作如下三条基本假定: : 估计有几个数量级：估计有几个数量级： （1 1） 洛施密特常量洛施密特常量标准状况下标准状况下1 m3 3 理想气体 理想气体 中的分子数，以中的分子数，以n n0 0表示。表示。 标准状况下标准状况下1 1 molol气体占有气体占有22.4 L22.4 L。则。则 3253 3 23 0 m1

2、07.2m 104.22 1002.6 n 洛施密特常量的数量级之大，可作如此形象化说明：洛施密特常量的数量级之大，可作如此形象化说明： 人每次的呼吸量约为人每次的呼吸量约为0.40.4升升, ,即即4 41010-4 -4 m3 3， ， 有有4 41010-4 -4 2.72.7101025 25个分子 个分子, ,约约101022 22 个分子， 个分子， 而地球上全部大气约有而地球上全部大气约有101044 44个分子（可从习题 个分子（可从习题2.6.32.6.3 中估计出）。中估计出）。 故一个分子与人体一次呼吸呼出的分子数的比例关系故一个分子与人体一次呼吸呼出的分子数的比例关系

3、恰如一次呼吸量中的分子总数与整个地球大气分子总恰如一次呼吸量中的分子总数与整个地球大气分子总 数之间的比例关系。数之间的比例关系。 洛施密特常量洛施密特常量标准状况下标准状况下1 1m3 3 理想气体中分子 理想气体中分子 数数: :n n0 0 = 2.7 = 2.7101025 25 / / m3 3 。 （2 2）标准状况下气体分子间的平均距离）标准状况下气体分子间的平均距离 标准状况下标准状况下1 m1 m3 3 理想气体中分子数 理想气体中分子数: :n n0 0 = 2.7 = 2.7101025 25 / /m3 每个分子平均分配到自由活动空间的体积为每个分子平均分配到自由活动空

4、间的体积为 1 / 1 / n n0 0 。 。 为什么为什么? ? 标准状况下气体分子间的平均距离为标准状况下气体分子间的平均距离为: : m103.3) 102.7 1 () 1 ( 9 3 25 3 1 0 m n L (3)(3)氮分子半径氮分子半径 已知液氮（温度为已知液氮（温度为 77 K77 K，压强为，压强为 1 at1 atm）的密度）的密度 为为 ，氮的摩尔质量，氮的摩尔质量 M = 28= 281010-3 -3 kg kg。 设氮分子质量为设氮分子质量为m，则，则 M = NAm， = = n n m , , 其中其中n n为液氮分子数密度。为液氮分子数密度。 1/n1

5、/n 是每个氮分子平均分摊到的空间体积。是每个氮分子平均分摊到的空间体积。 若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，且不考虑若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，且不考虑 分子间空隙，则分子间空隙，则 1/1/n n =(4/3)=(4/3) r r3 3 其中其中r r 是氮分子半径。于是得是氮分子半径。于是得 m102.4) 3 () 4 3 ( 10 3 3 A N M n r 4 4 m103 . 3) 1 ( 9 3 1 0 n L m102.4) 4 3 ( 10 3 n r 可以看到标准状况下理想气体的两邻近分子间平均可以看到标准状况下理想气体的两邻近分子间平均 距离约是分子直径的

6、距离约是分子直径的1010倍左右倍左右。 另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起，另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起， 可估计到固体或液体变为气体时体积都将扩大可估计到固体或液体变为气体时体积都将扩大10103 3数数 量级。量级。 需要说明，在作数量级估计时一般都允许作一些需要说明，在作数量级估计时一般都允许作一些 近似假设。近似假设。 例如在前面估计氮分子半径时，假设氮分子是球形分例如在前面估计氮分子半径时，假设氮分子是球形分 子子, ,液氮中氮分子之间没有间隙液氮中氮分子之间没有间隙, ,或者按照密堆积而组或者按照密堆积而组 成。成。 看起来这些假设似乎太粗糙，但这种近似

7、不会改变看起来这些假设似乎太粗糙，但这种近似不会改变 数量级的大小，数量级的大小， 因为人们最关心的常常不是前面的系数，而是因为人们最关心的常常不是前面的系数，而是1010 的指数，故作这种近似假设完全允许。的指数，故作这种近似假设完全允许。 以上是对理想气体微观模型所作三条基本假定中的第以上是对理想气体微观模型所作三条基本假定中的第 一条一条: : 。 理想气体微观模型所作第二条基本假定是理想气体微观模型所作第二条基本假定是: : 对理想气体分子对理想气体分子两次碰撞之间做自由匀速直两次碰撞之间做自由匀速直 线运动的质疑线运动的质疑. . 以上就是理想气体微观模型的三条基本假定。以上就是理想

8、气体微观模型的三条基本假定。 对于平衡态的一般气体（不一定是理想气体）还满对于平衡态的一般气体（不一定是理想气体）还满 足另外一条基本假定足另外一条基本假定: : 理想气体微观模型所作第三条基本假定是理想气体微观模型所作第三条基本假定是: : 分子混沌性指出：在没有外场时，处于平衡态的分子混沌性指出：在没有外场时，处于平衡态的 气体分子应均匀分布于容器中。气体分子应均匀分布于容器中。 在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速 度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度 和位置都相互独立。和位置都相互独立。 ： 由

9、气体的各向同性可知由气体的各向同性可知, , 对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模 型基础上利用统计物理证明。型基础上利用统计物理证明。 这就为理想气体的广泛应用创造了很好的条件。这就为理想气体的广泛应用创造了很好的条件。 最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但 实验指出实验指出: : 1.6.2 单位时间内碰在单位面积器壁上的单位时间内碰在单位面积器壁上的 平均分子数平均分子数 由于大数粒子的无规热运动，气体分子与容器器壁由于大数粒子的无规热运动，气体分子与容器器壁 发生频繁碰撞。发生频繁碰撞。

10、 但处于平衡态下大数分子所组成的系统应遵循一定但处于平衡态下大数分子所组成的系统应遵循一定 的统计规律。下面讨论的统计规律。下面讨论: : 在气体状态一定时，其在气体状态一定时，其 应恒定不变。应恒定不变。 （1)1)设设处于平衡态下的理想气体分子沿处于平衡态下的理想气体分子沿+ +x x，-x-x，+ +y y， -y-y，+ +z z，-z -z 6 6个方向做等概率运动。个方向做等概率运动。 若气体分子数密度为若气体分子数密度为n n，任何一个单位体积中垂直指，任何一个单位体积中垂直指 向向 + +x x，-x-x，+ +y y，-y-y，+ +z z，-z -z 6 6个方向运动的平均

11、分个方向运动的平均分 子数均为子数均为 n n/6 /6 。 （2)2)假设每一分子均以平均速率运动。假设每一分子均以平均速率运动。 显然显然t t 时间内时间内, ,所有向所有向- -x x方向运动方向运动 的分子均移动了距离的分子均移动了距离 tv 任一分子都向相任一分子都向相 互正交的互正交的6个方向个方向 做等概率运动做等概率运动 在上述在上述 2 2 条假定基础上来考虑气体分子对条假定基础上来考虑气体分子对 x,y x,y 容容 器壁平面的碰撞。器壁平面的碰撞。 t t 时间内碰撞在时间内碰撞在 A A 面积器壁面积器壁 上的平均分子数上的平均分子数N N 等于图中柱等于图中柱 体内

12、向下运动的分子数。体内向下运动的分子数。 z tvA n N 6 6 vn tA N vn 4 1 单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数为单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数为 以后在以后在2.52.5中还将专门讨论气体分子碰壁数及其中还将专门讨论气体分子碰壁数及其 应用，而在应用，而在2.5.12.5.1中将中将用较严密的方法导出用较严密的方法导出，所得所得 结果为结果为 说明差异不大。说明差异不大。 另外要注意：上述二公式适用于平衡态理想气体另外要注意：上述二公式适用于平衡态理想气体。 例例1.21.2设某气体在标准状况下的平均速率为设某气体在标准状况下的平均速率为 500 500

13、 m/s,m/s,试分别计算试分别计算1s1s内碰在内碰在1cm1cm2 2面积及面积及1010-19 -19 m m2 2 面积器 面积器 壁上的平均分子数。壁上的平均分子数。 解解 标准状况下气体分子的数密度标准状况下气体分子的数密度 n n0 0 = 2.7 = 2.7 101025 25 /m /m3 3 故 故 )s (105 . 4110500107 . 2 6 1 6 123425 0 1 tA vn N )s105 . 4110500107 . 2 6 1 181925 2 （N 气体分子碰撞器壁非常频繁，即使在一个分子截气体分子碰撞器壁非常频繁，即使在一个分子截 面积大小的范

14、围内（面积大小的范围内（1010-19 -19m m2 2）， ），1s1s内还平均碰上内还平均碰上 4.54.510108 8次。次。 比较后可发现，虽然前面的推导十分粗糙，但并未比较后可发现，虽然前面的推导十分粗糙，但并未 产生数量级的偏差。产生数量级的偏差。 这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭 示了事物的主要特征，而无需作较繁杂的数学计算，示了事物的主要特征，而无需作较繁杂的数学计算， 是可取的。是可取的。 4/vn6/vn 将下面两个公式将下面两个公式 1.6.3 理想气体压强公式理想气体压强公式 （一）理想气体压强公式（一）理想气

15、体压强公式 气体压强是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给气体压强是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给 予单位面积器壁的平均总冲量。予单位面积器壁的平均总冲量。 这种碰撞是如此频繁，几乎可认为是无间歇的，所施这种碰撞是如此频繁，几乎可认为是无间歇的，所施 予的力也是恒定不变的。予的力也是恒定不变的。 与推导气体分子碰壁数一样，也可采用不同近似程与推导气体分子碰壁数一样，也可采用不同近似程 度的模型来推导理想气体压强公式。度的模型来推导理想气体压强公式。 这里介绍类似前面的最简单的方法，在这里介绍类似前面的最简单的方法，在2.5.12.5.1中，中， 将再作较严密的推导。将再作较严密的推导。 上节

16、中曾假定，单位体积中各有上节中曾假定，单位体积中各有 n n/6 /6 个分子以平个分子以平 均速率向均速率向 x x, , y, y, z 6z 6个方向运动，个方向运动， 因而在因而在t t 时间内垂直碰撞在时间内垂直碰撞在 y-z y-z 平面的平面的A A 面积面积 器壁上的分子数等于以器壁上的分子数等于以A A 为底为底, , 以以 tv AtvnN6)/( 为高的柱体内所有向为高的柱体内所有向A A 运动的分运动的分 子的总数，子的总数， 2 2 vnmvmvnp 3 1 2 6 1 称理想气体压强公式。称理想气体压强公式。 因为每个分子与器壁碰撞是完全弹性的因为每个分子与器壁碰撞

17、是完全弹性的, ,每次碰撞产每次碰撞产 生的动量改变了生的动量改变了 vmtAvn2 6 1 vm2 vm2 所受到的平均冲量为 面积器壁时间内 At 单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强，故单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强，故 即向器壁施予冲量即向器壁施予冲量 下标下标rmsrms为为root mean squareroot mean square的缩写，它表示方均根。的缩写，它表示方均根。 后面我们会看到理想气体确实有这样的近似关系后面我们会看到理想气体确实有这样的近似关系, ,因因 为为 vv1.085 rms rms vvv 2 2 3 1 vnmp 推导中利用了平均速率近

18、似等于方均根速率的条件，推导中利用了平均速率近似等于方均根速率的条件， 即即 有意思的是，利用较严密的方法所得到的气体压强有意思的是，利用较严密的方法所得到的气体压强 公式仍然是公式仍然是 可见由这种近似所产生的误差较小。可见由这种近似所产生的误差较小。 （二）气体分子平均平动动能（二）气体分子平均平动动能 为每个气体分子的平均平动动能为每个气体分子的平均平动动能 （ 其中下标其中下标 t t 表示平动），即表示平动），即 2 t 2 1 vm t 2 3 2 3 1 nvnmp 2 3 1 vnmp t 3 2 np 早在早在18571857年，克劳修斯（年，克劳修斯（ClausiusCla

19、usius）即得到这一重）即得到这一重 要关系式。要关系式。 它们都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了它们都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了 宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动 能或方均速率）之间的关系能或方均速率）之间的关系。 必须说明，在推导理想气体压强公式时，认为气必须说明，在推导理想气体压强公式时，认为气 体压强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击体压强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击 力。力。 将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强，将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强， 因为气压计本身就是

20、一个器壁。因为气压计本身就是一个器壁。 气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引 入无关。请考虑思考题入无关。请考虑思考题1.191.19。 最后还要强调最后还要强调: : 布朗粒子就是因为粒子线度已不属于宏观范围，涨布朗粒子就是因为粒子线度已不属于宏观范围，涨 落使表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布落使表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布 朗运动。朗运动。 只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁上的压强必处只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁上的压强必处 处相等。处相等。 理想气体物态方程可改写为理想气体物态方程可改写为 pVpV = =

21、RT RT = = N NA AkTkT p = p = ( ( N NA A/ /V V ) )kTkT =( =( N/V N/V ) )kTkT = = nkTnkT 其中其中 k k 称为玻耳兹曼常量称为玻耳兹曼常量 。 R R 是描述是描述1mol1mol气体行为的普适常量，气体行为的普适常量， k k 是描述一个分子或一个粒子行为的普适常量，是描述一个分子或一个粒子行为的普适常量， 这是奥地利物理学家玻耳兹曼（这是奥地利物理学家玻耳兹曼（Boltzmann)Boltzmann)于于 18721872年引入的。年引入的。 这是理想气体方程的另一重要形式，也是联系宏观这是理想气体方程的

22、另一重要形式，也是联系宏观 物理量（物理量（p p，T T）与微观物理量（）与微观物理量（n n）间的一个重要公）间的一个重要公 式。式。 普适常量普适常量 k, G, e, h, ck, G, e, h, c （四）压强的单位（四）压强的单位 1.6.4 1.6.4 温度的微观意义温度的微观意义 （一）温度的微观意义（一）温度的微观意义 从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运 动程度强弱的度量动程度强弱的度量。 将将 p p = = nkT nkT 与与 kTvm 2 3 2 1 2 t 3/2 t np 比较比较可得分子热运动平均平动动能可

23、得分子热运动平均平动动能 它表明分子热运动平均平动动能与热力学温度成正它表明分子热运动平均平动动能与热力学温度成正 比。比。 绝对温度越高，分子热运动越剧烈。绝对温度越高，分子热运动越剧烈。 。 只有做高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞只有做高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞 改变运动方向而成无规则的热运动，定向运动改变运动方向而成无规则的热运动，定向运动 动能转化为热运动动能后，所转化的能量才能动能转化为热运动动能后，所转化的能量才能 计入与绝对温度有关的能量中。计入与绝对温度有关的能量中。 问题问题: :宇宙飞船发射升空过程中宇宙飞船发射升空过程中, ,速度越来越快速度越来越快, , 飞船中的气体温度是否在不断升高飞船中的气体温度是否在不断升高? ? t 。 （二）（二）方均根速率方均根速率 应该指出：应该指出： （1 1） （二）（二）方均根速率方均根速率 二、方均根速率 kTvm 2 3 2 1 2 t m rms 33 M RT m kT v kNR A A NMm/ m 方均根