高等数学：3-3泰勒公式

1、第三节第三节 泰勒（泰勒（Taylor,1685-1713, 英国数学家）公式英国数学家）公式 不论在近似计算或理论分析中，我们希不论在近似计算或理论分析中，我们希 望能用一个简单的函数来近似表达一个望能用一个简单的函数来近似表达一个 复杂的函数，这将会带来很大的方便。复杂的函数，这将会带来很大的方便。 多项式只含加法和乘法，运算简单，最多项式只含加法和乘法，运算简单，最 适宜在计算机上计算。因此，用多项式适宜在计算机上计算。因此，用多项式 来近似表达函数是我们努力的方向，但来近似表达函数是我们努力的方向，但 是怎样从一个函数本身得出我们需要的是怎样从一个函数本身得出我们需要的 多项式呢？多项

2、式呢？ )()()( 00 0 xxxfdyyxfxf | 0 xx )()()()( 0000 xxoxxxfxfxf 它们的它们的优点：表达简单，线性齐次；优点：表达简单，线性齐次； 有相当的准确性：有相当的准确性： 前面函数的微分一节中已讨论了导数近似前面函数的微分一节中已讨论了导数近似 计计 算算 的问题，即当的问题，即当 很小时有很小时有 （2）（）（3）是比较理想的近似表示式。）是比较理想的近似表示式。 （2） （1） )( 0 xxodyy 一、泰勒中值定理一、泰勒中值定理 （3） 因而有近似因而有近似 缺点：缺点：“近似近似”用于计算，但不能用于用于计算，但不能用于 推理；推理

3、； 有条件近似：有条件近似： 很小；很小； 误差：不能准确误差：不能准确（预先）（预先）估计；估计； 最要害：当发现精确度达不到要最要害：当发现精确度达不到要 求时，无补救措施！求时，无补救措施！ - 0 xx 例例如如, , 当当x很很小小时时, , xe x 1 , , xx )1ln( x ey xy 1 o x ey o xy )1ln(xy 【问题一问题一】设设在在含含 的的开区间内具有合开区间内具有合 适阶的导数，能否找出一个关于适阶的导数，能否找出一个关于 的的 次多项式次多项式 x0 ()x x 0 n ), 1, 0()()( )()()()( 0 )( 0 )( 0 2 0

4、2010 nkxfxp xxaxxaxxaaxp kk n n nn 且 )( xf近似近似 ? 【问题二问题二】若问题一的解存在其误差若问题一的解存在其误差, ,那那 么误差的表达式是什么么误差的表达式是什么? ? ?)()()(xpxfxR nn ),()()( )()()()( )()( nkxfxp xxaxxaxxaaxp kk n n nn 10 00 0 2 02010 且且 首先来求解问题一首先来求解问题一,使得多项式满足使得多项式满足 1. 求 n 次近似多项式要求要求:, )(xpn )( 0 !2 1 2 xpa n , )( 0 x f ,)( 0 )( ! 1 xpa

5、 n n n n )( 0 )( xf n 故 )(xpn)( 0 xf)( 00 xxxf !2 1 ! 1 n nn xxxf)( 00 )( ! 1 n 2 00 )(xxxf !2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 )(xpn 则)(xpn )(xpn n an! )( )( xp n n )( 00 xpa n , )( 0 xf , )()( 00 xfxpn )( 01 xpa n , )( 0 x f 1 a)(2 02 xxa 1 0) ( n n xxan 2 !2 a 2 0) () 1( n n xxann , )()( 00 xfxpn)()(, 0 )(

6、0 )( xfxp nn n 0 a n n xxaxxaxxa)()()( 0 2 0201 0)()()()( 0 )( 000 xRxRxRxR n nnnn 1 0 )()( n xxxG 0)()()()( 0 )( 000 xGxGxGxG n )()( )()( )( )( 0 0 xGxG xRxR xG xR nnn )()( )()( 0 )()( 0 )()( xGG xRR n n n n nn n n )()( )()( 01 01 xGG xRR nn )()( )()( 02 02 xGG xRR nn 解决问题二解决问题二余项估计余项估计 引入记法引入记法 则有

7、则有 反复用柯西中值定理有反复用柯西中值定理有 )!1( )( )( )( )1( )1( )1( n f G R n n n n xx 0 xx n 120 xx 0 021 xx n 1 0 )1( )( )!1( )( n n n xx n f R )(xf 0 x 1 n 其中其中时时 故故 阶导数，由此我们得到如阶导数，由此我们得到如下泰勒中值定理下泰勒中值定理 时时 有上面分析过程知需要有上面分析过程知需要在含有在含有的某个开区间内的某个开区间内 具有直到具有直到 公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf 即函数即函数可以表示为可以表示为 泰勒中值定理泰勒中值

8、定理 : 内具有的某开区间在包含若),()( 0 baxxf 1n直到阶的导数阶的导数 ,),(bax时时, 有有 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )(xRn 其中其中 1 0 )1( )( ! ) 1( )( )( n n n xx n f xR 则当则当 ) 0 (之间与在xx 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 的一的一个个n 次次多项式与一个余项之和多项式与一个余项之和)( 0 xx 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 . 在不需要余项的精确表达式时在

9、不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为泰勒公式可写为 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )( 0 n xxo )()( 0 n n xxoxR 注意到 * 可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf 0 )( 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 )(xf)( 0 xf)( 0 xxf (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 2 0) ( !2 )( xx f

10、可见 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 2 01 )( !2 )( )(xx f xR 误差 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 1 0 )1( )( ! ) 1( )( n n xx n f 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( fd ) 0 (之间与在xx ) 0 (之间与在xx ) 0 (之间与在xx ) 0 (之间与在xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 . , ) 10(,0 0 xx则有 )(xf)0(fxf)0 ( 1 ) 1( ! ) 1(

11、 )( n n x n xf 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( 在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 1 0 )1( )( ! ) 1( )( n n xx n f 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( ) 0 (之间与在xx )(xf)0(fxf)0 ( ,)( )1( Mxf n 则有误差估计式 1 ! ) 1( )( n n x n M xR 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( 若在公式成立的区间上 麦克劳林 目录 上页 下页 返回

12、结束 由此得近似公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式 x exf)() 1 ( ,)( )(xk exf ),2, 1(1)0( )( kf k x e1x !3 3 x !n x n )(xRn !2 2 x 其中)(xRn ! ) 1( n ) 10( 1n x x e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由公式可知由公式可知 ! 2 1 2 n xx xe n x 估计误差估计误差)0( x设设 ! 1 ! 2 1 11, 1 n ex 取取 . )!1( 3 n 其误差其误差 )!1( n e Rn ).10( )!1()!1( )( 1 n xx n x n e n e xR )si

13、n( x xxfsin)()2( )( )( xf k xsinx !3 3 x !5 5 x ! ) 12( 12 m x m )( 2 xR m 其中 )( 2 xR m )sin( 2 12 m x 2 k 2 sin)0( )( kf k mk2,0 12 mk,) 1( 1 m ),2, 1(m 1 ) 1( m ) 10( 12m x ! ) 12(m )cos() 1(x m 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ! )2( 2 m x m xxfcos)()3( 类似可得 xcos1 !2 2 x !4 4 x )( 12 xR m 其中 )( 12 xR m ! )22(m )

14、cos() 1( 1 x m ) 10( m ) 1( 22m x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()1 ()()4(xxxf )( )( xf k )1 (x1x 2 x n x)(xRn 其中 )(xRn 11 )1 ( ! ) 1( )() 1( nn xx n n ) 10( k xk )1)(1() 1( ) 1() 1()0( )( kf k ),2, 1(k !2 ) 1( ! n ) 1() 1(n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()1ln()()5(xxxf 已知 )1ln(xx 2 2 x 3 3 x n x n )(xRn 其中 )(xRn 1 1

15、 )1 (1 ) 1( n nn x x n ) 10( 1 ) 1( n 类似可得 )( )( xf k k k x k )1 ( ! ) 1( ) 1( 1 ),2, 1(k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差 1 ! ) 1( )( n n x n M xR M 为)( ) 1( xf n 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. )

16、(xf)0(fxf)0 ( 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知 例1. 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过.10 6 解解: x e ! ) 1( n x e 1n x 令 x = 1 , 得 e) 10( ! ) 1(! 1 !2 1 11 n e n ) 10( 由于 , 30ee欲使 ) 1 ( n R !) 1( 3 n 6 10 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 e !9 1 !2 1 11718281. 2 x e1x !3 3 x !n x n !2 2 x

17、的麦克劳林公式为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 注意舍入误差对计算结果的影响注意舍入误差对计算结果的影响. . 本例 若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过,105 . 07 6 总误差为 6 105 . 07 6 10 6 105 这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过.10 6 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 . e !9 1 !2 1 11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 用近似公式用近似公式 !2 1cos 2 x x计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解解: 近似公式的误差 )

18、cos( !4 )( 4 3 x x xR 24 4 x 令 005. 0 24 4 x 解得588. 0 x 即当588. 0 x时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 播放播放 x y O xysin 泰勒公式泰勒公式 泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近xsin xy ! 3 3 x xy ! 5! 3 53 xx xy ! 7! 5! 3 753 xxx xy ! 9!7! 5! 3 9753 xxxx xy 2. 利用泰勒公式求极限 例例3. 求. 43443 lim 2 0 x xx x 解解: 由于 x 4 3 1243 x 2 1

19、 )1 (2 4 3 x 2)(1 4 3 2 1 x !2 1 ) 1( 2 1 2 1 2 4 3 )( x)( 2 xo 用洛必塔法则 不方便 ! 2 x用泰勒公式将分子展到项, 11 )1 ( ! ) 1( )() 1( nn xx n n n x ! n ) 1() 1(n )1 (x1x 2 x !2 ) 1( ) 10( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x34 2 1 )1 (2 4 3 x2 2 0 lim x x 原式 )( 22 16 9 2 1 xox 32 9 x 4 3 )( 22 16 9 4 1 xox 2x 4 3 )( 22 16 9 4 1 xox 解解

20、)( ! 2 1 1 442 2 xoxxe x )( ! 4! 2 1cos 5 42 xo xx x )() ! 4 1 2 ! 2 1 (3cos2 44 2 xoxxe x 12 7 )( 12 7 lim 4 44 0 x xox x 原式原式 11 )1 ( ! ) 1( )() 1( nn xx n n n x ! n ) 1() 1(n )1 (x1x 2 x !2 ) 1( ) 10( 3. 利用泰勒公式证明不等式 例例. 证明).0( 82 11 2 x xx x 证证: 2 1 )1 (1xx 2 1 x 2 ) 1 2 1 ( 2 1 !2 1 x 3 2 5 )1)(

21、2 2 1 )(1 2 1 ( 2 1 !3 1 xx ) 10( 3 2 2 5 )1 ( 16 1 82 1xx xx )0( 82 11 2 x xx x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 3 )1(sin lim x xxxe x x 泰勒公式泰勒公式 ),1()0(,1 , 0)(ffxf 且且上上有有二二阶阶导导数数在在函函数数 . 2 1 )(1 , 0:. 1)( xfxf上恒有不等式上恒有不等式在在试证试证 像这类像这类估值问题估值问题常用泰勒公式常用泰勒公式. 证证,1 , 0 0 x对任意对任意 )0(f 2 0 1

22、000 ! 2 )( )()(x f xxfxf 01 0 x )1(f 1 20 x 例例 分析分析 点展开成点展开成在在与与将将 0 )1()0(xff 利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式. 2 0 1 000 )0( ! 2 )( )0)()(x f xxfxf 2 0 2 000 )1( ! 2 )( )1)()(x f xxfxf 带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得得 (1) (2) ),2()1( 其他应用其他应用 2 02 2 010 )1)( ! 2 1 )( ! 2 1 )(0 xfxfxf 即即 )( 0 xf 2 0 2 00 )1( 2 1 2 1 )(xxxf ),10( 2 aaa 时时当当 故故 )1( 2 1 00 xx ),1()0(,1 , 0)(ffxf 且且上上有有二二阶阶导导数数在在函函数数例例 . 2