选修第二节不等式证明

1、选修选修 4-54-5 不等不等 式选式选 讲讲 第二第二 节节 不不 等式等式 的证的证 明明 明明 考考 向向 提提 能能 力力 返回 备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、 反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式 2. 能利用三个正数的算术平均能利用三个正数的算术平均几何平均不等式证明一些几何平均不等式证明一些 简单的不等式，解决最大简单的不等式，解决最大(小小)值的问题；了解基本不等式值的问题；了解基本不等式 的推广形式的推

2、广形式(n个正数的形式个正数的形式) 3.能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决 最大最大(小小)值问题值问题. 返回 怎怎 么么 考考 从高考内容上来看，不等式的证明主要考查比较法从高考内容上来看，不等式的证明主要考查比较法 与综合法多考查作差法与基本不等式的应用，题目难与综合法多考查作差法与基本不等式的应用，题目难 度不大，属中档题度不大，属中档题. 返回 返回 精析考题精析考题 例例1(2011福建高考福建高考)设不等式设不等式|2x1|1的解集为的解集为M. (1)求集合求集合M; (2)若若a，bM，试比较，试比较ab1与与a

3、b的大小的大小 返回 自主解答自主解答 (1)由由|2x1|1，得，得12x11， 解得解得0 x1，所以，所以Mx|0 x1 (2)由由(1)和和a，bM可知可知0a1,0b1. 所以所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0, 故故ab1ab. 返回 本例条件不变，试比较本例条件不变，试比较logm(ab1)与与logm(ab)(m0 且且m1)的大小的大小 解：解：0a1,0b1， (ab1)(ab)(a1)(b1)0. 故故ab1ab. 当当m1时，时，ylogmX在在(0，)上递增，上递增， logm(ab1)logm(ab) 当当0m1时时logmX在在(0，)上单调递减，上单调递减

4、， logm(ab1)logm(ab) 返回 巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！) 返回 返回 返回 冲关锦囊冲关锦囊 比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是 (1)作差；作差；(2)变形；变形；(3)判断差的符号；判断差的符号；(4)下结论其中下结论其中“变变 形形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的 形式，再结合不等式的性质判断出差的正负形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. 返回 精析考题精析考题 例例2(2011安徽高考安徽高考)(1

5、)设设x1，y1，证明，证明 xyxy； (2)设设1abc，证明，证明 logablogbclogcalogbalogcblogac. 返回 返回 返回 返回 巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！) 返回 返回 4(2011南通二调南通二调)设设x，y，z为正数，求证：为正数，求证：2(x3y3 z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy) 返回 证明：因为证明：因为x2y22xy0， 所以所以x3y3(xy)(x2xyy2)xy(xy)， 同理同理y3z3yz(yz)，z3x3zx(zx)， 三式相加即可得三式相加即可得2(x3y3z3)xy(xy)yz(yz)zx(zx)， 又因为又因为xy(xy)yz(yz)zx(zx)x2(yz)y2(xz)z2 (xy) 所以所以2(x3y3z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy) 返回 返回 2分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式 时，不要把时，不要把“逆求逆求”错误地作为错误地作为“逆推逆推”，分析法的过程仅，分析法的过程仅 需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说， 分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用 “要证要证”、“