复变函数与积分变换课件第二章[章节优讲]

1、1优质教学 无关的充要条件是 与路径曲线积分 C C QdyQdyPdxPdx格林定理：格林定理： ., , 都连续 y Q x Q y P x P x Q y P 2优质教学 又称为柯西柯西- -古萨定理古萨定理 3优质教学 练习练习: : 解解 1 .d 32 1 z z z 计算积分计算积分 , 1 32 1 内解析内解析在在函数函数 z z 根据柯西积分定理根据柯西积分定理, 有有 1 . 0d 32 1 z z z 4优质教学 5优质教学 BB 0 z 1 z 0 z 1 z 1 C 2 C 1 C 2 C , , 10 zz终点为终点为如果起点为如果起点为 21 d)(d)( CC

2、 zzfzzf 1 0 d)( z z zzf , , , 110 zzBzz 并令并令内变动内变动在在让让如果固定如果固定 .d)()( 0 z z fzFB 内的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定 6优质教学 . )()( , d)()( , )( 0 zfzF BfzF Bzf z z 并且并且析函数析函数 内的一个解内的一个解必为必为那末函数那末函数 内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理定理3： Bz 0 y)y)iQ(x,iQ(x,y)y)P(x,P(x, udyudyvdxvdxi ivdyvdyudxudx d df(f() )F(z)F(z)

3、 证：因证：因 y)y)(x,(x, ) )y y, ,(x(x y)y)(x,(x, ) )y y, ,(x(x z z z z 0 00 00 00 0 0 0 7优质教学 ).()( ),(),()( ., ., zfivu x Q i x P zF EyxiQyxPzF u y Q v x Q v P u x udyvdxdQvdyudxdP 而且 内的解析函数，是由此可知 即 ，因此两个线积分与路径无关 y P 8优质教学 原函数的定义原函数的定义: : . )( )( , )()( , )( )( 的原函数的原函数 内内在区域在区域为为那末称那末称即即 内的导数为内的导数为在区域在

4、区域如果函数如果函数 Bzfzzfz zfBz .)( d)()( 0 的一个原函数的一个原函数是是显然显然zffzF z z 原函数之间的关系原函数之间的关系: : . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf 证证: , )( )( )( 的任何两个原函数的任何两个原函数是是和和设设zfzHzG 9优质教学 )()()()( zHzGzHzG 那末那末 0)()( zfzf .)()( czHzG 于是于是) ( 为任意常数为任意常数c , )( )( zFBzf内有一个原函数内有一个原函数在区域在区域如果如果 那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数, ,

5、 . )()(为任意常数为任意常数一般表达式为一般表达式为cczF 根据以上讨论可知根据以上讨论可知: : 证毕证毕 10优质教学 定理定理4:4: . , 内的两点为域这里Bzz 10 ) )G G( (z z) )G G( (z zd df f( () ) 那那末末 的的一一个个原原函函数数, , f f( (z z) ) 为为 G G( (z z) ) 内内处处处处解解析析, , B B 在在单单连连通通域域 f f( (z z) ) 如如果果函函数数 0 01 1 z z z z 1 1 0 0 ( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) ) 11优质教学 证明证明:

6、: , )( d)( 0 的原函数也是因为zff z z ,)( d)( 0 czGf z z 所以 , 0 时时当当zz 根据柯西积分定理根据柯西积分定理, , , )( 0 zGc 得得 , )()( d)( 0 0 zGzGf z z 所以 . )()( d)(,zz 011 1 0 zGzGf z z 即得令上式中 证毕证毕 说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, , 复变函数的积分就可以复变函数的积分就可以 用跟微积分学中类似的方法去计算用跟微积分学中类似的方法去计算. . 12优质教学 例1 计算下列积分: 1) 2) 2 2 2 (2) i zdz 2 0 cos() 2 i

7、 z dz .)2 ; 3 1 1 ee i ）解： 13优质教学 14优质教学 定理定理5 5 （复合闭路定理）如果 在多连域 内解析，复合闭路 所围的区域全部包含于 中，那么 E ( )f zE )( 10 n CCCC 0 1 )()( C n k C k dzzfdzzf或 C C 0 0f f( (z z) )d dz z 15优质教学 0 L 1 L 2 L n L 1 E 2 E 16优质教学 复合闭路定理的一个特殊情形： 重要性在于能够把函数沿一闭曲线的积分转化到重要性在于能够把函数沿一闭曲线的积分转化到 另一闭曲线的积分另一闭曲线的积分 01 CCC 01 )()( CC dzzfdzzf 闭路变形公式闭路变形公式 : : 17优质教学 例2 设 为包含 的任一正 向闭曲线，求 . 1 0 dz zz C C 0 z .2 11 , 1 00 110 idz zz dz zz CCCz CC 式，得的内部，由闭路变形公 含于使为圆心作圆周解：以 18优质教学 例3 计算 的值，其中 为包含圆周 在内的任何正 向简单闭曲线 C dz zz 2 1 C 1z 1C 2C 19优质教学 00220 1 1 11 1 1 111 1, 0 2211 21 222 21 ii dz z dz z d