2019年大一高数复习资料.doc

1、高等数学第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域） （ ）Ua,x | xaU a,x | 0xa第二节数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列xn，证明 limxnax【证明示例】N 语言1由 xna化简得 ng， Ng20，Ng，当nN时，始终有不等式xna成立，即对 limxnax第三节函数的极限 xx0 时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数fx，证明 lim fx Axx0【证明示例】语言0xx0g1A化简得，由 f x g2即对0 ，g，当 0x x0时，始终有不等式 f x A成立， limf xAx x0 x时函数极限的证明（）【题

2、型示例】已知函数f x，证明 lim fxAx【证明示例】X1由fxA Xg语言化简得 xg，2即对0 ，Xg，当 xX 时，始终有不等式fxA成立， lim f xAx第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数 f x 无穷小lim f x0函数 f x 无穷大lim f x无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f x 为有界函数，g x 为无穷小，则limfxgx0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x为无穷大，则f 1 x 为无穷小；反之，若f x 为无穷小，且高等数学期末复习资料第1页（共 17页）f x 0 ，则 f 1 x 为无穷大【题型示例】计算：limfx

3、gx（或 x）xx01 fxM 函数fx 在 xx0的任一去心邻域 U x0 ,内是有界的；（ fx M ，函数fx在 x D 上有界；）2 lim g x0即函数 g x是 xx0 时的无穷小；x x0（ lim g x0 即函数 g x 是 x时的无穷小； ）x3由定理可知limfxgx0xx0（ limfxgx0）x第五节极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式 p x、 q x 商式的极限运算设：p x a0 xma1xm 1amq x b0 xnb1xn 1bnnm则有 limp xa0nmxq xb00nmfx0gx00gx0fxgx00,

4、fx00limxx x0 g0gx0f x000（特别地，当 limfx0gx（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可xx00以用罗比达法则求解）【题型示例】求值limx3x3x293 ，所以原式 lim x3x 311【求解示例】解：因为x3，从而可得 xlimlimx 3 x29x 3 x 3 x 3x 3 x 3 6其中 x3 为函数 fxx3 的可去间断点x29倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0x3解： limx230lim11limx 3 x9 L x 329x 3 2 x 6x高等数学期末复习资料第2页（共 17页）连续函数穿越定理（复

5、合函数的极限求解）（）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那么，lim fxf limxx x0x x0【题型示例】求值：limx3x29x3【求解示例】 limx3limx316x29x2966x3x3第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（ P53）（）第一个重要极限：lim sin x1x0xx0,， sin xxtan x lim sin x12x0xx1lim1limlimx01sin xsin xx0 sin xx0limxx0x（特别地， limsin( xx0 )1）x x0xx0单调有界收敛准则（P57）（）1x第二个重要极限：lim 1exx（一般地， limfxg

6、xlim fxlim g x，其中 lim fx0 ）x 1【题型示例】求值：lim2x3x2x1【求解示例】2x3x12x12x12x 1解：limlim1lim2x12 x11xx2 x12x2x 12 x 122x 12 x2x121lim122 x1lim122x12x12 x 12 x 12 x1lim2x12 x122 x 122limx 12 x 1lim12 x12x1e2 x 1lim2 x22 x112 x 1eee第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）U sin U tan U arcsin U arctan U ln(1U )1U1e高等数学期末复习资料第3页

7、（共 17页）21U21cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：ln 1xx ln 1xlimx23 xx0【求解示例】解：因为x即x0,所以原式limln 1xx ln 1 x0,23xx 0xlim 1xln 1xlim 1xxlim x11x 0x x 3x 0 x x 3x 0 x 3 3第八节函数的连续性函数连续的定义（）limfxlimf xfx0x x0x x0间断点的分类（ P67）（）第一类间断点（左右极限存在）跳越间断点（不等）可去间断点（相等） （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）第二类间断点无穷间断点（极限为）【题型示例】设函数fxe2 x，x0 应

8、该怎样选择数a ，使得 fx 成为在 R 上的连续函数？axx0【求解示例】f0e20e1e1f0a0af0a2由连续函数定义limf xlimf xf 0 ex0x 0 a e第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（）【题型示例】证明：方程fxgxC 至少有一个根介于a 与 b 之间【证明示例】1（建立辅助函数）函数xf xgxC 在闭区间a, b 上连续；2ab0 （端点异号）3由零点定理，在开区间a, b 内至少有一点，使得0 ，即 fgC 0（01）4这等式说明方程f xgxC 在开区间a,b 内至少有一个根第二章导数与微分第一节导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（）【题型

9、示例】已知函数f xex1， x0 在 x 0 处可导，求 a ， baxbx0【求解示例】高等数学期末复习资料第4页（共 17页）1f0e01 ， f 0e01 e0 1 2f0af 0be0 1f 02f0f0a12由函数可导定义0f0f0 b 2f a 1,b 2【题型示例】求yfx在xa处的切线与法线方程（或：过 yfx图像上点a, fa处的切线与法线方程）【求解示例】1 yf x， y |x af a2切线方程： yfafaxa法线方程：yfa1xafa第二节函数的和（差） 、积与商的求导法则函数和（差） 、积与商的求导法则（）1线性组合（定理一） ： ( uv)uv特别地，当1时，

10、有 (uv) uv2函数积的求导法则（定理二）： (uv)u vuvuu vuv3函数商的求导法则（定理三）：vv2第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）【题型示例】求函数f 1 x 的导数【求解示例】由题可得f x 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且fx0 ；f 1 x1fx复合函数的求导法则（）【题型示例】设ylnearcsinx21x2a2，求 y【求解示例】解： yarcsinx2122earcsinx2 1x2a21exax2x2a21earcsinx211earcsin x 2x2a2x22 x2a21112x1earcsinx21 2x212xearcsin

11、 x 2 1x2a22x22x2a2earcsin x 21x2a2earcsinx21x 2xx2xa 2112x 2第四节高阶导数高等数学期末复习资料第5页（共 17页） f nxfn 1x （或 dn yd n 1 y ）（）dxndx n 1【题型示例】求函数yln 1x 的 n 阶导数【求解示例】y11x11x，y1 x111x2 ，y11 x21231 xy n( 1)n 1 ( n 1)！(1 x) n第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对x 求导）（）【题型示例】试求：方程yxey 所给定的曲线 C ： yy x 在点 1e,1 的切线方程与法线方程【求解示

12、例】由 yxey 两边对 x 求导即 yxey化简得 y1eyy1 1 y1 e1 1 e切线方程： y 11x 1e1e法线方程： y 11e x1 e参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程xt，求 d 2 yytdx2d 2 ydydytdx【求解示例】 1.2.dx 2tdxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dyfxdx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理） （）罗尔定理（）【题型示例】现假设函数f x在 0,上连续，在 0,上可导，试证明：0, ，使得 fcosfsin0 成立【证明示例】1（建立辅

13、助函数）令xfx sin x显然函数x 在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2又0f0 sin00高等数学期末复习资料第6页（共 17页）fsin0即003由罗尔定理知0,，使得 fcosfsin0 成立拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x1时， exe x【证明示例】1（建立辅助函数） 令函数 fxex ，则对x1，显然函数 fx在闭区间 1,x上连续， 在开区间 1,x上可导，并且 fxex ；2由拉格朗日中值定理可得，1, x 使得等式 exe1x1 e 成立，又 ee1 ， exe1x 1 e1e x e ，化简得 exe x ，即证得：当x1 时， exe x【题型示

14、例】证明不等式：当x0时， ln 1xx【证明示例】1（建立辅助函数）令函数fxln 1x，则对x0 ，函数 fx 在闭区间0, x 上连续，在开区间0, 上可导，并且 fx1；1 x2由拉格朗日中值定理可得，0,x 使得等式 ln 1x ln 11x0 成立，01化简得 ln 1x1，又0, x ，x1 f1， ln 1x 1 x x ，11x即证得：当x1时， ee x第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A 属于两大基本不定型（0 , ）且满足条件，f xfx则进行运算：li

15、mlimx0x a g xx a g（再进行1、 2 步骤，反复直到结果得出）B 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）【题型示例】求值：lim xln xx 0【求解示例】ln xln x1解：xlim x ln x limlimlimx 1x 0x 0 1 L x 0x 0x1x2x10lim xa x 0（一般地， lim xln x0，其中 ,R ）x0高等数学期末复习资料第7页（共 17页）型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim11sin xxx0【求解示例】解：11limxsin xlimx sin xlimsin xxx sin xx2x0x 0x 00xsin

16、x01cosx0limlim 1cosx 0limlim sin x0 00 型（对数求极限法）Lx 0x2x 02xLx 02xx 02【题型示例】求值：lim xxx0【求解示例】解：设yx,两边取对数得：ln xxln xxln yxln x1x 1 型（对数求极限法）ln xln x对对数取x时的极限：lim0lim ln y1limx0x0Lx 0x1x1limxlim x，从而有lim yln ylim ln ye01x 010lim eex 0x0x 0x 0x21【题型示例】求值：limcos xsin x xx 0【求解示例】1ln cos xsin x解：令 ycosxsi

17、n xx ,两边取对数得 ln y,x对ln y求x时的极限，lncos xsin x0lim ln y limxx 0x00lncos xsin xcos xsin x10从而可得0limlimsin x101,L x 0xx0 cos xlim y= lim eln ylim lnye1eex 0x 0x0 0 型（对数求极限法）【题型示例】求值：limtan x1x0x【求解示例】高等数学期末复习资料第8页（共 17页）1tan xtan x ln 1 ,解：令 y,两边取对数得 ln yxx对ln y求x时的极限，tan x10lim ln y limlnx 0x0xln xln x1

18、limlimlimx12x0Lx 01x0sec xtan xtan2 xtan x202lim sinx0sin xli m 2sin xcos x0,limxx 0xL x0x01从而可得 lim y= lim eln ylimln y1ex 0e0x0x0运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）0000(1)(2)(3)010通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数fx2x39x212x3 的

19、单调区间【求解示例】1函数fx 在其定义域 R 上连续，且可导2令fx6x218x12fx6 x1 x2 0 ，解得： x1 1,x2 23（三行表）x,111,222,fx00fx极大值极小值4函数 fx 的单调递增区间为,1, 2,；单调递减区间为1,2【题型示例】证明：当x0 时， exx1【证明示例】1（构建辅助函数）设xexx1，（ x0 ）xx10，（ x0）2e x003x0 时，ex1既证：当x【题型示例】证明：当x0 时， ln 1xx高等数学期末复习资料第9页（共 17页）【证明示例】1（构建辅助函数）设x ln 1 x x ，（ x0 ）2x1，（ x0 ）1 01 x x0 03x0时，ln 1 x x既证：当连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数y13x2x3 的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】y3x26x3x x216x66x1y2令y3x x 20x10, x22y6x10解得：1x3（四行表）x (,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yy1(1,3)54函数 y13x2x3单调递增区间为(0,1), (1,2)单调递增区间为 ( ,0) , (2,) ；函数 y13x2x3的极小值在 x0 时取到，为f 0 1，极大值在 x2 时取到，为f 25；函数函数y13x2x3 在区间 (,0) , (0,1) 上