【课件】2.1.1　倾斜角与斜率

1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1倾斜角与斜率 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念. 2.了解用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 1.倾斜角 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角.

2、 2.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角的取值 范围为0180. 直线的倾斜角 1.直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量. 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2-x1,y2-y1). 12 PP 12 PP 直线的方向向量 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 1.斜率斜率 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k= tan(90). 2

3、.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90的直线没有斜率. 直线l的倾斜角与斜率k的对应关系如下表: 直线情况垂直于y轴由左向右上升垂直于x轴由左向右下降 图示 倾斜角(范围)=0090=90900不存在k0 直线的斜率 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 3.过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式是k=. 4.直线的方向向量与斜率的关系直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1,y

4、1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线,其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1),因 此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k). (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x0)时,直线的斜率k=. 21 21 - - y y x x 12 PP 21 21 - 1, - y y x x y x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 1.任何一条直线有且只有一个倾斜角和它对应.() 2.任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.() 提示:任何直线都有倾斜角,

5、但它们不一定都有斜率,如与x轴垂直的直线的倾斜角为90,但 它没有斜率. 3.已知直线上两个点的坐标P1(x1,y1),P2(x2,y2),可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向 量,进而可以求出它的斜率.() 提示:由直线上两点可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量=(x2-x1,y2-y1),但是当 x1=x2时,k=无意义,它的斜率不存在. 4.若一条直线的倾斜角为0,则这条直线与x轴平行.() 提示:倾斜角为0的直线与x轴平行或重合. 12 PP 21 21 - - y y x x 判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” 。 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1

6、讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 5.直线的倾斜角越大,它的斜率也越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也越大.() 提示:设直线的倾斜角为,斜率为k.当=60时,k=;当=150时,k=-,所以直线的倾斜角 越大,斜率不一定越大;直线的斜率越大,它的倾斜角也不一定越大. 6.当直线的斜率小于0时,其倾斜角的范围是90180.() 7.直线的倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系.() 提示:不同的直线可以有相同的倾斜角. 3 3 3 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念

7、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 求倾斜角与斜率的取值范围 1.直线的倾斜角直线的倾斜角 所有的直线都有倾斜角,它从几何的角度对直线的倾斜程度进行了刻画,使直线更加形象、 直观.直线的倾斜角的取值范围为0180. 2.直线的斜率直线的斜率 直线的斜率表示直线相对于x轴正向的倾斜程度,它可以通过直线上任意两点的坐标表示 出来.斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的顺序可以同时调 换,但必须上下对应,即k=(x1x2). 3.直线的倾斜角与斜率的变化关系直线的倾斜角与斜率的变化关系 (1)当直线的倾斜角090时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大; (2)当直线的倾斜角9

8、0180时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大. 12 12 - - y y x x 21 21 - - y y x x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 经过两点的直线斜率公式及其应用 1.已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2),利用公式k=可求出直线的斜率. 2.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率, 即kAB=kAC(或kAB=kBC,kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC,kAC=kBC),则直线A

9、B与AC(或AB与BC,AC 与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B,C),因此点A,B,C在同一条直线上. 3.(xa)可以看成过点(x,y)与点(a,b)的直线的斜率,由此可求一次分式的最大值与最小 值. 21 21 - - y y x x - - y b x a 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1x1),试求的最大值和最小值. 3 2 y x 思路点拨思路点拨 可以看成是过点P(-2,-3)和曲线上任意一点(x,y)的直线的斜率,结合图形求出斜率的最 大值和最小值即可. 3 2 y x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 解析解析可以看成是过点P(-2,-3)和曲线上任意一点(x,y)的直线的斜率,如