西安电子科技大学研究生课程随机过程1.2

1、三三 随机过程的有限维特征函数族随机过程的有限维特征函数族 n k kkk xgxgfS 1 1) ()()( S 0 lim 1.Stieltjes积分积分 定义定义 设f(x), g(x)是定义在a,b上的两个有界函数,对 a,b 的任一划分 a=x0 x1xn=b, 记 =maxxk 任取kxk-1,xk,k=0,1,n.作和 若极限存在,且与a,b的分法及k的取法无关. 则称此极限为f(x)对函数g(x)在a,b上的Stieltjes积分积分. 简称S积分积分.也称f(x)对g(x)在a,b上S可积可积. 记 b a xdgxf)()( 设f(x), g(x)是定义在(-,+ )上的两

2、个函数,若 在任意有限区间a,b f(x)对 g(x)在a,b S可积,且 b a b a xgxf)()(lim 存在 则称此极限为f(x)对g(x)在无穷区间(-,+ )上的 Stieltjes积分积分.记 )()(xdgxf 关于关于Stieltjes积分有如下性质积分有如下性质 当g(x)为跳跃函数,且在xi (i=1,2,)具有跃度pi时有 i i i pxfxdgxf )()()( 当g(x)存在导数g(x)时,有 dxxgxfxdgxf )()()()( 利用利用Stieltjes积分可以统一离散型积分可以统一离散型r.v.与连续型与连续型r.v.(或或 随机变量的函数随机变量的

3、函数)的数学期望定义的数学期望定义.如下如下 定义定义 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x),若若 )()(xdFxXE ( )xdF x 则则X的期望为的期望为 并有以下结论并有以下结论 (1)设设 v.r.X的分布函数为的分布函数为F(x), y=g(x)是连是连 续函数续函数,若若 )()(xdFxg 则则v.r.Y=g(X)的期望为的期望为 )()()(xdFxgYE (2)一般设一般设v.r.(X1,Xn)的联合分布函数为的联合分布函数为 F(x1,x2,xn),g(x1,x2,xn)为连续函数为连续函数. 若若 ),.,(),.,( 2121nn xxxdFxxx

4、g 则则v.r.Y=g(X1,X2,Xn)的数学期望存在的数学期望存在.且且 ),.,(),.,()( 2121nn xxxdFxxxgYE ( )E( ) juXjux ueedF x u 定义定义 设随机变量设随机变量X的分布函数的分布函数F(x),则称则称 为随机变量为随机变量X的的特征函数特征函数. 2.随机变量的特征函数随机变量的特征函数 其中其中u为实参变量为实参变量, 为复随机变量为复随机变量 juX e 对任意实数对任意实数u, ,有有|e|ejux jux|=1. |=1.故故EEejux总存在总存在. (1) 特征函数总是存在的特征函数总是存在的. 关于特征函数的几点说明关

5、于特征函数的几点说明 (2)特征函数的性质特征函数的性质(证明证明page17) 01u（ ） （ ） ( )()uu 若若Y=aX+b ,a,bY=aX+b ,a,b为常数为常数, ,则则 ( )() jbu YX ueau ( )u 在（，）上一致连续. 若若X与与Y相互独立相互独立,Z=X+Y,则则 ( )( )( ) ZXY uuu (可推广到可推广到n个相互独立随机变量个相互独立随机变量) 11 ()0 nn k lkl lk uuz z 是非负定的是非负定的. ( )u 即对任意的即对任意的n,任意复数任意复数Zk,任意实数任意实数uk (k=1,2,n),有有 设随机变量设随机变

6、量X的的n阶原点矩阶原点矩(即即EXk)存在存在, 则则( )u存在存在k(kn)阶导数阶导数,且有且有 ( ) (0)EX , kkk jkn ( ) (0) EX, k k k kn j (3)一些重要分布的特征函数一些重要分布的特征函数 单点分布单点分布 P(X=c)=1, c常数.则 ( ) juXjuc uE ee 二项分布二项分布,C)X(P knkk n qpk k=0,1,n.0p0 则特征函数则特征函数 0 ( ) ! k juXjuk k uE eee k (1) 0 () ! juju juk ee k e ee ee k 均匀分布均匀分布 r.v.XU(a,b,密度函数

7、为 其它 bxa ab xf , 0 , 1 )( 则特征函数则特征函数 X ( )E( ) jujux ueef x dx 11 () () b juxjbujua a edxee bajt ba 正态分布正态分布 r.v.XN(, 2),密度函数为密度函数为 常数)0(, 2 1 )( 2 2 2 )( xexf x 则特征函数 X ( )E( ) jujux ueef x dx 2 2 2 () () 22 11 22 xv juxjuv eedxeedv 2 2 22 2 1()1 222 1 2 vju j uuj uu eedve x v 令 特别特别XN(0,1)时时 2 2 )

8、 u ue （ 指数分布指数分布 r.v.X服从参数为服从参数为(0)(0)的指数分布的指数分布, , 概率概率 密度为密度为 0 0 , 0 , )( x xe xf x 则特征函数则特征函数 X ( )E( ) jujux ueef x dx () 00 juxxjux eedxedx ju (4)随机变量的分布函数与其特征函数随机变量的分布函数与其特征函数 相互唯一确定相互唯一确定. 定义定义(多元特征函数多元特征函数) 设设n维随机变量维随机变量X=(X1,X2,Xn)的联合分布函数的联合分布函数 为为F(x1,x2,xn),则称则称 1122 () 12 ( ,)E nn uXjXu

9、u X n u uue E T juX e 1 12 2 () 12 (,) n n j u xu xu x n edF x xx 为为n维随机变量维随机变量X的特征函数的特征函数. 也称也称多元特征函数多元特征函数 多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质 n维随机变量的特征函数与其联合分布函数维随机变量的特征函数与其联合分布函数 是一一对应的是一一对应的 特征函数应用举例特征函数应用举例: 2 1.PoissonEX EXDX设X服从参数为 的分布，求， (1) ( ) ju e ue 解： 由题意 (1)22(1) ( ),( )() juju j

10、uejujue uj e eueee 则 ( ) (0)EX kkk j则利用特征函数性质： (0) EX j 得 22 2 (0) EX j 22 ()DXEXEX 2 2. 1 2 12n kkk X ,X ,X XNk = , ,n 设相互独立，且 （，）, n k k=1 用特征函数求随机变量Y=X 的概率分布 2 2 1 2 ( ),1,2,., kk k juu X uekn 解：由题意 1 ( )( ) k n YX k uu 2 2 1 2 1 kk n juu k e 22 11 1 ()() 2 nn kk kk juu e 2 11 (,) nn kk kk N n k

11、k=1 Y=X 定义定义 (随机过程的有限维特征函数族随机过程的有限维特征函数族) 设设 X(t),tT是一个是一个S.P. 对于任意固定的对于任意固定的 t1,t2,tnT, X(t1), X(t2), , X(tn)是是n个个 随机变量随机变量,称称 1212 ( , ,., ;,.,) nn t tt u uu 1 ( ) 11 ( ,;,) n ii i ju X t nn edF ttxx E )()( 11nn tXutXuj e 为为S.P.X(t),tTS.P.X(t),tT的的n n维特征函数维特征函数. . (ui R, i=1,2,n) 1212 ( , ,.,.,),1

12、,2,., nnii t tt u uutT uR in 称 ; 为随机过程的有限维特征函数族为随机过程的有限维特征函数族 四四 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 有限维分布函数族虽然能够完整描述随机有限维分布函数族虽然能够完整描述随机 过程的统计特征过程的统计特征,但是在实际中很难得到但是在实际中很难得到. 因此因此,如同随机变量一样如同随机变量一样,也用数字特征来也用数字特征来 表征随机过程表征随机过程.即将随机变量的数字特征即将随机变量的数字特征 推广到随机过程中推广到随机过程中. 但要注意其区别但要注意其区别:随机过程的数字特征随机过程的数字特征 不再是确定的数不再是确定的数,而是

13、确定的时间的函数而是确定的时间的函数. 1. 均值函数均值函数 对任意的对任意的tT,T,若若EX(t)EX(t)存在存在, ,则称则称 EX(t)为为S.P.X(t)的的 均值函数均值函数. 记记mX(t) 即即 mX(t)= EX(t) tT 设设X(t)是一是一S.P. 2. 方差函数方差函数 设设X(t)是一是一S.P.对任意的对任意的tT, 若若 DX(t)=EX(t)-mX(t)2 存在存在, 则称则称DX(t)为为S.P.X(t)的的方差函数方差函数. 记记DX(t). 即即 DX(t)= EX(t)-mX(t)2 tT 3. 协方差函数协方差函数 设设X(t)是一是一S.P.

14、对任意的对任意的s,tT,若若 Cov(X(s),X(t)=EX(s)-mX(s)X(t)-mX(t) 存在存在,则称则称Cov(X(s),X(t)为为S.P.X(t)的的 协方差函数协方差函数.记记 CX(s,t). 即即 CX(s,t)= EX(s)-mX(s)X(t)-mX(t) s,tT 4. 相关函数相关函数 设设X(t)是一是一S.P.对任意的对任意的s,tT, 若若 EX(s)X(t) 存在存在, 则称则称EX(s)X(t)为为 S.P.X(t)的的相关函数相关函数. (自相关函数自相关函数) 记记RX(s,t).即即 RX(s,t)=EX(s)X(t) s,tT 显然显然 mX

15、(t)=0时时, CX(s,t)= RX(s,t) 5. 均方值函数均方值函数 设设X(t)是一是一S.P. 对任意的对任意的tT, 若若EX(t)2存在存在,则称则称 EX(t)2为为S.P.X(t)的的均方值函数均方值函数. 记记X(t).即即 X(t)= EX(t)2 tT 随机过程的数字特征有如下关系随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) s,tTT DX(t)=CX(t,t) tT X(t)=RX(t,t) tT 所以最关键的数字特征是均值函数所以最关键的数字特征是均值函数 与相关函数与相关函数 本节内容举例本节内容举例 设S.P. X(t

16、)=acos(t+). a, 常数, U0, 2 求该过程的均值函数,相关函数,方差函数. 解解 ( )( ) X mtE X t 2 0 1 cos() 2 0 atd t ( , )( )( ) X Rs tE X s X t 2 2 0 2 1 cos()cos() 2 cos(), 2 astd a tss t ( , )( , )( )( ) XXXX Cs tRs tms mt 2 ( , ) cos(), 2 X Rs t a tss t 2 ( )( , ) 2 XX a DtCt tt 2. 设S.P. X(t)=Acost+Bsint t0, 为常数. A,B相互独立,同服

17、从正态分布N(0,2) 求该过程的数字特征. 解解 ( )( )0 X mtE X tt ( , )( )( ) X Rs tE X s X t 2 2 coscos (sincoscossin) sinsin E Ast E ABstst E Bst 2 cos (),tss t 五五 两个随机过程的联合分布和两个随机过程的联合分布和 数字特征数字特征 在实际问题中在实际问题中,有时需要同时考虑两个或者有时需要同时考虑两个或者 两个以上的随机过程两个以上的随机过程.例如例如: 一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能 同为随机过程同为随机过程. 同时考

18、虑一个线性系统的随机输入和随机输出同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出 的关系等的关系等. 定义定义 设设X(t),tTT和和 Y(t),tT 是是 两个随机过程两个随机过程.则称则称 X(t),Y(t), tT是二维随机过程是二维随机过程. 二维过程的概率分布与数字特征有以下定义二维过程的概率分布与数字特征有以下定义 定义定义 设设X(t),Y(t), tT是二维随机过程是二维随机过程. 1212 1,1, , ,., , ,., mn mnt ttT t ttT 对 1212 ( ),( ),(), ( ), ( ), ( ) mn X tX tX tY tY tY t mn 是维随机

19、变量，称 12121212 ( , ,;,; , , ;,) mmnn F t ttx xxt tty yy 112211 ( ),( ),(), ( ), ( ) mmnn P X tx X txX txY tyY ty ( ), ( ),X t Y t tTmn为二维随机过程的维分布函数 1212 1212 ( , ,;,) ( , , ;,) Xmm Ynn Ft ttx xx F t tty yy 若也记和 分 定义 别为随机过程 ( ), ( ),X t tTY t tTmn和的 维和 维分布函数. ( ), ( ),( ), ( ), X t Y y tTX t tT Y t tT

20、mn 也称之为二维过程关于和 的 维边缘分布函数和 维边缘分布函数. 1212 1,1, , ,., , ,., mn mnt ttT t ttT 如果对有 12121212 ( , ,;,; , , ;,) mmnn F t ttx xxt tty yy 12121212 ( , ,;,)( , , ;,) XmmYnn Ft ttx xxF t ttyyy = ( ), ( ),X t tTY t tT则称随机过程和相互独立. 定义定义 设设X(t),Y(t), tT是二维是二维S.P. 则对任则对任 意意s,tT,X(s) Y(t)是两个随机变量是两个随机变量. . (1) 若若EX(s

21、)Y(t)存在存在,则称则称 EX(s)Y(t)=RX,Y(s,t) 为该二维为该二维S.P.的的互相关函数互相关函数 (2) 若若 cov(X(s),Y(t)=E(X(s)-mX(s)(Y(t)-mY(t) 存在存在,则称则称 cov(X(s),Y(t)=CXY(s,t) 为该二维为该二维S.P.的的互协方差函数互协方差函数 显然有显然有 CXY(s,t)=RXY(s,t)-mX(s)mY(t) 定义定义 设设X(t), tT, Y(t), tT是二个是二个 S.P.若若 CXY(s,t)=0 或或 RX,Y(s,t)= mX(s)mY(t) s,tT, 则称则称S.P.X(t), tT与与

22、S.P.Y(t), tT 不相关不相关. 结论结论 若若S.P.X(t), tT和和S.P.Y(t), tT相互独立相互独立, 则则 X(t), tT和和Y(t), tT不相关不相关 六六. 复随机过程及其数字特征复随机过程及其数字特征 定义定义 设设X(t),tT和和Y(t),tT 是定义是定义 在同一概率空在同一概率空 间间(,F,P)上的上的两个两个 实实随机过程随机过程.令令 Z(t)= X(t)+jY(t) tT 则称则称Z(t), tT是复随机过程是复随机过程. 定义定义 设设Z(t), tT是复是复S.P. 对任意对任意t T, 称称 mZ(t)=EZ(t) 为为复复S.P.的均值函数的均值函数 称称 DZ(t)=DZ(t) =E|Z(t)- mZ(t)|2 为为复复S.P.的方差函数的方差函数 称称 Z(t)=E|Z(t)|2 为 为复复S.P.的均方值函数的均方值函数. 对任意的对任意的s,tT,T, 称称 RZ(s,t)=EZ(s)Z(t) 为为复复S.P.的相关函数的相关函数.