数学理第一轮第7章第46讲导数综合应用

1、 0,1,4 432 t 15 st 1. t2t 43 一点沿直线运动，如果由始点起经过 秒后的 距离为，那么速度为零的时 刻是秒末 32 123 st5t4ts0 t0t1t4. 因为，故令， 得， 解析： 2 3 104 a 3 2. 212 a将长为 的铁丝剪成两段，各围成长与宽 之比为及的矩形，则这两个矩形面积 和的最小值为 32 3. . 30f xxa xa a a 已知函数的极大 值为正数，极小值为负数，则 的取值范围 是 2 () 2 ， 3 300m 3 . 20 . 4 mm 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 ，长和宽的和为，则仓库容积的最大值为 2 3 m20m

2、 203360 660. 010. 0100100. x10V300 m max xx V Vxxxx Vx Vx xVxV 设长为，则宽为，仓库的容 积为 ， 则， 故 令，得 当时，；当时， 所以， ： 当时， 解析 2 20000 1100 R()x() 1 4000400 R x2 80000 5. 400 . xxx x 某企业生产某种产品，固定成本为 元，每生产 件产品，成本增加元已 知总收益元 与年产量件 的关系式是 ，则总利 润最大时，年产量是件300 2 2 2 max 20000100 1 30020000(0400) .2 60000100 (400) 0400 6002

3、0000 30025000 30025000 4006000010020000. Q xR xx xxx x x x Q xxx x xQ x xQ xx 总利润 当时， ， 所以当时，； 当 时， 综上知， 解析： 当总利润300最大时，年产量是件 与利润及其成本有关与利润及其成本有关 的最值问题的最值问题 5 ( 1 2 6 2) m x x x 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩 相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费 用为万元，距离为 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 【例 】 万元 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为 点，且不考虑其他因素

4、，记余下工程的 费用为y万元 (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m640米时，需新建多少个桥墩才 能使y最小？ 13 22 22 1 (1)n1, 256(1)(2) 256 256(1)(2)2256. 2561 21( )(512) 22 n m nxm x yf xnnx x mmm x xm xm xxx mm fxmxx xx 设需要新建 个桥墩， 则 ，即 所以 由知，=-+= 【解析】 3 2 ( ) 0=51264 064( )0( )0,64 64640( )0. ( )64,640 ( )64 640 119, 64 9 fxxx xfxf x xfxf x f

5、xx m n x y 令= ，得，所以 = 当时，在区间内为减函数； 当时，在区间 内为增函数， 所以在 米处取得最小值， 此时， 故需新建 个桥墩才能使 最小. 利用导数解决科技、经济、生产和生活 中的最值问题，是新课程高考要求考生必须掌 握的内容在解决导数与数学建模问题时，首 先要注意自变量的取值范围，即考察问题的实 际意义在应用问题的设计上，高考多设置为 单峰函数，以降低要求 【变式练习1】 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的函数 关系为P242001/5x2，且生产x吨该产品 的成本为R50000200 x元，问该厂每月生 产多少吨产品才

6、能使利润达到最大？最大利 润是多少？(利润收入成本) 2 3 2 1 (24200)(50000200 ) 5 1 2400050000(0) 5 3 24000 0 5 200(200) x f xxxx xxx fxx xx 每月生产 吨产品时的利润为 由 ， 得 【析】 舍去 解 因为f(x)在0，)内只有一个极值点x 200，故它就是最大值点，于是f(x)的最大值 为f(200)1/5200 324000200 500003150000(元) 答：每月生产200吨产品时，利润达到最大， 最大利润为315万元 效率最值问题效率最值问题 【例2】 如图，某地有三家工厂，分 别位于矩形ABC

7、D的两个顶点 A，B及CD的中点P处已知 AB20 km，BC10 km.为 了处理这三家工厂的污水， 现要在该矩形区域上(含边界)且与A，B等距的一 点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污 管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为y km. (1)设BAO(rad)，将y表示成的函数； (2)请你确定污水处理厂的位置，使铺设的污水 管道的总长度最短 1 . 10 coscos 10 10 10tan cos 1010 10 10tan coscos 20 10sin 10(0) cos4 POABQPQ AB BAOrad AQ OA OBOP yOAOBOP y 延长交于点 ，则由条

8、件知垂直 平分线段 若 则 故，又 所以 故所求函数关系式为 【解析】 22 min 10coscos(20 10sin )( sin )10(2sin1) 2 y coscos 1 y0sin.0,. 246 (0)y0y 6 y10 10 3. 6 PAB 10 3 ABkm. 3 g 令因为所以 当时是 的单调增函数 所以当时 此时点 位于线段的中垂线上，在矩形区域内且距离 边处 ，得 ， ， 解决实际应用问题的关键在于建立数学 模型和目标函数本题求解的切入点在于根 据图形，分析各已知条件之间的关系，借助 图形的特征，合理选择这些条件间的联系方 式，适当选定变元，构造相应的函数关系， 通

9、过求导的方法求出函数的最小值，便可确 定点C的位置 【变式练习2】 如图，用宽为a、长为b的三块木板，做成一个 断面为梯形的水槽问斜角为多大时，水槽的 流量最大？最大流量是多少？ 2 22 22 1 (). 2 2 cossin 1 (2 cos )sinsin (1cos )(0) 22 (2coscos1)0 1 (2coscos1)0coscos1. 2 1 0cos1cos 22 SSABED CD ABaaCDa Saaaaa SaS a 设横截面面积为 ，则 由于 ， 因此 又 ，令 ， 即 ，得 或 由于，得，那么 ， 【析 此时 】 解 3 00 3 3 S 因为当， 所以，当

10、 时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大 几何模型的最优化问题几何模型的最优化问题 【例3】 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边 长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个 无盖长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长 的比值不超过常数t(t0)试问当x取何值时，容 积V有最大值？ 2322 22 (22 )484. 2 00 2212 2 (0 12 2 121644()(3) 12 V xxaxxaxa x xat xatx axt at V x t at aVxxaxaxaxa t 因为 因为且，所以 所以函数的定义域为 ， 因为，且 【】 解析 利用导数解决生活中的优化问题，

11、关键 是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及 的几个变量转化为函数关系式，这需要通过 分析、联想、抽象和转化完成函数的最值 要由极值和端点的函数值确定当函数定义 域是开区间且在区间上只有一个极值时，这 个极值就是它的最值 【变式练习3】 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容 积为500 m3，问如何选择它的直径和高， 才能使所用材料最省？ 2 2 2 2 2 33 2 33 33 2000 ( )500 2 20002000 ( ) 242 2000500500 002 2 500500 02020 500500 2, d dhShh d ddd Sd hS dd d Sdh d dSdS 欲

12、使材料最省，实际上是使表面积最小，设直 径为 ，高为 【解 ，表面积为 ，由，得 又 ，而 令 ，即 ，得 ，此时 因为时，；时， 所以，当直径为高为用 析】 料最省 0， 1 sin () 2 0,2 1 . .f xxx xRf x 已知函数，则在区 间上的最大值与最小值分别为 1 cos 2 1 cos0 2 fxx fxx ， 令 解析： ， ， 24 0,2 33 xxx 因为，故或， 2 3 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 x0（ 0， ）( , )（ ，2) 2 f (x) 00000 f(x)单调增 极 大 值 单调减 极 小 值 单调增 minmax 23423 00

13、()()(2 ) 332332 0. ffff ff ， ， 9万件 3 () 1 () 3 812 4 . 3 2 . y xyx x 已知某生产厂家的年利润单位：万元 与年 产量 单位：万件 的函数关系式为 ，则使该生产厂家获得最大年利润的 年产量为 2 33 81009 1 8109 3 812340,9(9) 9 yxx yxxyx x x 令导数，解得；令导 数，解得，所以函数 在区间上是增函数，在区间 ， 上是减函数，所以在处取极大值，也 解析： 是最大值 10 90cm48c3m 90 cm . 用长为，宽为的长方形铁皮做一个无盖 的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把 四

14、边翻折角，再焊接而成，则该容器的高为 时，容器的容积最大 32 2 cmcm . 902482 4691080024 1246360121036 010010240. 0,1010,24 10 xx V Vxx x xxxx Vxxxx xVxV V xV 设容器的高为，即小正方形的边长为， 则该容器的容积为 ， ， 当时，；当时， 所以 在上是增函数，上是减函数， 故当时， 解析： 最大 4.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段 弯成正方形，一段弯成圆，问如何截才能使 正方形与圆的面积之和最小？ 22 (100). 100 ()() (0100) 24 xcm x cm S xx Sx

15、 设弯成圆的一段长为，则另 一段长为 记正方形与圆的面积之和为 ，则 【解析】 ， 1 (100) 28 100 0. 4 0,1000 100 4 x Sx Sx S xcm cm 故 令 ，得 由于在内函数 只有一个导数为 的点， 而问题中面积之和的最小值显然存在， 故当 时，正方形与圆的面积之和最小 答：将铁丝截成两段，其中长度为的一段弯成 圆，剩下的一段弯成正方形，就能使正方形和圆 的面积之和最小 5.有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km.两厂 要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和 乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水 站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 2 40 sin 11 40(0)5040 tan2tan 140 3 (5040)5 tansin 53cos 15040(0) sin