自动控制原理

1、 2 系统的系统的分析方法分析方法 时域、频域时域、频域 时域分析的目的时域分析的目的 不必准确地把微分方程解出来，而是不必准确地把微分方程解出来，而是 从微分方程判断出系统运动的从微分方程判断出系统运动的主要特征主要特征 从从工程工程角度分析系统角度分析系统运动规律运动规律。 控制系统的性能指标控制系统的性能指标 在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态 过程和稳态过程两部分组成。过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统的性能所以控制系统的性能 指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。 1.1.动态过程

2、和动态性能动态过程和动态性能 动态过程动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入（过渡过程、暂态过程）：在典型输入 信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。 动态响应过程有三种情况动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型：衰减型、发散型、等幅振荡型 动态性能动态性能：当系统的时间响应：当系统的时间响应c(t)中的瞬态分量较大而不能忽中的瞬态分量较大而不能忽 略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性。略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性。 稳态过程和稳态性能稳态过程和稳态性能 稳态过程稳态过程是指当时间是指当时间t趋近于无穷大

3、时，系统输出状态的表现形趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形 式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关 稳态误差的信息，用稳态性能来描述。稳态误差的信息，用稳态性能来描述。 通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下的系统稳通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下的系统稳 态误差；稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动态误差；稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 性能。性能。 ess=c期望- c（ ） 阶跃响应的性能指标阶跃响应的性能指标： 在测定或计算系统的动态性能指标时，由于阶跃函在测定或计算系统的动态性能指标时，由于阶跃函

4、 数可以表征系统受到的最严峻的工作状态，动态性数可以表征系统受到的最严峻的工作状态，动态性 能指标，一般由能指标，一般由阶跃响应的性能指标来描述。阶跃响应的性能指标来描述。 0 trtpts t y max y )(y 2 )(y )(05. 0y )(02. 0y 或或 td 6 1.1.对控制性能的要求对控制性能的要求 (1)(1)系统应是稳定的；系统应是稳定的； (2)(2)系统达到稳定时，应满足系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差给定的稳态误差的的 要求；要求； (3)(3)系统在动态过程中应满足系统在动态过程中应满足动态品质动态品质的要求。的要求。 稳定性稳定性 稳态特性稳态特性 动

5、态特性动态特性 7 为了能对不同的控制系统的性能用统一的标准来为了能对不同的控制系统的性能用统一的标准来 恒量，通常需要选择几种典型的外作用。恒量，通常需要选择几种典型的外作用。 典型输入（测试）信号典型输入（测试）信号选取原则选取原则： （1 1）简单的时间函数，便于数学分析和试验研究。）简单的时间函数，便于数学分析和试验研究。 （2 2）在现场及实验室中容易获得在现场及实验室中容易获得。 （3 3）实际信号可由这些典型信号组合而得。）实际信号可由这些典型信号组合而得。 控制工程中常用典型输入（测试）信号控制工程中常用典型输入（测试）信号： 阶跃信号阶跃信号，斜坡信号，抛物线信号，脉冲信号。

6、，斜坡信号，抛物线信号，脉冲信号。 8 （1 1）阶跃函数）阶跃函数 0 00 )( tA t txr ， ， A=1时称为单位阶跃函数时称为单位阶跃函数 )()()( 1)(tutxttx rr ，或 s tLsX r 1 )( 1 )( 单位阶跃信号的拉氏变换单位阶跃信号的拉氏变换 9 （2 2）斜坡函数）斜坡函数 A=1时称为单位斜坡函数时称为单位斜坡函数 0 00 )( tAt t txr ， ， 2 1 ( ) r Xs s 单位斜坡信号的拉氏变换单位斜坡信号的拉氏变换等速度函数 10 （3 3）抛物线函数）抛物线函数 当当A=1/2时，称为单位抛物线函数时，称为单位抛物线函数 0

7、00 )( 2 tAt t txr ， ， 3 1 )( s sX r 单位抛物线函数信号的拉氏变换单位抛物线函数信号的拉氏变换 等加速函数 单位函数，拉氏变换后系数都为单位函数，拉氏变换后系数都为1 11 （4 4）脉冲函数）脉冲函数 0(0) ( ) 0 0(0) r A t x t tt ， ， 0 1 ( )lim1 r XsL 当当A=1时，称为单位脉冲函数时，称为单位脉冲函数 （t t） 1)( dtt 单位脉冲信号的拉氏变换单位脉冲信号的拉氏变换 输入为脉冲函数时，输出为传递函数的表达 12 （5 5）正弦函数）正弦函数 周期函数周期函数 用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同

8、用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同 频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判 断系统的性能。断系统的性能。 22 ( )sin rr x tAtXsA s t 0 13 本章主要以本章主要以单位阶跃函数单位阶跃函数作为系统的作为系统的 输入量来分析系统的动态响应。输入量来分析系统的动态响应。 在工程上，许多高阶系统常常具有近在工程上，许多高阶系统常常具有近 似似一、二阶一、二阶系统的时间响应。因此，深入系统的时间响应。因此，深入 研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛 的实际意义。的实际意义。 14 1.1

9、.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型 ( )11 ( ) 1 ( )1 11 c B r K XsK s Ws K XssKTs s sK 15 2.2.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 s sX r 1 )( sTs sXsWsX rBc 1 1 1 )()()( T s s L sTs Ltxc 1 111 1 1 )( 11 )0( ,1)( 1 tetx t T c 东北大学自动控制原理课程组16 上升时间上升时间tr 调节时间调节时间 ts 动态性能指标定义动态性能指标定义 m t和不存和不存在在 上升时间：输出响应第一次达到稳态上升时间：输出响应第一次达到稳态 值值y

10、()y()所需的时间。或指由稳态值的所需的时间。或指由稳态值的 10%10%上升到稳态值的上升到稳态值的90%90%所需的时间。所需的时间。 调节时间：输出响应达到稳态值的调节时间：输出响应达到稳态值的95%或者或者98% 17 调节时间调节时间 Ttr20. 2 上升时间上升时间 1.1.随着控制精度的不同，控制系统需要的调整时间也不同。控制随着控制精度的不同，控制系统需要的调整时间也不同。控制 精度要求越高，控制系统需要的调整时间就越长；精度要求越高，控制系统需要的调整时间就越长； 2.2.系统的时间常数系统的时间常数T 越小，调节时间越小，调节时间ts越小，响应过程的快速性也越小，响应过

11、程的快速性也 越好。越好。 ts=3T(s)， （对应5%误差带） ts=4T(s)， （对应2%误差带） 18 1. 1.典型二阶系统的暂态特性典型二阶系统的暂态特性 2 2 222 (2) ( ) 2 1 (2) n nn B nnn n s s Ws ss s s 二阶系统有两个结构参数二阶系统有两个结构参数 ( (阻尼比阻尼比) )和和 n n( (自然振荡角自然振荡角 频率频率) ) 。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数 表示的。表示的。 闭环传函（振荡环节）：闭环传函（振荡环节）： 开环传函：开环传函： 2 ( ) 2 n k n

12、 W s s s （） 重要重要 典型二阶系典型二阶系 统标准形式统标准形式 19 2 1,2 1 nn p 特征根：特征根： 特征方程：特征方程： 22 12 20 nn ssspsp 特征根的性质取决于阻尼比特征根的性质取决于阻尼比 的大小；的大小；二阶系统的时间二阶系统的时间 响应取决于响应取决于 和和 两个参数，按以下情况来研究二阶系两个参数，按以下情况来研究二阶系 统的时间响应。统的时间响应。 n 001110 20 过阻尼（过阻尼（ 11） 系统的特征根为系统的特征根为 n p)1( 2 1 n p)1( 2 2 2 1,2 (1) n p 二不等负实根二不等负实根 特征根（闭环极

13、点）：特征根（闭环极点）： 21 输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 2 22 2 012 1212 1 ( ) (2) ()() n crB nn n XsXs Ws sss AAA s spspsspsp 1)( 00 sc ssXA 1 1 2 111 22 12 1 ( )()() ()() 21(1) n csp sp AXs spsp s spsp 2 2 2 222 22 12 1 ( )()() ()() 21(1) n csp sp AXs spsp s spsp 22 输出响应的时间函数：输出响应的时间函数： 12 22 11 012 12 12 (1)(1) 222 (

14、 )( ) 1 1 1, 0 2111 nn cc p tp t tt AAA x tLXsL sspsp AeA e ee t 12 12 pp AA 谁衰减的更快？谁衰减的更快？ ( )r t t ( )c t 0 r x t c xt 那个极点对系统影响更大？那个极点对系统影响更大？ 1 1 ( )1 p t c x tAe 两个极点两个极点 阶跃函数输阶跃函数输 入入 Xc(t)单位阶跃响应单位阶跃响应: 给定信号，系统的极点有关给定信号，系统的极点有关 给定信号有关的分量叫做稳态分量，由极点决定的两个为暂态分量给定信号有关的分量叫做稳态分量，由极点决定的两个为暂态分量 23 5)1

15、12 12 ( )1, 0 p tp t c x tAeA et 系统响应为单调上升；系统响应为单调上升； 稳态分量为稳态分量为1 1； 暂态分量由两部分组成，暂态分量由两部分组成，极点距虚轴越近，对系统响应极点距虚轴越近，对系统响应 影响越大。影响越大。 当当 时，第二项的衰减指数时，第二项的衰减指数远比前一项大得多远比前一项大得多，所以，所以 第第二二项暂态分量只是在响应的前期对系统的输出有影响，后项暂态分量只是在响应的前期对系统的输出有影响，后 期的影响很小，第二项可以忽略，此时的二阶系统的响应可期的影响很小，第二项可以忽略，此时的二阶系统的响应可 近似为一阶系统响应。近似为一阶系统响应

16、。 1 结论：结论： 1212 , ppAA 具有负具有负 实极点实极点 24 2 1 arctan （2 2）欠阻尼（）欠阻尼（ ） 系统的特征根为系统的特征根为 10 n jp)1( 2 1 n jp)1( 2 2 2 cos sin1 2 1,2 (1) n p 25 输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 1 2 2 ( )( ) 1cossin 1 1 1sin, 0 1 n n cc t dd t d x tLXs ett ett 式中：式中： 2 1 dn 2 1 arctan 阻尼角，阻尼角， 阻尼振荡频率阻尼振荡频率 22 22 sin () cos () at at L et

17、 sa sa L et sa 共轭极点的实部决定了共轭极点的实部决定了 响应分量的衰减速度，响应分量的衰减速度， 虚部决定了振荡频率虚部决定了振荡频率 2 222222 11 ( ) (2)()()()() nnn c nnndnd s X s ssssss 指数衰减，等幅振荡指数衰减，等幅振荡 26 结论：结论： 1 1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为衰减振荡曲线。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为衰减振荡曲线。 2 2、稳态分量为、稳态分量为1 1； n 3 3、暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数，、暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数， 形态与形态与 和和 有关；有关； 4. 4.

18、 极点的实部决定了衰减的速度，虚部决定了振荡的极点的实部决定了衰减的速度，虚部决定了振荡的 频率频率 2 1 ( )1sin, 0 1 nt cd x tett 重点，理重点，理 解性记忆解性记忆 27 1, 0.1 0.9 n 时的响应曲线时的响应曲线(阻尼比反映了对振荡阻尼比反映了对振荡 的阻碍能力的阻碍能力)。 0.2 0.3 0.1 0.4 0.8 振荡程度与振荡程度与 有关有关： 一定时，随一定时，随 的增大，系统的响的增大，系统的响 应速度变慢，超调量减小。应速度变慢，超调量减小。 越小，越小，超调量越大，超调量越大，振荡振荡 越剧烈。越剧烈。 n 28 （3 3）临界阻尼（）临界

19、阻尼（ =1=1） 系统的特征根为系统的特征根为 输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： n p 2, 1 2 00102 22 ( ) ()() n c nnn AAA Xs s ssss 1)( )( 1)( 2 2 2 02 2 01 00 n n n s n s nc nsnc sc s ssX ds d A ssXA ssXA 2 1,2 (1) n p 29 输出量的时间函数：输出量的时间函数： ( )1(1), 0 nt cn x tett 30 （4 4）无阻尼（）无阻尼（ =0=0） 系统的特征根为系统的特征根为 输出量的拉氏变换为输出量的拉氏变换为 二阶系统的暂态响应为二阶系

20、统的暂态响应为 12 , nn pjpj 2 2222 1 ( ) () n c nn s Xs s sss ttX nc cos1)( 结论：结论：输出输出Xc(t)为一条在为一条在0和和2之之 间间不衰减（无阻尼）的等幅不衰减（无阻尼）的等幅振荡振荡 曲线。曲线。 2 1,2 (1) n p 31 （5 5） 00（负阻尼）（负阻尼） 系统的特征根为系统的特征根为: : n p)1( 2 1 n p)1( 2 2 2 1 ( )1sin, 0 1 nt cd x tett 右半右半S S平平 面的二根面的二根 结论：结论： 当当 0 0 时系统具有二右半面的特征根，时系统具有二右半面的特征

21、根，输出输出 响应响应为一发散形式的曲线为一发散形式的曲线。 2 1,2 (1) n p 指数发散，正弦振荡指数发散，正弦振荡 32 东北大学自动控制原理课程组33 j 0 j 0 j 0 j 0 1 1 0 1 0 2 过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 零阻尼零阻尼 欠阻尼欠阻尼 2 22 ( ) 2 n nn W s ss 衰衰 减减 衰衰 减减 振振 荡荡 振振 荡荡 阻尼比反映了对振荡的阻碍能力，可以间接判断二阶系统动态品质; 极点的实部决定了衰减的速度，虚部决定了振荡的频率 动态响应为单调变化曲线，没有超调和 振荡，调节时间较长，系统反应迟缓 欠阻尼情况下，超调量 较大，振荡次数较多，

22、 调节时间长，动态品质 差。最大超调量仅和阻 尼比相关，通常可以根 据超调量选择阻尼比 34 综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的 暂态响应有很大的区别，因此阻尼比暂态响应有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系是二阶系 统的重要参量。统的重要参量。 当当 = 0= 0时，系统不能正常工作，而当时，系统不能正常工作，而当 = 1= 1 时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶 系统来说，系统来说，欠阻尼欠阻尼情况（情况（ ）是最有实际意）是最有实际意 义的。义的。 工程上把工程上把0.7070.707的二阶系统称为二

23、阶最优的二阶系统称为二阶最优 系统。超调量小响应速度快。系统。超调量小响应速度快。 10 2.无阻尼情况 0 极点为： n js 此时输出将以频率此时输出将以频率 做等幅振荡，所以，做等幅振荡，所以， 称为无阻尼振称为无阻尼振 荡圆频率荡圆频率。 n n 3.临界阻尼情况 1n s 2, 1极点为： 4.过阻尼情况1 2 2, 1 nn s极点为： 当当P10 70 例例3-4 系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系 统的稳定性。统的稳定性。 071464352 23456 ssssss 7 115 1589 7 18 115 11 7 18 7 5 2

24、5 7 1445 7632 0 1 2 3 4 5 6 s s s s s s s 解：列劳斯表解：列劳斯表 该系统不稳定，变号该系统不稳定，变号2 2次，次， 有有2个根在个根在S右半平面右半平面 31 20 1 1 1 aa aa a b 51 40 1 2 1 aa aa a b 7常数项，是偶次项最后一项，不变 71 例例3 3-5 -5 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。 处理方法：可以用一个小的正数 代替它，而继续计算其余各元， 完成劳斯表。 0122 234 ssss 4 3 2 1 0 111 22 01 2

25、2 1 s s s s s 解：列劳斯表解：列劳斯表 变号两次，有两个右半变号两次，有两个右半S S平面的根。第一列元素有为零项平面的根。第一列元素有为零项 ，系统必不稳定；，系统必不稳定； 系统闭环极点：系统闭环极点： -1.8832 -1.8832 0.2071 + 0.9783i0.2071 + 0.9783i 0.2071 - 0.9783i 0.2071 - 0.9783i -0.5310 -0.5310 例例3 3-6 -6 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, , 判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。 解：列劳斯表解：列劳斯表 第第1 1列各元中的上面和下面的系数符号列各元中的

26、上面和下面的系数符号 不变，故有一对虚轴上的根。不变，故有一对虚轴上的根。 将特征方程式分解，有将特征方程式分解，有 解得根为解得根为 022 23 sss 2 22 11 0 1 2 3 s s s s 2 (1)20ss 2,1 32, 1 pjp 73 处理方法：处理方法：利用全利用全 0 0 行的上一行各元构造一个行的上一行各元构造一个辅辅 助方程助方程，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的 系数代替劳斯表中的这个全系数代替劳斯表中的这个全 0 0 行，然后继续计算行，然后继续计算 下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通下去。这些大小相等而关于原点

27、对称的根可以通 过求解这个辅助方程得出。过求解这个辅助方程得出。 这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。 例如例如 显然，系统是显然，系统是的。的。 , , ppjpj 解：列劳斯表解：列劳斯表 例例3-7 3-7 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。 01616201282 23456 ssssss 000 861 016122 162081 3 4 5 6 s s s s 由上表可以看出，由上表可以看出，s3行的各项全部为零。为了求出行的各项全部为零。为了求出s3s0各项，各项，

28、 用用s4行的各元构成辅助方程式行的各元构成辅助方程式 86)( 24 sssp 它的导函数为它的导函数为 用导函数的系数用导函数的系数4 4和和1212代替行相应的元继续算下去，得代替行相应的元继续算下去，得 劳斯表为劳斯表为 ss ds sdp 124 3 8 3 4 83 124 861 016122 162081 0 1 2 3 4 5 6 s s s s s s s 结论：在新得到的劳斯表中第结论：在新得到的劳斯表中第1 1列没列没 有变号，因此可以确定在有变号，因此可以确定在S S右半平面右半平面 没有特征根。另外，由于行的各元均没有特征根。另外，由于行的各元均 为零，这表示有共轭

29、虚根。系统处于为零，这表示有共轭虚根。系统处于 临界稳定状态临界稳定状态。 这些虚根可由辅助方程式求出。本例的辅助方程式是这些虚根可由辅助方程式求出。本例的辅助方程式是 由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为 86)( 24 sssp 21,2,2 6 , 54 , 32 , 1 jpjpjp 出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号 相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。 79 83 参数对稳定性的影响参数对稳定性的影响 应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否稳应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否稳 定，还可以方便地用于分析系统参数变化对系定，还可以方便地用于分析系统参数变化对系 统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数 范围。范围。 84 例3-8 系统的闭环传递函数为 式中，Kk为系统的开环放大系数。试求使得系统 闭环稳定时 Kk 的取值范围 。 123 111 K B K K Ws TsT sT sK 解：系统特征方程为解：系统特征方程为 32 1 2 31 21 32 3123 10