等差数列前n项求和公式

1、易长丽易长丽 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的现了一个堆放铅笔的V形架，形架， V形架的最下面一层放形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一都比它下面一层多放一 支，最上面一层放支，最上面一层放100支支. 老师问：高斯，你知道这老师问：高斯，你知道这 个个V形架上共放着多少支铅笔吗？形架上共放着多少支铅笔吗？ 创设情景创设情景 问题就是：问题就是：计算计算1 2 3 99 100 高斯的算法高斯的算法 计算：计算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这高斯算法的高明之处在

2、于他发现这100100 个数可以分为个数可以分为5050组：组： 第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于每组数的和均相等，都等于101101，5050个个 101101就等于就等于50505050了。高斯算法将加法问题了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算，迅速准确得到了结果转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. . 首尾首尾 配对配对 相加相加 法法 中间的一中间的一 组数是什组数是什 么呢？么呢？ 问：如果老师问：如果老师V形架的最上面形

3、架的最上面 一层有一层有21支铅笔，支铅笔， 这个这个V形架上共放形架上共放 着多少支铅笔？着多少支铅笔？ 创设情景创设情景 问题就是：问题就是： 计算计算1 2 3 20 21 探究发现探究发现 1 2 3 21 21 20 19 1 21 (121)21 2 s 获得算法：获得算法： ) 121()220()220() 121( 1 2 20 21 21 20 2 1 探究了以上两个实探究了以上两个实 际问题的求和，我际问题的求和，我 们对数列求和有了们对数列求和有了 一定的认识，那么一定的认识，那么 能否将能否将“倒序相加倒序相加 法法”推广到任意一推广到任意一 个等差数列呢？个等差数列

4、呢？ 这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求 和，很有创意，用数学式子表示就是：和，很有创意，用数学式子表示就是： 1+ 2+ 3+ 4+21 21+20+19+18+1 对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的 式子恰好是倒序）式子恰好是倒序） 这实质上是我们数学中一种求和的重要方法这实质上是我们数学中一种求和的重要方法 倒序相加法倒序相加法 问：如果老师问：如果老师V形架的最上面形架的最上面 一层有一层有n支铅笔，支铅笔， 这个这个V形架上共放形架上共放 着多少支铅笔？着多少支铅笔？ 创设情景创设情景 问题就是：问题

5、就是：1 2 3 (n-1) n 若用首尾配对相加法，需要分类讨论若用首尾配对相加法，需要分类讨论. 三角形三角形 平行四边平行四边 形形 ) 1() 1() 1() 1( 1 2 1 1 2 1 nnnn nn nn 用下面方法计算用下面方法计算1,2,31,2,3n n的前的前n n项和项和 2 ) 1( nn sn得 123nn Saaaa 1 2() nn Sn aa 121321 2 nnnnn Saaaaaaaa 121321nnnn aaaaaaaa 又 问题分析问题分析 已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数，项数 是是n，第，第n项为项为 如何才能将如何才

6、能将 等式的右边等式的右边 化简？化简？ 121nnnn Saaaa 1 () 2 n n n aa S 即 求和公式求和公式 1 () 2 n n n aa S 等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式： 思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言； 1 1 , n aand由于 1 (1) 2 n n n Snad 故 （2）公式的特点；）公式的特点； 不含不含d 可知三可知三 求一求一 1 (1) 2 n n n Snad 等差数列的等差数列的 前前n项和等项和等 于于首末两项首末两项 的和与项数的和与项数 乘积的一半乘积的一半。 d nn naSn 2 )1 1 （

7、dnaan)1(1 练习：根据下列各题中的条件，求相应的等练习：根据下列各题中的条件，求相应的等 差数列差数列a an n的前的前n n项和项和S Sn n。 a a1 1= =4 4，a a8 8= =1818，n=8n=8 sn= 88 a a1 1=14.5=14.5，d=0.7d=0.7，a an n=32=32 sn=604.5 典型例题典型例题 例例1： 2、2000年年11月月14日教育部下发了日教育部下发了关于在中关于在中 小学实施小学实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知.某市据此提出了某市据此提出了 实施实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从2001年起用年

8、起用10年年 的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测据测 算算2001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500万元万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都 比上一年增加比上一年增加50万元。那么从万元。那么从2001年起的未来年起的未来10年年 内，该市在内，该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？ 解：根据题意，从解：根据题意，从2001 2001 20102010年，该市每年年，该市每年 投入投入“校校通校校通”工程的经费都比上一年增加

9、工程的经费都比上一年增加 5050万元，所以可以建立一个等差数列万元，所以可以建立一个等差数列 a an n ， 表示从表示从20012001年起各年投入的资金，其中年起各年投入的资金，其中 a a1 1=500=500， d=50d=50 那么，到那么，到20102010年年(n=10)(n=10)，投入的资金总额为，投入的资金总额为 s s10 10=10 =10500+10500+10(10(101)1)50/2=725050/2=7250（万元）（万元） 答：从答：从2001200120102010年，该市在年，该市在“校校通校校通”工程工程 的总投入是的总投入是72507250万元。

10、万元。 审题审题抽象出数学模型抽象出数学模型解答解答 例例2： 已知一个等差数列已知一个等差数列an前前 10项的和是项的和是310，前二十项的和是，前二十项的和是 1220。由这些条件能确定这个等差。由这些条件能确定这个等差 数列的前数列的前n项和的公式吗？项和的公式吗？ 解：由题意知解：由题意知: : s s10 10=310 =310， s s20 20=1220 =1220 将它们代入公式将它们代入公式S Sn n=na=na1 1+n(n-1)d/2+n(n-1)d/2，得到，得到: : 10a 10a1 1+45d=310+45d=310 20a 20a1 1+190d=1220

11、+190d=1220 解这个关于解这个关于a a1 1与与d d的方程组，得到：的方程组，得到： a a1 1=4=4， d=6d=6 所以所以S Sn n=4n+n(n-1)=4n+n(n-1)6/2=3n6/2=3n2 2+n.+n. a1=11,an=23 1、等差数列、等差数列an中中 a1=20,an=54,sn=999求求d及及n d=1/3,n=37,sn=629 求求a1及及an d=17/13,n=27 针对训练针对训练 小结：小结：Sn实质是一个关于实质是一个关于a1 ，n， d或或a1 ， an ， d的方程。因此对的方程。因此对 于等差数列的相关量于等差数列的相关量a1

12、 ，n，d ， an， Sn，已知其中任意三个量，已知其中任意三个量， 根据通项公式与求和公式根据通项公式与求和公式便可确便可确 定其他量。定其他量。 例例3：已知数列：已知数列an前前n项的和项的和 为为 sn=n2+(1/2)n求这个数列的通求这个数列的通 项公式。这个数列是等差数列吗？项公式。这个数列是等差数列吗？ 如果是，它的首项与公差分别是如果是，它的首项与公差分别是 什么？什么？ 所以数列所以数列a an n的通项公式为的通项公式为an=2nan=2n1/2.1/2. 由此可知，数列由此可知，数列a an n是一个首项为是一个首项为3/23/2，公差，公差 为为2 2的等差数列。的

13、等差数列。 解：根据解：根据sn=a1+a2+an-1+an 与与 sn-1=a1+a2+an-1（n1） 可知，当可知，当n n1 1时，时， a an n= =s sn ns sn-1 n-1 =n =n2 2+1/2n+1/2n（n n1)1)2 2+1/2+1/2（n n1 1） =2n =2n1/2 1/2 当当n=1n=1时，时， a a1 1=s=s1 1=1=12 2+1/2+1/21=3/21=3/2， 也满足式。也满足式。 已知数列已知数列an的前的前n项和项和 为为 ，求这个数列的，求这个数列的 通通 项公式。项公式。 3 3 2 4 1 2 nnSn 针对练习针对练习

14、12 47 11 aS 12 5 2 3 2 )1( 4 1 4 1 3)1( 3 2 )1( 4 1 3 3 2 4 1 22 22 1 n nn nnnn SSa nnn 12 5 2 1 1 a n a 1 12 47 n 1n 12 5 2 n 解：当解：当n=1时，时， 当当n1时时 又又n=1时时所以所以 当当n=1时时a1=S1 当当n1时，时，an=Sn-Sn-1 如果当如果当n=1时时an=Sn-Sn-1与与a1的值相的值相 等，那么得到数列等，那么得到数列an 的通项公式为的通项公式为 an=Sn-Sn-1， 当当n=1时时an=Sn-Sn-1与与a1的值不相等，的值不相等， 那么数列那么数列an 的通项公式要分段表示为的通项公式要分段表示为 an= S1 n=1 Sn-Sn-1 n1 思考：已知前思考：已知前n项和项和Sn如何求通项如何求通项an？ 探探 究究 P+q+rP+q+r (n=1) (n=1) 2pn-p+q (n1)2pn-p+q (n1) an= 解：由上题思路可得：解：由上题思路可得： 只有只有r=0r=0时，数列时，数列aan n 才是等差数列才是等差数列 首项为：首项为：a a1 1