同济大学高等数学上D全微分PPT学习教案

1、会计学1 同济大学高等数学上同济大学高等数学上D全微分全微分 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) ),(),(yxfyyxxfz可表示成 , )(oyBxAz 其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有 关， yBxA 称为函数),(yxf 在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作 yBxAfz dd 若函数在域 D 内各点都可微, 22 )()(yx 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在在D 内可微内可微. 第1页/共25页 (2

2、) 偏导数连续 ),(),(yxfyyxxfz )()(lim 0 oyBxA 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可 微 ),(lim 0 0 yyxxf y x 得 z y x 0 0 lim 0 ),(yxf 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即 第2页/共25页 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可可 微微 , 则该函数在该点偏导数 y z x z , y y z x x z z d ), (), (yfyfz x x z 同样可证,B y z y y z

3、 x x z z d 证证: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令 )(xoxA 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 xxx 因此有 x z x x 0 limA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共25页 反例反例: 函数),(yxf 易知 ,0) 0, 0()0, 0( yx ff 但 )0, 0()0, 0(yfxfz yx 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . )(o 注意注意: 定理1 的逆定理不成立 . 22 )()(yx yx 22 )()(yx yx 22 )()(yx yx 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 0, 22 22 yx yx yx 0, 0

4、 22 yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共25页 ),(yyxxf y z x z , 证证：),(),(yxfyyxxfz )1,0( 21 xyxfx),( yyyxf y ),( 2 xyyxxfx),( 1 ),(yyxf ),( yxf),(yyxf yyxf y ),( 若函数),(yxfz 的偏导数 ,),(连续在点yx则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim 0 0 y x ,0lim 0 0 y x 第5页/共25页 z yyxfxyxf yx ),(),( yyxfxyxfz yx ),(),( yx 所以函数),(yxfz ),

5、(yx yx 在点可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim 0 0 y x ,0lim 0 0 y x 注意到, 故有 )(o 第6页/共25页 x x u 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数),(zyxfu ud 习惯上把自变量的增量用微分表示, ud 记作u x d 故有下述叠加原理 uuuu zyx dddd 称为偏微分偏微分. y y u d z z u d x x u d u y du z d 的全微分为 y y u z z u 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 uuu zyx d,d,d 第7页/共25页 在点 (2,1) 处的全微分.

6、 yx ez 解解: x z 22 2 ) 1 , 2( , ) 1 , 2( e y z e x z yexezd2dd 22 ) 1 , 2( 例例2. 计算函数的全微分. zy e y xu 2 sin 解解: udxd1y y d) cos( 22 1 zey zy d y z , yx ey yx ex )d2d ( 2 yxe zy ez 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共25页 可知当 1. 近似计算近似计算 由全微分定义 xy )(),(),(oyyxfxyxfz yx ),(yyxxfyyxfxyxf yx ),(),( 较小时, yyxfxyxfzz yx ),

7、(),(d zd 及有近似等式: ),(yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 第9页/共25页 半径由 20cm 增大 解解: 已 知 , 2h rV V ,100,20hr ) 1(2005. 0100202 2 V 即受压后圆柱体体积减少了 .cm200 3 到 20.05cm , 则 rrh2hr 2 1,05. 0hr )cm(200 3 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体 第10页/共25页 的近似值. 02. 2 04. 1 解解: 设 y xyxf),

8、(,则 ),(yxfx 取, 2, 1yx 则)02. 2,04. 1(04. 1 02. 2 f yfxff yx )2, 1 ()2, 1 ()2, 1 ( 08. 102. 0004. 021 ),(yxf y , 1y xy xx y ln 02. 0,04. 0yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共25页 分别表示 x , y , z 的绝对误差 界, 利用yyxfxyxfz yx ),(),( zyx ,令 z 的绝对误差界约为 yyxxz yxfyxf),(),( z 的相对误差界约为 y y x xz yxf yxf yxf yxf z ),( ),( ),(

9、),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 第12页/共25页 时，yxz ) 1 ( yxz yx z ,)2(时 x y z yx yx 类似可以推广到三元及三元以上的情形. x z z )( 2 x y y x y x 1 y x 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共25页 CbaSsin 2 1 1 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba 求计算面积时的绝对误差与相对误差. 解：解： aS a S a Cbsin 2 1 1800 ,01. 0,30,3 . 8, 5 .12 Cba Cba 13. 0

10、 S 故绝对误差约为 又CbaSsin 2 1 所以 S 的相对误差约为 S S 30sin3 . 85 .12 2 1 b Casin 2 1 C Cabcos 2 1 94.25 94.25 13. 0 %5 . 0 计算三角形面积.现测得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 b b S c c S 第14页/共25页 测得电压 U = 24 伏 , 解解: 由欧姆定律可知4 6 24 I U R( 欧) 所以 R 的相对误差约为 IUR IUR 0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 R R 0.8 0.3; 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 . 相对误差为 测得电流 I =

11、 6安, 相对误差为 0.5 , = 0.032 ( 欧 ) = 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆 第15页/共25页 1. 微分定义: ),(yxfz z yyxfxyxf yx ),(),( zd yyxfxyxf yx d),(d),( 22 )()(yx 2. 重要关系: )( o 函数可导函数可导 函数可微函数可微 偏导数连续偏导数连续 函数连续函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共25页 近似计算 估计误差 zyyxfxyxf yx ),(),( ),(yyxxf yyxfxyxf yx ),(),( 绝对误差 相对误差 ),(yxf yyx

12、xz yxfyxf),(),( y y x xz yxf yxf yxf yxf z ),( ),( ),( ),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共25页 1. P72 题 1 (总习题八) 函数),(yxfz 在 ),( 00 yx 可微的充分条件是( ) ;),(),()( 00 连续在yxyxfA ),(),(, ),()( 00 yxyxfyxfB yx 在的某邻域内存在 ; yyxfxyxfzC yx ),(),()( 0)()( 22 yx当时是无穷小量 ; 22 )()( ),(),( )( yx yyxfxyxfz D yx 0)()( 22 yx当时是无穷小

13、量 . 2. 选择题 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页 答案答案:z 03. 0,1 01. 0,2 yy xx 02. 0 zd 03. 0,1 01. 0,2 yy xx 03. 0 也可写作: 当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共25页 zfyfxff zyy d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d )0 , 0 , 0( , coscoscos1 coscoscos ),( zyx xzzyy

14、x zyxf .d )0 , 0 , 0( f求 解解: x x xf cos3 )0 , 0 ,( 0 cos3 )0 , 0 , 0( x x x fx 4 1 利用轮换对称性 , 可得 4 1 )0 , 0 , 0()0 , 0 , 0( zy ff )dd(d 4 1 zyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例 2 ) 注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 第20页/共25页 .d,arctanz yx yx z求 答案答案: 22 dd d yx yxxy z 作业作业 P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ; 8 ; 10 第

15、四节 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共25页 在点 (0,0) 可微 . 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续,),(yxf而 ),(yxf )0 , 0(),(, 1 sin 22 yx yx yx )0 , 0(),(, 0yx 证证: 1) 因 22 1 sin yx xy 0),(lim 0 0 yxf y x )0 , 0(f 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数 xy 2 22 yx 所以 第22页/共25页 ),(yxf )0 , 0(),(, 1 sin 22 yx yx xy )0 , 0(),(, 0yx ),(yxfx ,)0 , 0(),(时当yx ,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxP ,0)0 ,(xf;0)0 , 0( x f . 0)0 , 0( y f 同理 y 22 1 sin yx 322 2 )(yx yx 22 1 cos yx ),(lim )0 , 0(),( yxfx xx 极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ; 同理 ,),(yxf y 在点(0,0)也不连 续. x x (lim 0 |2 1 sin x 3 3 |22x x ) |2 1