(完整)上海师范大学高数试题(12).doc

1、第九章作业一单选题1二元函数 z1的定义域 (D)ln( xy)A.x+y 0B.x+y 0C.x+y 1D.x+y 0 且 x+y 12.设 z=sin(x 2y),则 z =(C)yA.cos(x 2y)B.-cos(x 2y)C.x 2cos(x2y)D.-x 2cos(x2y)3. limsin xyB)(x0xy2A. 不存在B.2C.0D4.函数 f(x,y)=x 3+y3 -3xy 在驻点 (1,1)处（B）A. 取得极大值B. 取得极小值C.不取得极值D. 无法判断是否取得极值5.设 zexy ,则 dz (D)A. yexy dxB. xexydyC. exy (xdx yd

2、y)D. exy ( ydx xdy)z6.设 zln( x ln y) ，则 y11A.B.e2ex 1 y e(B)C. eD. 2e7.设 z xyexy ， 则2 z=(C)x yA. ( y xy)exyB. (xx 2 y)exyC. (1 3xyx 2 y2 ) exyD. ( x2 y3xyxy 2 )exy8.函数 f ( x, y)x2y 2在点 (0,0) 处（ B）A 有极大值B. 有极小值C.无极值D.不是驻点9.区域 D ( x, y) x2y 22且 yx 1是 （C）A. 有界闭区域B. 无界闭区域1C. 有界开区域10若函数 f ( x, y)xy , 则 f

3、 ( 1 , y)xyxD. 无界开区域（ C ）A.xy1xy1xy1yxyB.xyC.xyD.11x11. 函数 zf ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处存在两个偏导数 f x (x0, y0 ), f y (x0 , y0 ) 是函数在该点存在全微分的（B）。A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件12设 f (xy, xy)x 3y 3x2 yxy 2x 2y2 ，则 f x ( x, y)（B）。A.3x2y 22xy 2xB. 3x22 y 2xC.2x 2yD. x 22 y 2f ( xy, xy)x3y3x2 yxy 2x2y 2( x y) 3

4、2xy( xy)( x y) 22xyf ( x, y) x32 yx x 22 yf x3x22 y 2x13. 设 zln( nxny ),则 x zyz （C）xyA. B. nC. 1D. 以上均不正确n14. 若 z（A），则有 zf。xxA. zf ( x, y 2 )B.zf ( x2 , y)C.zf ( x, xy)D.zf ( x, z)zf 11f20f xfxx15设 f ( x)sin xg ( x)2 xt )dt ，则当 x0sin( 2t ) dt ,0ln(10 时， f ( x) 与g( x) 相比是（B）A. 等价无穷小B. 同价但非等价无穷小C.高价无穷

5、小D. 低价无穷小2sin xlimf ( x)lim0(sin 2t )dtlim sin( 2 sin x) cos x2 xx0 g ( x)x 00ln( 1t ) dtx 02 ln( 12 x)lim2 sinx1x 022 x2二、填空题1设 f ( x, y)ln( xy ) 则 f x (1,0)1。2x2函数 f ( x, y)ln( x 2y21)的定义域是(x, y)1x2y 24 。（用集合表示）4x2y 23设 zx 2 y2，则 z=0。x yx ( 2,1)4设 z 2x 2y 2 ，则 dz x 3 = 3 dx4 dy 。y 4555设函数 f ( x, y

6、) 的驻点为 ( x0 , y0 ) Af xx ( x0 , y0 ),Bf xy ( x0 , y0 ), C f yy (x0 , y0 ),DAC B 2 ，则点 ( x0 , y0 ) 为极小值点的充分条件为D0且A 0。三. 计算题1.设 z x ln( x y) 求2 z2 z2 zx2y 2x y解：zln( xy)x2 z1x y xx 2 yxx yx 2x y(x y) 2(x y)2zx2 z1xyyx yx yx y (x y)2(x y) 22 zxy 2( xy) 22设 z=uev 而 u=x2 +y, v=xy, 求z ,zxy3解：zev 2x u evy

7、exy (2 x x2 y y 2 )xzev1uevxexy (1x3xy)y3设 x2 +y2+2x-2yz=e z 确定函数 z=f(x,y), 求 z ,z .xy解：令 F ( x, y, z)x2y 22x2 yzezFx2x 2 ，Fy2 y2z ，Fz2 y ezzFx2x 2zFy2 y 2zxFz2y ezyFz2 y ez4设xyz0,2y 2z2求 dx , dy .x1,dz dzdxdy10dxyzdzxy解：dzdz2x dx2 y dy2z0dyzxdzdzdzxy5计算 (10.1) 2.03 的近似值。解：设 zx yx010x0.1y02y0.03zxyx

8、 y 1zyx y ln x(10.1) 2.0310 22100.1102ln 10 0.03 =10023ln 10108.96设 z u 2 ln v,而 uxv 3x2y 求 z zyxy解：z2uln v1u2132 x2 ln( 3x2 y)y23x2xyvy(3x 2 y)z2uln v(x )u 2 1(2)2x 2ln(3x2 y)2x 2yy 2vy 3y2 (3x 2 y)47.设 f 可微 zf ( x2y2 , exy ) 求 zx zy解：zf1 2x f 2 exy y 2x f1yexy f 2xzf1 ( 2 y)f 2 exy x2 y f1xexy f 2

9、y8 求函数 z x3y 33xy 的极值解：zx3x23yzx0(0,0) (1,1)为驻点zy3y23x令0zyzxx6xzxy3 z yy6 y在（ 0， 0）处 DACB290无极值。在（ 1，1）处 DACB2270A 60(1,1) 为极小值点且极小值为 -1。9求函数 f (x, y)xy(1 xy) 的极值。f xy(1xy)xy(1)f x0解：x(1xy)xy(1)令 f y0f y11驻点 (0,0) (1,0) (0,1) ( ,)33Af xx2 y(0,0) 处ACB(1,0) 处ACB(0,1) 处ACBB f xy1 2x 2 y C f yy2x210无极值2

10、10无极值210无极值(1, 1）处 ACB210A20 为极大值点且极大值为1 。33332710求函数 I ( x )xln tdt 在区间 e, e2 上的最大值。e t22 t1I ( x)ln xln x0I (x)x 22x1( x1) 25在 xe2 取得最大值e2ln te211I (e2 )(t2dtln td ()(ln t)e1)et1t1=122211)dt(ee1e1et1te2e21ee (tdt1)t12ln( t 1) ln tee=e11ln(e1)1e11ln( e21) 2 ln( e 1) 1e1四综合题1.设函数 u=f(x,y,z) 有连续偏导数,且

11、 z=z(x,y) 由方程 xex -yey=zez 所确定 ,求 du.设 F ( x, y, z)xexye yzezFxexxe xF ye yyeyFze zzezzFx(1x)exzFy(1y)eyxFz(1z)ezyFz(1z)ezuffzxxzxuffzyyzy=ff1x ex zxz1z=ff1y ey zyz1zduu dxu dy =（ ff1x ex z ） dx +（ ff 1y ey z ） dyxyxz1zyz 1z2若 f ( x) 在 0 ， 1 上连续，证明：xf (sin x) dx2f (sin x )dx ,00x sin x并计算01cos 2 xdx6证明；令 xtxf