建筑力学课件第17章压杆稳定1

1、第第1717章章 压杆稳定压杆稳定 17. .1 压杆稳定性问题的分析及认识压杆稳定性问题的分析及认识 17. .2 压杆的临界压力压杆的临界压力 17. .3 压杆的临界应力压杆的临界应力 17. .4 压杆的稳定条件及稳定计算压杆的稳定条件及稳定计算 第二章中，轴向拉、压杆应满足强度条件 但是，如果取一根长度为lm的松木直杆，其横截面面 积为5mm30mm，抗压强度极限为=40MPa 。此杆的极限承 载能力应为 17. .1 压杆稳定性问题的分析及认识压杆稳定性问题的分析及认识 17.1.1. 压杆的稳定性问题 试验发现，若将木杆竖立在桌上，用手压其上端，则当 压力不到30N时, 木杆就被

2、明显压弯。这个压力比计算的极 限荷载小两个数量级。当木杆被明显压弯时，就不可能再承 担更大的压力。 由此可见，木杆的承载能力并不完全取决于轴向压缩的强 度。 为什么？ 刚体的平衡 稳定平衡不稳定平衡随遇平衡 17.1.2. 稳定性问题的分析 实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。 对于细长的压杆，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失 承载能力； 压杆能否保持其原有直线平衡状态的问题称为压杆的稳定 （stable

3、）性问题。 工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全 可靠地工作，还要满足稳定性的要求。 17.1.3. 理想压杆模型 由此引出了关于压杆失稳(buckling)这一抽象的概念： 当细长中心压杆上的轴向压力F小于Fcr时，杆的直线状态的平 衡是稳定的； 当FFcr时杆既可在直线状态下保持平衡，也可以在微弯状态 下保持平衡，也就是说FFcr时理想中心压杆的直线平衡状态 是不稳定的，压杆在轴向压力Fcr作用下会丧失原有的直线平衡 状态，即发生失稳。 Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(critical force)。 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的 弯

4、曲刚度应尽可能大； 在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如 限制甚至阻止杆端转动。 17.2 压杆的临界力压杆的临界力 本节以两端球形铰支(简称两端铰支) 的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对 于理想中心压杆来说临界力就是杆能保 持微弯状态时的轴向压力这一概念，来 导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。 (a) 17.2.1. 两端铰支压杆的临界力 在图a所示微弯状态下，两端铰 支压杆任意x截面的挠度(侧向位移) 为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw （图b）。杆的挠曲线近似微分方程 为 (b)(a) 上式中负号是由于在图示坐标中， 对应于正值的挠度w，挠曲线切线 斜率的变

5、化率 为负 的缘故。 令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为 (b) (c) 此式中C1和C2为待定系数，由边界条件x=0，w=0 和 x=l， w=0来确定。 将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 C2=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到 (c) (a) 注意到已有C2=0 ，故上式中的C1不可能等 于零，否则(c)式将成为w 0而压杆不能保 持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。 由此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0 满足此条件的kl为 或即 由于 意味着临界力Fcr 0，也就是杆根本未受 轴向压力，

6、所以这不是真实情况。在kl0的解中，最小解 kl p 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。 由klp有 亦即 从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式： 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得C2=0，且取 klp，以此代入式(c)得 （171） 这一表达式又称为欧拉公式(Eulers formula)。此公式表 明临界压力与抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。 应用类似于以上的方法，可以得到不同支承条件下的压杆 临界压力公式。 把几种常见约束下压杆的临界压力公式整理后，可以写成 一个统一的形式 (17-2) 式中 为压杆的抗弯刚度； 称为长度因数，它反映 支承对压杆临界压力的

7、影响； 称为压杆的相当长度，它综 合反映了压杆长度和支承情况对临界压力的影响。从表中可见， 杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。 17.2.2. 其他支承形式压杆的临界压力 表表17-117-1 杆端支承方式与相应临界压力杆端支承方式与相应临界压力 【例17-1 】试推导下端固定、 上端自由的等直细长中心压杆临 界力的欧拉公式，并求压杆相应 的挠曲线方程。图中xy平面为杆 的弯曲刚度最小的平面，亦即杆 最容易发生弯曲的平面。 解：解：根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的 大致形状可知，任意x横截面上的弯矩为 杆的挠曲线近似微分方程则为 这里，等号右边取正号是因为对应于正值的(d -w)，

8、 亦为正。将上式改写为 并令 有 此微分方程的通解为 从而亦有 根据边界条件x=0，w =0得Ak=0；注意到 不 会等于零，故知A0，从而有wBcoskx+d。再利用边界 条件x=0，w=0得B=-d。于是此压杆的挠曲线方程成为 至此仍未得到可以确定隐含Fcr的未知量k的条件。为此，利 用 x = l 时 w = d 这一关系，从而得出 从式(a)可知d不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中 只能coskl = 0。满足此条件的kl的最小值为kl = p/2，亦即 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式： (b) 亦即 以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(a) 便得到此压杆对

9、应于式(b)所示临界力的 挠曲线方程： 【例17-2】两端铰支压杆受力如图10-9所示。杆的直径 d=40mm，长度l=2000mm，材料为Q235钢，求此 压杆的临界压力。 图10-9 例10-2图 【解】根据欧拉公式 现在，圆截面对各形心轴的惯性矩均相等， 代入欧拉公式，得 在这一临界压力作用下，压杆在直线平衡位置时横截面上的应 力为。此值远小于Q235钢的比例极限。这表明压 杆仍处于线弹性范围内。 本例中若压杆长度l=500mm，这时能不能应用欧拉公 式呢？ 假设仍可用欧拉公式计算临界压力，即有 这时压杆在直线平衡时横截面上的应力为， 压杆已进入非弹性状态， 因此， l=500mm时，不

10、能应用欧拉公式计算其临界压力， 所以=1022.4kN的结果是不正确的。 运用欧拉公式计算临界力时需要注意： (1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧 拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。 (2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的 I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端 均为如图所示柱形铰的情况下： x y z 轴销 对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定， 对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支， 而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。 x y z 轴销 17. .3 压杆的临界应力

11、压杆的临界应力 17.3.1. 临界应力和柔度 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料 在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公 式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp 的情况。 按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作用时可在 直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按 scrFcr /A来计算，亦即 式中， scr 称为临界应力； 为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心 主惯性轴的惯性半径； ml /i 为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称 为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作l，即 17.3.2. 欧拉公式应用范围

12、根据欧拉公式只可应用于scrsp的条件，由式(a)知该应 用条件就是 亦即或写作 可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。 对于Q235钢，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有 通常把llp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr 的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆。 当压杆柔度满足时，这类压杆称为小柔度杆， 又称为粗短杆。这类压杆一般不发生失稳，而可能发生屈服 （塑性材料）或破裂（脆性材料）。于是，其临界应力为 柔度满足的压杆称为中柔度杆或中长杆。这 类压杆也会发生失稳，但失稳时其横截面上的应力已经超过比 例极限，故为弹塑性失稳。这类压杆的临界应力需按弹塑性稳 定理论确定。目前

13、工程设计中多采用经验公式。 常用的经验公式有直线公式和抛物线公式。 1. 直线公式 对于柔度的压杆，通过试验发现，其临界应力与柔 度之间的关系可近似用如下直线公式表示 17.3.2. 临界应力的经验公式 (17-9) 式中，为与压杆材料力学性能有关的常数。 表17-2列出了不同材料的柔度值以及，系数的值。 表表17-2 直线公式系数，和柔度值，直线公式系数，和柔度值，。 材料（ 、 ） Q235钢（ 、）3041.1210060 优质碳钢（ ， ）4602.5710060 硅钢（ ， ）5773.7410060 铬钼钢9805.2955 硬铝3923.2650 铸铁3321.4580 松木28

14、.70.259 2. 抛物线公式 对于有结构钢与低合金结构钢等材料制作的非细长压杆, 可采用抛物线型经验公式计算临界应力,该公式的一般表达式 为 (17-11) 式中, 与 为与材料性能有关的常数. 以上导出的欧拉临界压力或临界应力公式只在弹性阶 段适用，临界应力不得超过材料的比例极限。工程实际中 的压杆一般很难满足上述理想化的要求，实际压杆的稳定 计算都是以经验公式为依据的。 【例17-3】图17-10a、b所示压杆，其直径均为d，材料都是 Q235钢，但二者的长度和约束都不相同。 （1）分析哪一根杆的临界压力较大。 （2）若d=160mm， ，计算二杆的临界压力。 (a) (b) 图17-

15、10 例17-3图 【解】（1）计算柔度，判断哪一根压杆的临界压力较大 二者均为圆截面，且直径均为d，故有 但二者的长度和约束条件各不相同，因此，柔度不一定 相等。对于图17-10a中的压杆，因为两端铰支约束，故 。于是 (a) (b) =0.7。于是 对于图17-10b中的压杆，因为约束为一端固定、另一端铰支， 故有 比较上述结果(b)与(c)可知，杆件较长的一端固定、另一 端铰支压杆具有较小的临界压力。因此支承条件及杆件长度 对压杆临界压力均有影响。 (c) （2）计算给定参数下压杆的临界压力 对于两端铰支的压杆，由(b)式有 属于大柔度杆，可用欧拉公式计算临界压力，即 对于一端固定、另一

16、端铰支的压杆，由(c)式有 所以也属于细长杆。由欧拉公式可得 临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界应力scr 随柔度l 变化的关系曲线。 在llp的部分，有欧拉 公式scr p2E/l2表达scrl关 系； 但在压杆柔度l很小时，由于该理论存在的不足，计算所得scr 可能会大于材料的屈服极限ss，故取scr ss。 在l91，故按下式计算稳定因数： 从而有许可压力： 例题例题17- -5 厂房的钢柱由两根槽钢 组成，并由缀板和缀条联结成整体， 承受轴向压力F=270 kN。根据杆端约 束情况，该钢柱的长度因数取为m 1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强 度许用应力s=170 MPa

17、。该柱属于b 类截面中心压杆。由于杆端连接的需 要，其同一横截面上有4个直径为 d0=30 mm的钉孔。试为该钢柱选择槽 钢号码。 解解：1. 按稳定条件选择槽钢号码 为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有 同样的稳定性，应根据ly=lz确定两槽钢的合理间距h。现先 按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。 假设j0.50，得到压杆的稳定许用应力为 因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为 由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A =18.51 cm2 18.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm。 下面来检查采用两根14a

18、号槽钢的组合截面柱其稳定因 数j 是否不小于假设的j 0.5。 注意到此组合截面对于z 轴的惯性 矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍， 故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合截面压杆的柔度： 由表17-3查得，Q235钢b类截面中心压杆相应的稳定因数为 j0.262。 显然，前面假设的j0.5这个值过大，需重新假设j 值再来 试算；重新假设的j 值大致上取以前面假设的j0.5和所得 的j0.262的平均值为基础稍偏于所得j 的值。 重新假设j0.35，于是有 试选16号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合 截面压杆的柔度： 由表17-3得j =0.311，它略小于假设的j0.35。现按采用2根 16号槽钢的组合截面柱而j0.311进行稳定性校核。此时稳 定许用应力为 按横截面毛面积算得的工作应力为 虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5，这是允 许的。 2. 计算钢柱两槽钢的合理间距 由于认为此钢柱的杆端约 束在各纵向平面内相同，故要 求组合截面的柔度ly=lz。 根据 可知， 也就是要求组合截面的惯性矩 Iy = Iz。 如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的 形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条