向量的加法运算及其几何意义省优质课比赛PPT学习教案

1、会计学1 向量的加法运算及其几何意义省优质课向量的加法运算及其几何意义省优质课 比赛比赛 引例引例 1+1在什么情况下不等于在什么情况下不等于2？ 例如右图，两个小孩分别用例如右图，两个小孩分别用1牛牛 顿的力提起水桶，则水桶的重顿的力提起水桶，则水桶的重 力是力是2牛顿吗？牛顿吗？ 第1页/共30页 问题提出问题提出 1.向量、平行向量、相等向量的含向量、平行向量、相等向量的含 义分别是什么？义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大用有向线段表示向量，向量的大 小和方向是如何反映的？什么叫零小和方向是如何反映的？什么叫零 向量和单位向量？向量和单位向量？ 第2页/共30页 向量的加法

2、运算及其几何意义 第3页/共30页 探究一：向量加法的几何运算法则探究一：向量加法的几何运算法则 思考思考1 1：如图，某人从点如图，某人从点A到点到点B，再从点，再从点B B按按 原方向到点原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？量表示？由此可得什么结论？ A B C ACBCAB 思考思考2 2：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按按 反方向到点反方向到点C C，则两次位移的和可用哪个向，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？量表示？由此可得什么结论？ ACBCAB A B C 第4页/共

3、30页 A C B 如图，运送淡水的船只，先从如图，运送淡水的船只，先从A岛到岛到B岛，再从岛，再从B岛到岛到 C岛，这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？由岛，这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？由 此可得什么结论？此可得什么结论？ ACBCAB 思考3： 第5页/共30页 上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量向量 的和的和还是一个向量还是一个向量. 如图，对于下列两个向量，如何用三角形法则求其如图，对于下列两个向量，如何用三角形法则求其 和向量？和向量？ a b 一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的

4、加法加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加上述求两个向量和的方法，称为向量加 法的三角形法则法的三角形法则. 思考4： 第6页/共30页 三三 角角 形形 法法 则则: O B 向量加法的法则向量加法的法则 a b a b C a + b b .,baOBbCBaOCO 则则作作点点作作法法：在在平平面面内内任任取取一一 ,ba 与 与任意给出两个向量任意给出两个向量.ba 如何求如何求 第7页/共30页 观察向量观察向量 、 的连接方式，你能总结三的连接方式，你能总结三 角形法则的作图特点吗？角形法则的作图特点吗？ abba 起终 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 三角形法

5、则三角形法则 第8页/共30页 F1 F2 F E O O E 例如例如:橡皮条在两个力橡皮条在两个力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点. 同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也是从的作用下也是从E点伸长到了点伸长到了O点点. F1+F2=F.分析:由物理知识知F为F1与F2的合力 思考思考5： 第9页/共30页 F1 F2 F E O O E 这也是向量的加法吗？这也是向量的加法吗？ 例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点. 同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也是从的作用下也是从E点伸长到了点伸长到了O点

6、点. 分析分析:由物理知识知由物理知识知,F为为F1与与F2的合力的合力 F1+F2=F. F以以为为F1与与F2为邻边所形成为邻边所形成平行四边形平行四边形 的对角的对角 线线 思考思考5: 第10页/共30页 三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则: O B 向量加法的法则向量加法的法则 a b a b C a + b a b B O A C a + b .,baOBbCBaOCO 则作点作法：在平面内任取一 b a 邻边做 为、以作点作法：在平面内任取一OBOAbOBaOAO., OACB,连接连接OC,.OCOAOBab 则 ,ba 与 与任意给出两个向量任意给出两个向量.

7、ba 如何求如何求 第11页/共30页 bb a b a 三三 角角 形形 法法 则则:平行四边形法则平行四边形法则: O B 2.它们之们有联系吗它们之们有联系吗? 1.两种方法做出的结果一样吗两种方法做出的结果一样吗? a b a b C a + b B O A C a + b b 向量加法的法则向量加法的法则 ,ba 与 与任意给出两个向量任意给出两个向量.ba 如何求如何求 第12页/共30页 平行四边形法则平行四边形法则 通过利用平行四边形法则作向量的和，你能总通过利用平行四边形法则作向量的和，你能总 结出作图的特点吗？结出作图的特点吗？ 力的合成可以看作向量加法平行四边形法 则的物

8、理模型. 同起点的对角线同起点的对角线. 第13页/共30页 三角形法三角形法 则则 加 法连 接指 向 起终相连起终相连起起终终 平行四边形法则平行四边形法则起点重合起点重合 同起点的同起点的 对角线对角线 归纳小结归纳小结 第14页/共30页 (2)(4) 巩固练习巩固练习 a b (1)(3) b . . 1 ba ba 作出 法则，用向量加法的三角形、如图，已知 a b b a b a a ba ba ba ba 教材教材P84练习练习 本题能用平行四边 形法则求向量 和吗？ 第15页/共30页 A .,. 2baba 形法则作出用向量加法的平行四边、如图，已知 b a b a D B

9、 a C b ba ba C Da b B A 本题能用三角形法 则求向量和吗 ？ （1）（2） 第16页/共30页 探究二：向量加法的代数运算性质探究二：向量加法的代数运算性质 与 为相反向量. 0 baa b 思考思考2 2：若向量若向量 与与 为相反向量，为相反向量， 等于什么？反之成立吗？等于什么？反之成立吗？ b a ba 思考思考1 1：零向量与任一向量零向量与任一向量 可以相加可以相加 吗？吗？ a 规定：规定： .00aaa 第17页/共30页 AB C C BA a b a b ACBCABba ACBCABba 思考思考3 3：若向量若向量 与与 同向，则向量同向，则向量

10、的方向如何？若向量的方向如何？若向量 与与 反向，则向反向，则向 量量 的方向如何？的方向如何？ b b a a ba ba ,a baba b 当向量同向时，的方向与同向. ,a babab 当反向时，的方向与 、 中模大的向量同向. 第18页/共30页 a b ba b a + a b 思考思考4 4：观察下列各图，观察下列各图， 与与 的大小关系如何？的大小关系如何？ 与与 的大的大 小关系如何？小关系如何？ ba ba ba ba a b a b ba ab ab ab ab (当且仅当当且仅当 与与 反向时取等号反向时取等号)a b (当且仅当当且仅当 与与 同向时取等号同向时取等号

11、) b a 第19页/共30页 思考思考5 5：实数的加法运算满足交换律，实数的加法运算满足交换律， 即对任意即对任意a，bR，都有，都有ab= =ba. .那那 么向量的加法也满足交换律吗？如何检么向量的加法也满足交换律吗？如何检 验？验？ a AO a C b B b ba ba ab ACOA.OC BCOB .OC .,（交换律）所以abba 第20页/共30页 思考思考6 6：实数的加法运算满足结合律，即对实数的加法运算满足结合律，即对 任意任意a，b，cR，都有（，都有（ab）c= =a （bc）. .那么向量的加法也满足结合律吗？那么向量的加法也满足结合律吗？ 根据图形验证根据图

12、形验证 A O a B b C c ba cba cb .cbacba ,OCBCOBBCABOAcba ,OCACOABCABOAcba .)()( ,（结合律）所以cbacba 第21页/共30页 . )4( . )3( . )2( . ) 1 ( edc dba dc ba .化简化简 ._) 1 (BCCDAB ._)2(CBACBNMA ._)3(DCCABDAB .根据图示填空根据图示填空 a b c d e fg A B D E C c f g f AD MN 0 巩固练习巩固练习 第22页/共30页 AB C D E F O 应用举例应用举例 1 2(3). OABCDEF O

13、AOCBCFEOAFE 例1 已知 为正六边形的中心，作出下列向量 （）；（ ）； ;1OBOCOA）解：（ ;2ADFEBC）（ . 03 FEOA）（ 第23页/共30页 B C A D （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）；（保留两个有效数字）； 邻边作 为、表示水速，以表示船速，如图所示，解：ABADABAD)1 ( ABCD，AC 则表示船实际航行的速度. （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间 的夹角表示，精确到度）的夹角表示，精确到度

14、）. D BA第24页/共30页 2t2,5,RABCABBC 在中， 由计算器得由计算器得68. 答：船实际航行速度的大小约为答：船实际航行速度的大小约为.4 km/h, 航行方向与水航行方向与水 的流速间的夹角为的流速间的夹角为68 . , 5 . 2 2 5 tan AB BC CAB因为 ,4 .52952, 22 22 BCABAC所以 B C A D 第25页/共30页 10km 103km a b ab 1.若 表 示 “ 向 南 走” , 表 示 “ 向 西 走” , 则表 示 . 2.35ababab ab ab 若 ， 满足，求的 最大值，并指出 ， 满足什么条件时? 取到最大值. 巩固练习巩固练习 第26页/共30页 课堂小结课堂小结 向量加法的物理背景 向量的加法运算 向量加法的运算律 平行四边形法则 三角形法则三角形法则 向量加法实际应用 位移的合成可以看作向量加法三位移的合成可以看