向量组的秩PPT学习教案

1、会计学1 向量组的秩向量组的秩 . 它的行向量组的秩它的行向量组的秩 量组的秩，也等于量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向矩阵的秩等于它的列向 证证 . 0 ,)(),( 21 r m D rrARaaaA阶子式阶子式并设并设，设设 定理定理6 6 关；关； 列线性无列线性无知所在的知所在的由由定理定理根据根据rDr022 . 4 .1 1 个列向量都线性相关个列向量都线性相关 中任意中任意阶子式均为零，知阶子式均为零，知中所有中所有又由又由 r ArA 关组，关组，的列向量的一个最大无的列向量的一个最大无 列是列是所在的所在的因此因此ArDr . r等于等于 所以列向量组的秩所以列向量组的秩

2、 ).(ARA的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证 第1页/共29页 的秩也记作的秩也记作向量组向量组 m aaa, 21 . 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的 最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的 ，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若 r Dr DAD r rr ;1）最大无关组不唯一）最大无关组不唯一（ ),( 21m aaaR 结论结论 说明说明 .2关组是等价的关组是等价的）向量组与它的最大无）向量组与它的最大无（ 第2页/共29页 是线性无关的，是线性无关的

3、， 向量组向量组维单位坐标向量构成的维单位坐标向量构成的因为因为 n eeeE n ,: 21 解解 . 的秩的秩一个最大无关组及一个最大无关组及 的的，求，求作作维向量构成的向量组记维向量构成的向量组记全体全体 n nn R RRn例1例1 个向量都线性相关，个向量都线性相关，中的任意中的任意 知知的结论的结论定理定理又根据又根据 1 )3( 32 . 4 n R n . nRR E nn 的秩等于的秩等于的一个最大无关组，且的一个最大无关组，且是是 因此向量组因此向量组 第3页/共29页 97963 42264 41211 21112 A 设矩阵设矩阵 例2例2 .用最大无关组线性表示用最

4、大无关组线性表示属最大无关组的列向量属最大无关组的列向量 无关组，并把不无关组，并把不的列向量组的一个最大的列向量组的一个最大求矩阵求矩阵A 第4页/共29页 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 A解解 ，知知3)( AR A ， 00000 31000 01110 41211 初等行变换初等行变换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关 三列，三列，、元在元在而三个非零行的非零首而三个非零行的非零首421 ., 421 无关组无关组为列向量组的一个最大为列向量组的一个最大故故aaa 第5页/共29页 线性无关线性无关，故，故知知 42

5、1421 ,3),(aaaaaaR . , 42153 成行最简形矩阵成行最简形矩阵 再变再变线性表示，必须将线性表示，必须将用用要把要把Aaaaaa ), 421 aaa（ 事实上事实上 763 264 111 112 000 100 110 111 初等行变换初等行变换 第6页/共29页 00000 31000 30110 40101 初等行变换初等行变换A 4215 213 334 , aaaa aaa 即得即得 第7页/共29页 . 的秩的秩的秩不大于向量组的秩不大于向量组量组量组 线性表示，则向线性表示，则向能由向量组能由向量组设向量组设向量组 AB AB . , : ,: 10 1

6、0 sr aaAA bbBB s r 要证要证的一个最大无关组为的一个最大无关组为向量组向量组 ，的一个最大无关组为的一个最大无关组为设向量组设向量组 证证 定理定理 . 0 0 组线性表示组线性表示组能由组能由表示，表示， 组线性组线性组能由组能由组线性表示，组线性表示，组能由组能由因因 AA ABBB . 00 组线性表示组线性表示组能由组能由故故AB 使得使得即存在系数矩阵即存在系数矩阵),( ijsr kK 第8页/共29页 srs r sr kk kk aabb 1 111 11 ),(),( ），），有非零解（因有非零解（因 简记为简记为，则方程组，则方程组如果如果 rsKR Kx

7、 x x Ksr r sr )( )0( 0 1 有非零解，有非零解， 从而方程组从而方程组 0),( 1 Kxaa s 有非零解，有非零解，即即0),( xbb r . 0 srsr B 不能成立，所以不能成立，所以线性无关矛盾，因此线性无关矛盾，因此 组组这与这与 第9页/共29页 . rsBA和和的秩依次为的秩依次为与向量组与向量组设向量组设向量组证证 . 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等推论推论1 1 ,同时成立同时成立与与故故srrs 示，示， 表表两个向量组能相互线性两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即因两个向量组等价，即 . rs 所以所以 ).()(),()( BR

8、CRARCR BAC nssmnm ，则，则设设推论推论2 2 用其列向量表示为用其列向量表示为和和设矩阵设矩阵AC 证证 ).,(),( 11sn aaAccC ，而而)( ij bB 第10页/共29页 sns n sn bb bb aacc 1 111 11 ),(),( 由由 ).()(ARCR 因此因此 ),()(, TTTTT BRCRABC 由上段证明知由上段证明知因因 的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，的列向量组能由的列向量组能由知矩阵知矩阵AC ).()(BRCR 即即 思考思考 ？有什么异同有什么异同与推论与推论定理定理 22 第11页/共29页 , rrB个向量，则

9、它的秩为个向量，则它的秩为含含设向量组设向量组 证证 . 3 的一个最大无关组的一个最大无关组是向量组是向量组则向量组则向量组 线性表示，线性表示，能由向量组能由向量组线性无关，且向量组线性无关，且向量组组组 的部分组，若向量的部分组，若向量是向量组是向量组设向量组设向量组推论推论 AB BAB AB . 1 条件条件 所规定的最大无关组的所规定的最大无关组的满足定义满足定义所以向量组所以向量组B ，组的秩组的秩组线性表示，故组线性表示，故组能由组能由因因rABA 个向量线性相关，个向量线性相关，组中任意组中任意从而从而1 rA 第12页/共29页 . , 等价等价与向量组与向量组秩相等，证明

10、向量组秩相等，证明向量组 且它们的且它们的线性表示线性表示能由向量组能由向量组设向量组设向量组 BA AB例3例3 .线性表示线性表示能由向量组能由向量组只要证明向量组只要证明向量组BA ,:,: 1010rr bbBaaA BAr 和和的最大无关组依次为的最大无关组依次为 组组组和组和，并设，并设设两个向量组的秩都为设两个向量组的秩都为 使使阶方阵阶方阵表示，即有表示，即有 组线性组线性组能由组能由组线性表示，故组线性表示，故组能由组能由因因 r Kr ABAB 00 证一证一 rrr Kaabb),(),( 11 第13页/共29页 rbbRKR rr ),()( 22 1 ，有，有推论推

11、论根据定理根据定理 .),( 10 rbbRB r 组线性无关，故组线性无关，故因因 .)()(rKRrKR rr ，因此，因此但但 ,),(),( 1 11 rrr r Kbbaa K 可逆，并有可逆，并有于是矩阵于是矩阵 . 00 组线性表示组线性表示组能由组能由即即BA . 组线性表示组线性表示组能由组能由从而从而BA 第14页/共29页 , , 0 个向量个向量 含含组的最大无关组组的最大无关组故故组的秩为组的秩为又因又因rBBrB .),( ,),( 组线性表示组线性表示 组总能由组总能由故故组的部分组组的部分组组是组是而而 BA ABAA 证二证二 . rBA 的秩都为的秩都为和和

12、设向量组设向量组 .),( , 组线性表示组线性表示能由能由成的向量组成的向量组 组合并而组合并而组和组和故故组线性表示组线性表示组能由组能由因因 ABA BAAB .),( ,),( rBA ABA 组的秩也为组的秩也为 因此因此组等价组等价组与组与所以所以 .),( ,),( 0 0 组等价组等价组与组与而而 从从组的最大无关组组的最大无关组组也是组也是因此因此 BBA BAB 第15页/共29页 .),( ; . , 0 0 0000 的最大无关组的最大无关组都是向量组都是向量组 与与证法二实质上是证明证法二实质上是证明性表示的系数矩阵可逆性表示的系数矩阵可逆 线线用用证法一证明证法一证

13、明等价等价与与们的最大无关组们的最大无关组 转换为证明它转换为证明它等价等价与与本例把证明两向量组本例把证明两向量组 BAB A ABBA BA . ,),(),( 0 组等价组等价与与 组组推知推知等价等价与与组等价，组等价，组与组与由由 B ABBABAA 注意注意 第16页/共29页 , 59 35 46 45 ),( , 13 11 20 32 ),( 2121 bbaa 已知已知例4例4 .),(),( 2121 等价等价与与证明向量组证明向量组bbaa 第17页/共29页 .),(),( ,),(),( ,2 21212121 YbbaaXaabb YX 使使阶方阵阶方阵要证存在要

14、证存在证明证明 .X先求先求 5913 3511 4620 4532 ),( 2121 bbaa 最简形矩阵：最简形矩阵：施行初等行变换变为行施行初等行变换变为行阵阵 对增广矩对增广矩的方法的方法类似于线性方程组求解类似于线性方程组求解 ),( , 2121 bbaa 第18页/共29页 5913 4532 4620 3511 5913 3511 4620 4532 ),( 2121 bbaa 31 rr 第19页/共29页 5913 4532 4620 3511 31 rr 4620 101550 4620 3511 13 2rr 14 3rr 第20页/共29页 )2( 2 r 4620

15、101550 2310 3511 13 31 2rr rr 14 3rr 4620 101550 4620 3511 第21页/共29页 0000 0000 2310 3511 )2( 2 r 4620 101550 2310 3511 23 5rr 24 2rr 第22页/共29页 0000 0000 2310 3511 23 5rr 24 2rr . 0000 0000 2310 1201 21 rr 1 1 r 第23页/共29页 X ., ., 01 2121 1 等价等价与与此向量组此向量组 因因即为所求即为所求取取可逆可逆知知因因 bbaa XYXX 0000 0000 2310

16、1201 ),( 2121 初等行变换初等行变换 bbaa 即得即得 23 12 第24页/共29页 最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念： 最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论： 一个定理一个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换 第25页/共29页 证明向量组等价常用的方法有哪些？证明向量组等价常用的方法有哪些？ 第26页/共29页 证法一