向量与空间解析几何PPT学习教案

1、会计学1 向量与空间解析几何向量与空间解析几何 一、一、空间直角坐标系空间直角坐标系 二、二、向量的基本概念及线性运算向量的基本概念及线性运算 三、三、向量的坐标表示向量的坐标表示 第1页/共76页 空间直角坐标系空间直角坐标系: :过空间一个定点过空间一个定点 O，作三，作三 条相互垂直的数轴， 它们都以条相互垂直的数轴， 它们都以 O为原点且一般具为原点且一般具 有相同单位长度有相同单位长度, , 这三条数轴分别叫做这三条数轴分别叫做x轴（横轴（横 轴） 、轴） 、y轴（纵轴）和轴（纵轴）和z轴（竖轴）轴（竖轴）. . 一般是将一般是将x轴轴 和和y轴放置在水平面上轴放置在水平面上, ,那

2、么那么z轴就垂直于水平面；轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则它们的方向通常符合右手螺旋法则, ,即伸出右手即伸出右手, , 让四指与大拇指垂直让四指与大拇指垂直, ,并使四指先指向并使四指先指向x轴轴, ,然后然后 让四指沿握拳方向旋转让四指沿握拳方向旋转 90指指向向y轴轴, ,此时大拇指此时大拇指 的方向即为的方向即为z轴方向轴方向. .这样就构成了空间直角坐标这样就构成了空间直角坐标 系，系，O称为坐标原点称为坐标原点. . 第2页/共76页 坐标面： 在空间直角坐标系中坐标面： 在空间直角坐标系中, ,每两轴所确定的平每两轴所确定的平 面称为坐标平面面称为坐标平面, ,

3、简称坐标面简称坐标面. .即即xOy坐标面、坐标面、yOz坐标坐标 面和面和zOx坐标面坐标面. . O z x y zOx yOz xOy 第3页/共76页 卦限： 在空间直角坐标系中卦限： 在空间直角坐标系中, ,坐标面把空间分为八个坐标面把空间分为八个 部分部分, ,每一个部分称为一个卦限每一个部分称为一个卦限. .在在xOy坐标面上方有四坐标面上方有四 个卦限个卦限, ,下方有四个卦限下方有四个卦限. .含含 x 轴轴, ,y 轴和轴和 z 轴正向的卦限轴正向的卦限 称为第卦限称为第卦限, ,然后逆着然后逆着轴轴 z 正向看时正向看时, ,按逆时针顺序依按逆时针顺序依 次为次为, ,

4、,卦限卦限, ,对于分别位于对于分别位于, , , , ,卦限下卦限下 面的四个卦限面的四个卦限, ,依次为第依次为第, , , ,卦限卦限. . O x y z 第4页/共76页 点的坐标： 设点的坐标： 设P为空间的任意一点为空间的任意一点, ,过点过点 P作垂直作垂直 于坐标面于坐标面xOy的直线得垂足的直线得垂足 P , ,过过 P 分别与分别与x轴轴, ,y轴垂轴垂 直且相交的直线直且相交的直线, ,过过 P作与作与z轴垂直且相交的直线轴垂直且相交的直线, ,依次依次 得得 , ,x y z 轴 上 的三个 垂足轴 上 的三个 垂足 .,RNM 设设 , ,x y z 分 别 是分

5、别 是 RNM, 点在数轴上的坐标点在数轴上的坐标. .这样空间内任一点这样空间内任一点 P 就确就确 定了惟一的一组有序的数组定了惟一的一组有序的数组 , ,x y z , ,用用 ( , , ) x y z 表示表示. . 反之反之, ,任给出一组有序任给出一组有序 数组数组, x y和和 z, ,也能确定了也能确定了 空间内惟一的一个点空间内惟一的一个点 P, ,而而 , x y和 和 z恰恰是点恰恰是点 P的坐的坐 标标. . z x O y N M ) , , ( z y x P P y R z x 第5页/共76页 根据上面的法则根据上面的法则, ,建立了空间一点与一组有序数建立了

6、空间一点与一组有序数 （x, ,y, ,z）之间的一一对应关系）之间的一一对应关系. .有序数组有序数组( , , )x y z称为点称为点 P的坐标 的坐标, ,x, ,y, ,z分别称为分别称为x坐标坐标, , y坐标和坐标和z坐标坐标. . 1.1.向量的基本向量的基本概念概念 向量：既有大小向量：既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）又有方向的量称为向量（或矢量）. . 向量一般用黑体小写字母表向量一般用黑体小写字母表 示示, ,如如a,b,c等等. .有时也用有时也用, ,a b c 等等 表示向量表示向量. .几何上几何上, ,也常用有向线也常用有向线 段来表示向量段来表示向量,

7、,起点为起点为M, ,终点为终点为 N的向量记为 的向量记为 MN . . N M 第6页/共76页 向量的模：向量的大小称为向量的模向量的模：向量的大小称为向量的模. .用用 |a， |b，|c，或，或AB 表示向量的模表示向量的模. . 单位向量：模为单位向量：模为1 1的向量称为单位向量的向量称为单位向量. . 零向量：模为零向量：模为0的向量称为零向量的向量称为零向量, ,记为记为0.0.规定规定 零向量的方向为任意方向零向量的方向为任意方向. . 定义定义1 1 如果向量如果向量 a和和 b的大小相等且方向相同的大小相等且方向相同, , 则称向量则称向量 a与与 b相等，记为相等，记

8、为 ab. . 2 2. . 向量的线性运算向量的线性运算 (1) (1) 加法 （平行四边形法则）加法 （平行四边形法则） 将向量将向量 a与与 b的的 起点放在一起起点放在一起, ,并以并以 a和和 b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形, ,则则 从起点到对角顶点的向量称为向量从起点到对角顶点的向量称为向量 a 和和 b 的和向的和向 量量, ,记为记为 a+ +b. . 第7页/共76页 向量加法的三角形法则：把向量加法的三角形法则：把 b的起点放到向量的起点放到向量 a 的终点上的终点上, ,把自把自 a的起点的到向量的起点的到向量 b 的终点的向量为的终点的向量为 ab. . 向量

9、加法运算规律：向量加法运算规律： 交换律：交换律：abba； 结合律：结合律：)()(cbacba. . （2 2）向量与数的乘法）向量与数的乘法 定义定义2 2 设设 为一实数为一实数, ,向量向量 a与数与数 的乘积是一的乘积是一 个向量个向量, ,记为记为 a, ,并且规定：并且规定： (1)(1)|aa； (2)(2)当当0 时时 , , a与与a同向； 当同向； 当0时时, , a与与 a反向；反向； (3)(3)当当 =0=0 时时, ,0a（零向量）（零向量）. . a b a + b a b a + b 第8页/共76页 向量与数的乘法运算规律：向量与数的乘法运算规律： 结合律

10、：结合律：)()()(aaa ; ; 分配律：分配律：a)(babaaa)(,; ; 交换律：交换律：aa. . 同向的单位向量：设同向的单位向量：设 a是一个非零向量是一个非零向量, ,则向量则向量 | a a a 为与向量为与向量 a同向的单位向量同向的单位向量. . 定义定义 3 3 = =- -1 1 时时, ,记记aa ) 1(, ,则则 a与与 a的方向的方向 相反相反, ,模相等模相等, ,称称 a为为 a的负向量（也称其为的负向量（也称其为 a的逆的逆 向量）向量）. . 向量的减法：向量的减法： 向量向量 a的的 b的差规定为的差规定为 )( baba. . 第9页/共76页

11、 向量减法的三角形法则：向量减法的三角形法则： 把把 a与与 b的起点放在一起的起点放在一起, ,即即 ab是以是以 b的的 终点为起点终点为起点, ,以以 a的终点为终点的方向向量的终点为终点的方向向量 . . 1 1. .向径及其坐标表示向径及其坐标表示 向径： 起点在坐标原向径： 起点在坐标原 点点O, ,终点为终点为M的向量的向量 OM 称为点称为点M的向径的向径, ,记记 为为 )(Mr 或或OM . . a b a+(-b) a-b -b 第10页/共76页 基本单位向量：基本单位向量： 在坐标轴上分别取与在坐标轴上分别取与 x轴轴, , y轴和轴和 z轴方向轴方向 相同的单位向量

12、称为基本单位向量相同的单位向量称为基本单位向量, ,分别用分别用 i , j,k, , 表示表示. . 向径的坐标：向径的坐标： 若 点若 点M的 坐 标 为的 坐 标 为( , , )x y z, , 则 向 量则 向 量 ,OAx iOBy j , ,OCz k由 向 量 的 加 法 法 则 得由 向 量 的 加 法 法 则 得 OM = =OM + +M M =(=(OA + +OB )+)+OC = = x yzijk，称其 ，称其 为点为点 M( , , )x y z 的向径的向径OM 的坐标表达式，简记为的坐标表达式，简记为 OM = = zyx, . . 第11页/共76页 2.

13、2.向量向量 12 M M 的坐标表达式的坐标表达式 设设 1111 (,)Mx y z， 2222 (,)Mxyz为坐标系中两点，向径为坐标系中两点，向径 1 OM , , 2 OM 的坐标表达式为的坐标表达式为 1111 OMxyz ijk， ， 2222 OMxyz ijk ， ，则以则以 1 M 为起点为起点, , 以以 2 M 为终为终 点的向量点的向量 12 M M = = 21 OMOM 222 ()xyzijk 111 ()xyzijk 212121 ()()()xxyyzzijk, , 即以即以 1111 (,)Mx y z为起点为起点, ,以以 2222 (,)Mxyz为终

14、点的向量为终点的向量 12 M M 的坐标表达式为的坐标表达式为 12212121 ()()()M Mxxyyzz ijk 第12页/共76页 3.3.向量向量 123 aaaaijk的模的模 任给一向量任给一向量 123 aaaaijk, ,都可将其视为以点都可将其视为以点 M ( ( 1 a, , 2 a, , 3 a) ) 为 终 点 的 向 径为 终 点 的 向 径OM , , 2 |OM = = 2 |OA + + 2 |OB + + 2 |OC , , 即即 2 |a= = 2 3 2 2 2 1 aaa, , 所 以 向 量所 以 向 量 123 aaaaijk的模为 的模为 a

15、= = 2 3 2 2 2 1 aaa . . z A B C M M i k O x y j z O x y 1 M 2 M 第13页/共76页 4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 设点设点 1 M( ( 1 x, , 1 y, , 1 z) )与点与点 2 M( ( 2 x, , 2 y, , 2 z) )，且两点间的，且两点间的 距离记作距离记作 )( 21M Md, ,则则 )( 21M Md = = 222 12212121 |()()()M Mxxyyzz . . 例例1 1 ( (1 1) )写出点写出点) 1 , 2 , 1 (A的向径；的向径； (2)(2)写出

16、起点为写出起点为) 1 , 2 , 1 (A, ,终点为终点为)0 , 3 , 3(B的向量的向量 的的坐标表达式；坐标表达式； (3)(3)计算计算 BA, 两点间的距离两点间的距离. . 解解 (1)(1)2OA ijk； (2)(2)(3 1)(3 2)(0 1)AB ijk 2ijk； ； 第14页/共76页 5.5.坐标表示下的向量运算坐标表示下的向量运算 设设 123 aaaaijk, , 123 bbbbijk , ,则有则有 (1) (1) 112233 ()()()ababababijk; ; (2)(2) 123 aaaaijk; ; (3) (3) 112233 ()()

17、()ababababijk; ; (4) (4) ab 332211 ,bababa ; ; (5) (5) /ab 3 3 2 2 1 1 b a b a b a . . (3)(3) 222 () |21( 1)6d ABAB . . 第15页/共76页 思考题思考题 1. 1. 点点),(zyxM与与 x轴轴, ,xOy平面及原点的对称点坐平面及原点的对称点坐 标标为为何何？ 2.2.下列向量哪个是单位向量？下列向量哪个是单位向量？ (1)(1)kjir; ; (2)(2)1, 0 , 1 2 1 a; ; (3)(3) 3 1 , 3 1 , 3 1 b . . 第16页/共76页 二

18、、二、向量的叉积向量的叉积 一、一、向量的点积向量的点积 第17页/共76页 1.1.引例引例 已知力已知力 F与与 x轴正向夹角为轴正向夹角为 其大小为其大小为 F, ,在力在力 F的作用下的作用下, ,一质点一质点 M沿轴沿轴 x由由 ax 移动移动 到到bx 处处, ,求力求力 F所做的功？所做的功？ 解解 力力F在水平方向的分力大在水平方向的分力大 小为小为cos x FF所以所以, ,力力F使质点使质点 M沿 沿x轴方向（从轴方向（从A到到 B）所做的）所做的 功功 cos|WFba = =|cosAB F, , 即力即力F使质点使质点M沿沿 x轴由点轴由点A移移 动到动到B点所做的

19、功等于力点所做的功等于力F的模的模 与位移矢量的模及其夹角余弦的与位移矢量的模及其夹角余弦的 积积. . A B b a F x O 第18页/共76页 2 2点积的定义点积的定义 定义定义1 1 设向量设向量 a与与 b之间夹角为之间夹角为(), ,则称则称 数量数量|cosab为为 a与与 b的点积（或数量积）的点积（或数量积）, ,并用并用ba 表示表示, ,即即 ba= =|cosa |b. . 例例1 1 已知基本单位向量已知基本单位向量kji,是三个相互垂直的单是三个相互垂直的单 位向量位向量, ,求证：求证： 1kkjjii; ; 0ikkjji. . 证证 因为因为 1kji，

20、 所以所以 1cos|iiii )0(. .同理可知：同理可知：1kkjj； 又因为又因为kji, 之间的夹角皆为之间的夹角皆为 2 , ,故有故有 0011 2 cos| jiji，同理可知同理可知 0ikkj. . 第19页/共76页 点积的运算规律：点积的运算规律： 交换律：交换律： abba； 分配律：分配律：cabacba)(； 结合律：结合律：)()(bababa. . 3 3 点积的坐标表示点积的坐标表示 设设 123 aaaaijk, , 123 bbbbijk，则，则 123123 () ()aaabbba bijkijk. . 故向量故向量 a 321 ,aaa与与 b 3

21、21 ,bbb的点积等于其相的点积等于其相 应坐标积的和应坐标积的和. . 1 a 1 b+ + 2 a 2 b+ + 3 a 3 b， 第20页/共76页 则由向量点积知向量则由向量点积知向量 a与与 b夹角余弦公式为夹角余弦公式为 cos |ba ba 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 2 1 332211 bbbaaa bababa （0 0 ） . . 向量垂直的条件：向量向量垂直的条件：向量 a与与 b正交的充分必要条件正交的充分必要条件 是是ab=0=0或或 332211 bababa=0.=0. 例例2 2 试证向量试证向量a3 , 2 , 1与与b3, 3 , 3是正交的

22、是正交的. . 证证 因为因为 ab0)3(33231, , 所以所以 a与与 b 正交正交. . 两向量的夹角：设两向量的夹角：设a= = 1 ai+ + 2 a j+ + 3 ak, ,b= = 1 bi+ + 2 b j+ + 3 bk， 第21页/共76页 cos 2 3 2 2 2 1 1 aaa a ， cos 2 3 2 2 2 1 2 aaa a , , cos 2 3 2 2 2 1 3 aaa a , , 并且并且1coscoscos 222 . . 例例3 3 设向量设向量 123 aaaaijk与与x轴轴, ,y轴轴, ,z轴正向轴正向 的夹角分别为的夹角分别为 , 称

23、其为向量称其为向量 a的三个方向角的三个方向角, ,并称并称 cos , , cos , , cos 为向量为向量 a的方向余弦的方向余弦, , 第22页/共76页 且且 222 coscoscos1 )( 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 aaa aaa . . cos |ja ja 2 3 2 2 2 1 2 aaa a , , cos |ka ka 2 3 2 2 2 1 3 aaa a . . 证证 向向量量 i, ,j, ,k的坐标表达式分别为的坐标表达式分别为 1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 1kji, , 于是有于是有 cos = = |ia

24、 ia 2 3 2 2 2 1 1 aaa a , , 第23页/共76页 1. 引例引例 设设O点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点, ,力力 F作用于杠杆作用于杠杆 上点上点P处处, ,求力求力 F对支点对支点 O的力矩的力矩. . 解解 根据物理学知识根据物理学知识, ,力力 F对点对点 O的力矩是向量的力矩是向量 M, , 其大小为其大小为 |sinMdOP FF|sinF dFOP . . 其中其中d为支点为支点O到力到力F的作用线距的作用线距 离离, ,为矢量为矢量F与与OP 的夹角的夹角. .力矩力矩 M的方向规定为： 的方向规定为：OP , ,F, ,M依次依次 符合右手螺旋法则符

25、合右手螺旋法则. . O F d P 第24页/共76页 因此因此, ,力矩力矩 M是一个与向量是一个与向量OP 和向量和向量 F有关的有关的 向量向量, ,其大小为其大小为|sinOPF , ,其方向满足： （其方向满足： （1 1）同时垂）同时垂 直于向量直于向量OP 和和 F； （； （2 2） 向量） 向量 OP , , F, , M依次符合右依次符合右 手螺旋法则手螺旋法则. . 2 2 叉积的定义叉积的定义 定义定义2 2 两个向量两个向量 a和和 b的叉积（也称为向量的叉积（也称为向量 积）是一个向量积）是一个向量, ,记作记作 ab, ,并由下述规则确定：并由下述规则确定： （

26、1 1） ),sin(bababa （2 2）a b的方向规定为的方向规定为: : 注注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于 b, ,并且按顺序并且按顺序 , , a b ab符 符 合右手螺旋法则合右手螺旋法则. . b a c=a b 第25页/共76页 若把若把a, ,b的起点放在一起的起点放在一起, ,并并 以以a, ,b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形, ,则向则向 量量a与与b叉积的模叉积的模 |ba = = sin|ba 即为该平行四边形的面积即为该平行四边形的面积. . （1 1）abba（反交换律）（反交换律）; ; （2 2）acabcba)(（左分配律左分配

27、律）; ; （3 3）acabacb )(（右分配律右分配律）; ; （4 4）bababa)()( 叉积的运算规律：叉积的运算规律： a b a b 第26页/共76页 例例 5 5 试证试证: : 0aakkjjii. . 证证 只证只证0 aa， 因为， 因为 a与与 a平行 （即共线）平行 （即共线） , , 所以其夹角所以其夹角0或或 , ,从而从而0sin, ,因此因此 0sin|aaaa, , 而模为而模为0的向量为零向量的向量为零向量, ,所以所以 0 aa. . 定理定理 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉 积为积为零向量零向量.

28、 . 3 3. . 叉积的坐标表示叉积的坐标表示 设设 123 aaaaijk, , 123 bbbbijk注 意 到注 意 到 0aakkjjii , ,及及 kji , , ikj , , jik 应用叉积的运算规律可得应用叉积的运算规律可得 2 33 23 11 31 22 1 ()()()a ba ba ba ba ba babijk. . 第27页/共76页 为了便于记忆为了便于记忆, ,可将可将 ba表示成一个三阶行列式表示成一个三阶行列式, ,计计 算时算时, ,只需将其按第一行展开即可，只需将其按第一行展开即可， 即即 ba 311 321 bbb aaa kji . . 例例

29、 6 6 设设kjia2, ,kjb32 , ,求求ba. . 解解 a b 320 121 kji 20 21 ) 1( 30 11 ) 1( 32 12 ) 1( 312111 kji kji238 . . 第28页/共76页 例例 7 7 求同时垂直于向量求同时垂直于向量368aijk及及 x轴的单轴的单 位向量位向量. . 解解 因为因为kjia863, ,kjii001, , 所以所以, ,同时垂同时垂 直于直于 a和和 x轴的单位向量轴的单位向量 | )863( |ia ikji ia ia c kjkj 5 3 5 4 )68( 10 1 即为所求的两个单位向量即为所求的两个单位

30、向量. . 第29页/共76页 解解 因为因为kjiF32从支点从支点 B到作用点到作用点 A的向量的向量 (3 1)(1 ( 2)( 1 3)234BAijkijk 所以所以, ,力力F关于点关于点 B的力矩的力矩 234 213 BA ijk MF = =kji)62()86()49(= =kji8145. . 例例 8 8 已知力已知力kjiF32作用于点作用于点) 1, 1 , 3(A处处, ,求此力求此力 关于杠杆上另一点关于杠杆上另一点) 3 , 2, 1 ( B的力矩的力矩. . 第30页/共76页 思考题思考题 1.1.若若 a与与 b为单位向量为单位向量, ,则则ba是单位向

31、量吗？是单位向量吗？ 2 2. .验证：验证： （1 1）cbacba)()(; ; （2 2）cbabcacba)()()(; ; （3 3） cacaa 2 |)( . . 第31页/共76页 一、一、平面的方程平面的方程 二、二、直线的方程直线的方程 三、三、两平面间、两直线间的位置关两平面间、两直线间的位置关 系系 四、四、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 第32页/共76页 第三节 平面与直线 1 1. .平面的点法式方程平面的点法式方程 平面的法向量平面的法向量: :设非零的向量设非零的向量 n垂直于平面垂直于平面 , ,则称则称 n为平面为平面 的法向量的法向量. . 问

32、题：设平面问题：设平面 过点过点 0 M),( 000 zyx, , n= =CBA,为为 其一法向量其一法向量, ,求平面求平面 的方程的方程. . 设点设点M),(zyx是平面是平面 上任意一点上任意一点, ,则则 0 M M 在平在平 面面 上上, ,由于由于n, ,所以所以 0 0M M n, ,而而, ,A B Cn， 0000 ,M Mxxyy zz . . 故故 0)()()( 000 zzCyyBxxA ( (1)1) 第33页/共76页 M 0 M n z O x y z O x y A B C 由于平面由于平面 上任意一点上任意一点M的坐标都满足方程的坐标都满足方程( (1

33、)1), ,而而 不在平面不在平面 上的点上的点M的坐标都不满足方程的坐标都不满足方程( (1).1).因此因此, ,方程方程 ( (1)1)即是所求的平面即是所求的平面 的方程的方程. .此方程称为平面的点法式此方程称为平面的点法式 方程方程. . 第34页/共76页 例例 1 1 求由点求由点) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (CBA所确定的平面方所确定的平面方 程程. . 解解 向量向量 110 101 AB AC ijk nijk与平面与平面 垂直垂直, ,是它的一个法向量是它的一个法向量. . 过点过点)0 , 0 , 1 (A, ,且以且以kj

34、in为法向量的平面方程为为法向量的平面方程为 0)0(1)0(1) 1(1zyx , , 整理得整理得 1zyx . . 第35页/共76页 2 2. .平面的一般式方程平面的一般式方程 过点过点),( 0000 zyxM, ,且以且以 nA,B,C为法向量的点为法向量的点 法式平面方程法式平面方程 0)()()( 00 zzCyyBxxA 整理得整理得 0DCzByAx (2) (2) 即平面即平面 的方程的方程( (1 1) )可以写出形如式可以写出形如式( (2 2) )的三元一次方的三元一次方 程程. . 反过来反过来, ,设给定三元一次方程设给定三元一次方程0DCzByAx，点，点

35、),( 000 zyx的坐标为方程的坐标为方程( (2 2) )的一组解的一组解, ,代表一平面方程代表一平面方程. .称称 方程方程( (2 2) )为平面的一般式方程为平面的一般式方程. . 第36页/共76页 例例 2 2 求过点求过点) 1 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 0( 21 BBO的平面方程的平面方程. . 解解 点点) 1 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 0( 21 BBO不在一直线上不在一直线上, ,所以所以, , 这三点惟一确定一平面这三点惟一确定一平面, ,令所求平面方程为令所求平面方程为 0DCzByAx 将三

36、点坐标分别代入上式得将三点坐标分别代入上式得 0110 0100 0000 DCBA DCBA DCBA (1), (2), (3), 由方程由方程(1)(1)得得0D, ,再由再由(2)(2)的的0C再将再将0, 0DC 代入方程代入方程) 3(知知0B, ,于是得于是得0Ax)0(A即即 0 x为所求为所求 平面方程，且平面方程，且yOz面的方程即为面的方程即为 0 x. . 第37页/共76页 例例 3 3 试写出与试写出与yOz面平行面平行, ,且过且过 x轴上的点轴上的点 )0 , 0 , 1 ( 的平面方程的平面方程. . 解解 因为因为 x轴垂直于轴垂直于yOz面面, ,所以所以

37、, , x轴上的单位轴上的单位 向量向量 i 可作为与可作为与yOz面平行的平面的法向量面平行的平面的法向量 n，即，即 0 , 0 , 1 in，所以，过点，所以，过点 )0 , 0 , 1 (,且以且以 )0 , 0 , 1 (为法为法 向量的平面方程为向量的平面方程为 0)0(0)0(0) 1(1yxx, 整理得整理得 1x, 即即 1x表示过点表示过点 )0 , 0 , 1 (且与且与yOz面平行的平面方程面平行的平面方程. 第38页/共76页 （1 1）; 2x （2 2）; 1z （3 3）; 1 yx （4 4）1 c z b y a x （cba,均不为)0 z O x y 2

38、 z O x y 1 z O x y 1 1 A B C c a b z O x y 例例 4 4 描绘出下列平面方程所代表的平面：描绘出下列平面方程所代表的平面： 第39页/共76页 1 1. . 直线的点向式方程直线的点向式方程 直线的方向向量：设非零向量直线的方向向量：设非零向量 s平行于直线平行于直线 L, , 则称则称s为直线为直线 L的方向向量的方向向量. . 问题：设直线问题：设直线 L过点过点),( 0000 zyxM并且并且 m,n,ps 为其一方向向量为其一方向向量, ,求直线求直线 L的方程的方程. . 设点设点),(zyxM为直线为直线 L上任一点上任一点, ,由于由于

39、 0 M M 在直在直 线线 L上上, ,所以所以 0 /M M s , ,即即 0 M Mt s ( ( t为实数为实数),), 而而 0000 ,M Mxxyy zz . . 第40页/共76页 因此因此, ,有有 0 0 0 , , , xxtm yytn zztp 即即 0 0 0 , , , xxmt yynt zzpt ( (3 3) ) 因为直线因为直线 L上任一点的坐标都满足式上任一点的坐标都满足式( (3 3) ), ,而不在而不在 直线直线 L上的点的坐标都不满足式上的点的坐标都不满足式( (3 3) ), ,所以式所以式( (3 3) )是直线是直线 L的方程 的方程,

40、,并称式并称式( (3 3) )为直线的参数方程为直线的参数方程, ,其中其中 t 为参数为参数. . 在式在式( (3 3) )中中, ,消去参数消去参数 t, ,即有即有 p zz n yy m xx 000 , , ( (4 4) ) 式式( (4 4) )中中 ),( 000 zyx 是直线是直线 L 上已知点上已知点, , ,pnm 是是 L 的方向向量的方向向量, ,因此因此, ,式式( (4 4) )称为直线称为直线 L 的点向式方程的点向式方程. . 第41页/共76页 说明说明：因为：因为0s, ,所以所以pnm,不全为零不全为零, ,但当有一个但当有一个 为零为零, ,例如

41、例如0m时时, ,式式( (4 4) )应理解为应理解为 0 00 0, , xx yyzz np 当有两个为零时当有两个为零时, ,例如例如 0 nm , ,式式( (4 4) )应理解为应理解为 0 0 0, 0. xx yy 例例 5 5 求过两点求过两点)3 , 2 , 3(),1 , 1 , 1 ( 21 MM的直线的直线 L的方程的方程. . 解解 直线直线L的方向向量的方向向量 12 3 1,21,3 1M M s2 , 1 , 2, 第42页/共76页 因此因此, ,过点过点) 1 , 1 , 1 ( 1 M, ,且以且以2 , 1 , 2s 为方向向量的直线为方向向量的直线

42、L的的 方程为方程为 2 1 1 1 2 1 zyx . . 2 2直线的一般式方程直线的一般式方程 空间直线也可看作两平面的交线空间直线也可看作两平面的交线, ,所以可用这两个所以可用这两个 平面方程的联立方程组来表示直线方程平面方程的联立方程组来表示直线方程, ,即即 1111 2222 0, 0, AxB yC zD A xB yC zD ( (5 5) ) 由于两平面相交由于两平面相交, ,故式故式( (5 5) )中的中的 111 ,CBA与与 222 ,CBA不不 成比例成比例( (即法向量即法向量 1111 ,A B Cn与与 2 n 222 A ,B ,C不平不平 行行),),

43、称式称式( (5 5) )是直线是直线 L的一般式方程的一般式方程. . 第43页/共76页 例例 6 6 写出直线写出直线 L: : 2330, 3250 xyz xyz 的点向式方程的点向式方程 . . 解解 先在直线先在直线 L: : 2330, 3250 xyz xyz 上选取一点上选取一点, ,为为 此此, ,令令0z, ,得得 23, 35, xy xy 解之得解之得 2, 1yx , ,即点即点 )0 , 2, 1( 0 M 为直线为直线 L 上的一个点上的一个点. . 直线直线L的方向向量的方向向量 2, 1 , 33 , 2, 1s= = 213 321 kji = =kji

44、711 , , 则则直线直线L的点向式方程为的点向式方程为 7 0 11 2 1 1 zyx . 第44页/共76页 例例7 7 设平面设平面 1 的方程为的方程为0122zyx, ,平面平面 2 的方程为的方程为 05 yx , ,求求 1 与与 2 的夹角的夹角. . 解解 两平面的夹角即为其法向量的夹角两平面的夹角即为其法向量的夹角, ,设设 1的法向的法向 量为量为 1 n, , 2 的法向量为的法向量为 2 n, ,则则 0 , 1, 1,2 , 1, 2 21 nn, , 22222 21 21 0) 1(12) 1(2 02) 1() 1(12 cos nn nn 2 2 23

45、3 , 即即 2 arccos 24 为两平面为两平面 12 , 的夹角的夹角. . 第45页/共76页 两平面间的位置完全由其法向量决定两平面间的位置完全由其法向量决定, ,因此两平面因此两平面 平行（垂直）的充要条件是法向量互相平行（垂直） ；同平行（垂直）的充要条件是法向量互相平行（垂直） ；同 样两直线间的位置关系完全由其方向向量决定样两直线间的位置关系完全由其方向向量决定, ,因此因此, ,两两 直线平行（垂直）的充要条件是其方向向量互相平行（垂直线平行（垂直）的充要条件是其方向向量互相平行（垂 直）直）. . 例例9 9 试证直线试证直线 3 3 2 2 1 1 : 1 zyx L

46、与直线与直线 2 3 5 3 4 2 : 2 zyx L 垂直垂直 . . 证证 因为因为 1 L的方向向量为的方向向量为3 , 2 , 1 1 s, , 2 L的方向向量的方向向量 为为2, 5 , 4 2 s, ,而而 )2(352)4(1 21 ss4 1060 , , 所以所以 21 ss , , 21 LL , ,证毕证毕. . 第46页/共76页 例例 1010 试 证 平 面试 证 平 面 1 :25460 xyz与与 2 :244110 xyz垂直；而垂直；而 2 与平面与平面 3 11 :220 2 xyz平行平行. . 证证 因为因为 1 的法向量的法向量4 , 5 , 2

47、 1 n, , 2 的法向量的法向量4 , 4, 2 2 n, , 3 的法向量的法向量2 , 2, 1 3 n, , 由于由于044)4(522 21 nn, ,所以所以 21 nn , ,即即 12 . . 又由于又由于 3 2nn 所以所以 32 /nn, ,即即 3 2 /. . 第47页/共76页 直线与它在平面上的投影线间的夹角直线与它在平面上的投影线间的夹角 (0(0 2 ) ), ,称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角( (如右下图如右下图).).设直设直 线线 L的方向向量为的方向向量为 s, ,平面平面 的法向量为的法向量为 n, ,向量向量 s与 与 n间的夹角为间的

48、夹角为 , ,则则 2 ( (或或 2 ),),所以所以 | | |cos|sin ns ns . n z O x y s L 第48页/共76页 例例 1111 讨 论 直 线讨 论 直 线 L: : 3 6 5 5 2 zyx 和 平 面和 平 面 : :x151259 zy的位置关系的位置关系. . 解解 由于直线由于直线 L的方向向量的方向向量 3 , 5 , 2s，平面，平面 的法向量的法向量 5 , 9,15n， 所以， 所以, ,直线直线 L与平面与平面 的夹的夹 角角 的正弦的正弦 sin | | s n s n = = 222222 2 155 ( 9)3 5 0 25315

49、95 , , 所以所以, , 0, ,即直线即直线 L与平面与平面 平行或直线平行或直线 L在在 平面平面 内内. .容易验证直线容易验证直线 L上上(0,2,6)(0,2,6)在平面在平面 上上. . 所以直线所以直线 L在平面在平面 上上. . 第49页/共76页 思考题思考题 1.1.写出下列平面方程：写出下列平面方程： （1 1）xOy平面； （平面； （2 2）过轴）过轴 z的平面；的平面； （3 3）平行与）平行与zOx的平面； （的平面； （4 4）与）与 zyx, 轴正向截距相轴正向截距相 等的平面等的平面. . 2 2. .用一般式用一般式 1111 2222 0, 0 Ax

50、B yC zD A xB yC zD 表示空间直线的表示空间直线的 表达式是否惟一表达式是否惟一, ,直线直线 0, 23 xy xy 与与 0, 230 xy xy 有何关有何关 系？系？ 第50页/共76页 一、一、曲面方程的概念曲面方程的概念 二、二、母线平行于坐标轴的柱面母线平行于坐标轴的柱面 三、三、旋转曲面旋转曲面 四、四、二次曲面二次曲面 五、五、空间曲线及其在坐标面上的投影空间曲线及其在坐标面上的投影 第51页/共76页 第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 定 义定 义 如果 曲面如果 曲面上每一点 的坐标 都满足方程上每一点 的坐标 都满足方程 0),(zyxF；而不

51、在曲面；而不在曲面上的点的坐标都不满足这个方上的点的坐标都不满足这个方 程程, ,则称方程则称方程0),(zyxF为曲面为曲面的方程的方程, ,而称曲面而称曲面为为 此方程的图形此方程的图形. . 例例1 1 求与两定点求与两定点 1(1,1,0) M， 2(2,2,1) M等距离的点的轨等距离的点的轨 迹方程迹方程. . 解解 设设),(zyxM为 轨 迹 上 的 点为 轨 迹 上 的 点 , , 按 题 意 有 ：按 题 意 有 ： 12 MMMM 写成坐标形式写成坐标形式, ,即即 222222 (1)(1)(0)(2)(2)(1)xyzxyz 化简化简, ,得得 2227xyz 第52

52、页/共76页 例例2 2 求球心在求球心在),( 000 zyx, ,半径为半径为R的球面方程的球面方程. . 解解 设定点设定点 0 M的坐标为的坐标为),( 000 zyx, ,则点则点),(zyxM在在 以以 0 M为球心为球心, ,以以R为球半径的球面上的充要条件为为球半径的球面上的充要条件为 RMM 0 , , 即即 Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()(, , 两边平方两边平方, ,得得 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 经验证经验证， 上式就是以， 上式就是以 ),( 0000 zyxM 为球心为球心, ,以以 R 为球半径的为球半径的 球面方程

53、球面方程. . 当当 0 000 zyx 时时, ,则得球心在坐标原点的球面方则得球心在坐标原点的球面方 程为程为 2222 Rzyx . . 第53页/共76页 柱面： 直线柱面： 直线 L沿定曲线沿定曲线 C平行移动所形成的曲面称平行移动所形成的曲面称 为柱面定曲线为柱面定曲线 C称为柱面的准线称为柱面的准线, ,动直线动直线 L称为柱称为柱 面的母线面的母线. . L C L 第54页/共76页 1.1. 圆柱面方程圆柱面方程 设一个圆柱面的母线平行于设一个圆柱面的母线平行于 z轴轴, ,准准 C线是线是 xOy平平 面上以原点为圆心面上以原点为圆心, , R为半径的圆为半径的圆. .在

54、平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , 准线准线 C的方程为的方程为 222 Ryx, ,求该圆柱面的方程求该圆柱面的方程. . 在圆柱面上任取一点在圆柱面上任取一点),(zyxM, , 过点过点 M的母线与的母线与 xOy平面的交点平面的交点 )0 ,( 0 yxM 一定在准线一定在准线 C上上, ,必定满必定满 足方程足方程 222 Ryx ；反之；反之, ,不在圆柱不在圆柱 面上的点面上的点, ,它的坐标不满足这个方它的坐标不满足这个方 程程, ,于是所求圆柱面方程为于是所求圆柱面方程为 222 Ryx . . z O x y M 0 M 第55页/共76页 2.2.准线在坐标面上母线

55、垂直于该坐标面的柱面方程准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方程 一般来说一般来说, ,如果柱面的准线是如果柱面的准线是 xOy面上的曲线面上的曲线 C, , 它在平面直角坐标系中的方程为它在平面直角坐标系中的方程为0),(yxf, ,那么那么, ,以以 C 为准线为准线, ,母线平行于母线平行于 z轴的柱面方程就是轴的柱面方程就是0),(yxf. . 类似地类似地, ,方程方程0),(zyg表示母线表示母线平行于平行于 x轴的柱面轴的柱面. . 方程方程0),(zxh表示母线平行于表示母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面. . 在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱下

56、，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行 于哪一个坐标轴于哪一个坐标轴 . . 第56页/共76页 例例3 3 方程方程1 2 2 2 2 b y a x , ,1 2 2 2 2 b y a x , ,02, 2 pyx分别表分别表 示母线平行于示母线平行于 z轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面. .如下如下 图所示图所示, ,由于这些方程都是二次的由于这些方程都是二次的, ,因此称为二次柱面因此称为二次柱面. . x y O z y O x z y O x z 第57页/共76页

57、旋转曲面：一平面曲线旋转曲面：一平面曲线 C绕同一平面上的一条定绕同一平面上的一条定 直线直线 L旋转所形成的曲面称为旋转曲面旋转所形成的曲面称为旋转曲面. .曲线曲线 C称为称为 旋转曲面的母线旋转曲面的母线, ,直线直线L称为旋转曲面的轴称为旋转曲面的轴. . 坐标面上曲线绕坐标轴旋转所坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程成的旋转曲面方程 设在设在yOz平面上有一条已知曲线平面上有一条已知曲线 C, ,它在平面直角它在平面直角 坐标系中的方程是坐标系中的方程是0),(zyf, ,求此曲线求此曲线 C绕绕 z轴旋转一轴旋转一 周所形成的旋转曲面的方程周所形成的旋转曲面的方程. . 在旋

58、转曲面上任取一点在旋转曲面上任取一点),(zyxM, , 设这点是由母线上设这点是由母线上 点点), 0( 111 zyM 绕绕z轴旋转一定角度而得到轴旋转一定角度而得到. .于是于是 0),( 22 zyxf 反之反之，不在不在曲面曲面上上的的点点不不满足满足上上 面面方程方程，此此方程方程为为旋转旋转曲面曲面方程方程. . O 1 O M ) , , 0 ( 1 1 1 z y M x y z 第58页/共76页 同理同理, , 曲线曲线 C绕绕 y轴轴旋转旋转的旋转曲面方程为的旋转曲面方程为 0),( 22 zxyf. . . 例例 4 4 求由求由yOz平面上的直线平面上的直线 )0(

59、 kkyz绕绕 z 轴旋转所形成的旋转曲面方程轴旋转所形成的旋转曲面方程. . 解解 在方程中在方程中, ,把把y换成换成 22 yx 得所求方程为得所求方程为 22 yxkz, , 即即 )( 2222 yxkz. . 此曲面为顶点在原点此曲面为顶点在原点, ,对对称称 轴为轴为z轴的圆锥面轴的圆锥面( (如如右图右图) ). . z x y O 第59页/共76页 1.1.椭球面椭球面 方程方程 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x )0, 0, 0(cba, , 所表示的曲面称为椭球面所表示的曲面称为椭球面, , cba, 称为椭球面的半轴称为椭球面的半轴. . 二次曲面：

60、在空间直角坐标系中二次曲面：在空间直角坐标系中, ,若若0),(zyxF是二是二 次方程次方程, , 则它的图形称为二次曲面则它的图形称为二次曲面. . 截痕法：用一系列平行于坐标面的平面去截曲面截痕法：用一系列平行于坐标面的平面去截曲面, ,求求 得一系列的交线得一系列的交线, ,对这些交线进行分析对这些交线进行分析, ,从而把握曲面的从而把握曲面的 轮廓特征轮廓特征, ,这种方法称为截痕法这种方法称为截痕法. . z x y O 第60页/共76页 当当ba 时原方程化为时原方程化为1 2 2 2 22 c z a yx ，它是一个椭圆它是一个椭圆 绕绕z轴旋转而成的旋转椭球面轴旋转而成的