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1、会计学1 向量组秩的定理例如向量组秩的定理例如 4 向量组的秩向量组的秩 一、向量组秩的概念一、向量组秩的概念 定义定义6 设有向量组A，如果在A中存在 r 个向量 1， 2， ，r ，满足 （1）向量组A0： 1，2， ，r线性无关； （2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量 的话）都线性相关，那末向量组 A0是向量组 A的一个极大极大 线性无关组线性无关组（简称极大无关组极大无关组）；极大无关组所含向量的 个数 r 称为向量组A的秩秩。 1、零向量组的秩为0。 2、一个向量组的极大无关组通常不唯一。 第1页/共5页 定理定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量

2、组的秩。 证证 设A = (1,2,m ), R(A) = r ,并设 r 阶子式 Dr 0 。 根据定理4和Dr 0知Dr所在的r列线性无关；又由A中所 有r+1阶子式均为零，知 A中任意 r+1个列向量都线性相关。 因此Dr所在的 r 列是 A的列向量组的一个极大无关组,所以 列向量组的秩等于r。 同理可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A) 。 由此可见：若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则 Dr所在的r列即是列向量组的一个极大无关组， Dr所在的r 行即是行向量组的一个极大无关组。 注：向量组1,2,m 的秩也记作R(1,2,m )。 二、向量组秩的定理二、向量组秩的定理 第2页/共5

3、页 例如例如 设向量组 123 102 124 157 ,. 把向量组拼成矩阵，即 123 102 124 157 , 显然R(1,2) = 2, 知 1, 2线性无关；由 R(1,2, 3) = 2 知 1,2, 3线性相关 。因此 1, 2 是向量组 1,2, 3的一个极 大无关组。 此外， R(1,3) = 2 及 R(2,3) = 2 可知1,3和2,3都 是向量组 1,2, 3 的一个极大无关组。 第3页/共5页 性质性质1 向量组是线性无关的充分必要条件是向量组的秩数等于向量组中向量的个数。 性质性质2 向量组与其极大无关组等价。 证证 设向量组A0： 1,2,r是 A的极大无关组，则A0 是A的部分组,故 A0 总能由 A 线性表示；由极大无关组的 定义知，对于A中任意向量 ，r+1个向量1,2,r, 线 性相关，而1,2,r线性无关，由定理2知 能由1,2, r线性表示，即向量组A能由

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