届高三数学解斜三角形PPT学习教案

1、会计学1 届高三数学解斜三角形届高三数学解斜三角形 1.掌握正弦定理、余弦定理，掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角度量问题并能解决一些简单的三角度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定能够运用正弦定理、余弦定 理等知识和方法解决一些与几何计算理等知识和方法解决一些与几何计算 有关的实际问题有关的实际问题. 第1页/共22页 1.在在ABC中，已知中，已知BC=12，A=60， B=45，则，则AC=( ) D A.3 B.3 C.4 D.4 3663 由正弦定理得由正弦定理得 = , 所以所以AC= = =4 . sin BC Asin AC B sin sin BCB A 6

2、2 12 2 3 2 第2页/共22页 2.在在ABC中，若中，若a、b、c成等比数列，且成等比数列，且 c=2a，则，则cosB=( )D A. B. C. D. 2 4 2 3 1 4 3 4 因为因为a、b、c成等比数列，所以成等比数列，所以b2=ac. 又又c=2a,所以所以b2=2a2, 所以所以cosB= = = . 222 2 acb ac 222 2 4 2 aaa a 3 4 第3页/共22页 3.在在ABC中中,sinA:sinB:sinC=2: :( +1),则则 三角形的最小内角是三角形的最小内角是( ) 63 A.60 B.45 C.30 D.以上答案都错以上答案都错

3、 由正弦定理由正弦定理 = = =2R， 得得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC, 所以所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2 ( +1). 因为因为a为最小值，所以为最小值，所以A为最小内角为最小内角. 因为因为cosA= = , 且且A(0,60)，所以，所以A=45，故选，故选B. sin a Asin b Bsin c C 6 3 B 222 ( 6)( 31)2 26( 31) 2 2 第4页/共22页 4.某人向正东方向走了某人向正东方向走了x km，他向右转，他向右转150, 然后朝新方向走了然后朝新方向走了 km，结果他离出发点，结果他离出发点 恰好

4、为恰好为 千米，那么千米，那么x的值是（的值是（ ）C3 A. B.2 C.2 或或 D.3 3 33 3 先根据已知条件画出草图，再用先根据已知条件画出草图，再用 余弦定理或正弦定理列方程，解方程余弦定理或正弦定理列方程，解方程 即可，选即可，选C. 第5页/共22页 5.已知已知ABC的三个内角的三个内角A、B、C成等差数成等差数 列，且列，且AB=1,BC=4，则边，则边BC上的中线上的中线AD 的长为的长为 ，S ACD= . 3 3 2 由已知，由已知，B=60，AB=1， BD=2. 由余弦定理知由余弦定理知 AD= = = . 22 2cos60ABBDAB BD 22 122

5、1 2cos60 3 第6页/共22页 又又cosADB= = = , 又又0ADB180， 所以所以ADB=30，所以，所以ADC=150， 所以所以S ACD= ADDCsin ADC= . 222 2 ADBDAB AD BD 222 ( 3)21 2 23 3 2 1 2 3 2 第7页/共22页 1.正弦定理及变式正弦定理及变式 (1) = = =2R; (2)a=2RsinA,b= ,c=2RsinC; (3)sinA= ,sinB= ,sinC= ; (4)sinA sinB sinC =a b c. (5)在下列条件下，应用正弦定理求解在下列条件下，应用正弦定理求解: ()已知

6、两角和一边，求其他边和角；已知两角和一边，求其他边和角； ()已知两边和其中一边的对角，求另一边已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角及其他边和角的对角及其他边和角. sin a A sin b B sin c C 2RsinB 2 a R2 b R2 c R 第8页/共22页 2.余弦定理及变式余弦定理及变式 (1)a2=b2+c2-2bccosA; b2= ; c2=a2+b2-2abcosC. (2)cosA= ; cosB= ; cosC= . a2+c2-2accosB 222 2 bca bc 222 2 acb ac 222 2 abc ab 第9页/共22页 (3)在下列条

7、件下，应运用余弦定理求在下列条件下，应运用余弦定理求 解解: ()已知三边，求三个角；已知三边，求三个角； ()已知两边和它们的夹角，求第三边已知两边和它们的夹角，求第三边 和其他两个角；和其他两个角； ()已知两边和其中一边的对角，求第已知两边和其中一边的对角，求第 三边和其他两个角三边和其他两个角.(此类问题需要讨论此类问题需要讨论) 3.三角形的面积公式三角形的面积公式 S= absinC= = bcsinA. 1 2 acsinB 1 2 1 2 第10页/共22页 4.应用解三角形知识解决实际问题的步应用解三角形知识解决实际问题的步 骤骤 (1)根据题意画出示意图；根据题意画出示意图

8、； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并确定实际问题所涉及的三角形，并 搞清该三角形的已知条件和未知条件；搞清该三角形的已知条件和未知条件； (3)选用正、余弦定理进行求解，并注选用正、余弦定理进行求解，并注 意运算的正确性；意运算的正确性； (4)给出答案给出答案. 第11页/共22页 例例1 在在ABC中，已知中，已知a= ,b= , B=45,求角求角A、C及边及边c. 由正弦定理，得由正弦定理，得 sinA= = = , 因为因为ba,所以所以BA,所以所以A=60或或120. sinaB b 3sin45 2 3 2 32 第12页/共22页 已知两边和其中一边的对角解三角已知两边和

9、其中一边的对角解三角 形问题形问题,用正弦定理解用正弦定理解,求得求得sinA= 时，要时，要 注意角注意角A是锐角还是钝角，若不能确定，是锐角还是钝角，若不能确定， 则需分类讨论则需分类讨论. (1)当当A=60时，时，C=75， 所以所以c= = . (2)当当A=120时，时，C=15， 所以所以c= = . 2sin75 sin45 62 2 2sin15 sin45 3 2 62 2 第13页/共22页 例例2 钝角钝角ABC的三内角的三内角A、B、C 所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，sinC= , (c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角，求角A、 B、C.

10、2 2 第14页/共22页 由由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C, 得得(c-b)a2+b3=c3, 所以所以(c-b)a2+(b-c)(b2+bc+c2)=0, 即即(c-b)(b2+bc+c2-a2)=0, 所以所以b=c或或b2+bc+c2-a2=0, 当当b=c时，有时，有B=C，所以，所以C为锐角，为锐角， 又又sinC= ,所以所以B=C=45, 所以所以A=90，这与，这与ABC为钝角三角形矛盾为钝角三角形矛盾. 2 2 第15页/共22页 当当b2+bc+c2-a2=0时，时，b2+c2-a2=-bc, 所以所以cosA= =- , 所以所以A=120， 又又s

11、inC= 且且C为锐角，所以为锐角，所以C=45， 所以所以B=180-A-C=15， 综上可知综上可知,A=120,B=15,C=45. 222 2 bca bc 1 2 2 2 若将边化角若将边化角,常用三角函数公式来化简常用三角函数公式来化简; 若将角化边若将角化边,则常通过因式分解来得到则常通过因式分解来得到. 第16页/共22页 例例3 已知圆内接四边形的边长为已知圆内接四边形的边长为 AB=2,BC=6,CD=DA=4，求四边，求四边 形形ABCD的面积的面积. 第17页/共22页 如图，连接如图，连接BD， 设四边形设四边形ABCD的面积为的面积为S， 则则S=S ABD+SBC

12、D = ABADsinA+ BCCDsinC, 因为四边形因为四边形ABCD为圆内接四边形，为圆内接四边形， 所以所以A+C=180， 所以所以sinA=sinC,cosA=-cosC, 所以所以S= (ABAD+BCCD)sinA=16sinA, 1 2 1 2 1 2 第18页/共22页 在在ABD中，由余弦定理得，中，由余弦定理得， BD2=AB2+AD2-2ABADcosA =22+42-224cosA=20-16cosA. 在在BCD中，由余弦定理同样可得，中，由余弦定理同样可得， BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=52+48cosA. 由由BD2=BD2，得，得20-16

13、cosA=52+48cosA， 即即cosA=- , 又又A(0,)，所以，所以A=120, 所以所以S=16sin120=8 . 1 2 3 将四边形转化为三角形问题，创将四边形转化为三角形问题，创 造应用解三角形的情景，进而运用有造应用解三角形的情景，进而运用有 关的知识去解决问题关的知识去解决问题. 第19页/共22页 正、余弦定理体现了三角形中角与边正、余弦定理体现了三角形中角与边 存在一种内在联系，其主要作用是将已知存在一种内在联系，其主要作用是将已知 边、角互化或统一边、角互化或统一.一般的，利用公式一般的，利用公式 a=2RsinA等（等（R为外接圆半径），可将边转为外接圆半径），可