高三数学（理）课件：归纳类比与数学证明

1、第四节归纳类比与数学证明第四节归纳类比与数学证明 考纲考纲 点击点击 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简 单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式， 并能运用它们进行一些简单推理并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 热点热点 提示提示 1.以选择题、填空题的形式考查合情推理以选择题、填空题的形式考查合情推理. 2.以选择题或

2、解答题的形式考查演绎推理以选择题或解答题的形式考查演绎推理. 3.题目难度不大，多以中低档题为主题目难度不大，多以中低档题为主. 1n条直线两两相交共有f(n)个交点，则n1条直线最多比f(n)多多少个交 点() An1个 Bn个 Cn1个 Dn2个 【解析解析】第n1条直线分别与前n条直线相交时最多有n个交点. 故选 B. 【答案答案】B 2下面几种推理是合情推理的是() 由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三 角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；张军某次考 试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是 180，四边形内角

3、和是360，五边形内角和是540，由此得凸n边形内角和 是(n2)180. A B C D 【解析解析】是类比推理，是归纳推理，是归纳推理，所以为合 情推理 【答案答案】C 3某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示， ，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜 色应是() A白色B黑色 C白色可能性大 D黑色可能性大 【解析解析】由图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周 期为5的三白二黑的圆列，因为3657余1，所以第36个圆应与第1个圆颜 色相同，即白色 【答案答案】A 4一切奇数都不能被2整除，21001是奇数，所以21001不能被2整除， 其演绎“三段论”的形式为： 大前提：一

4、切奇数都不能被2整除 小前提：_. 结论：所以21001不能被2整除 【解析解析】三段论是由一般到特殊，一切奇数都不能被2整除是大前提， 则小前提必是21001是奇数 【答案答案】21001是奇数 5若数列an中，a11，a235，a37911，a4131517 19，则a8_. 【解析解析】由a1，a2，a3，a4的形式可归纳， 12347 28， a8的首项应为第29个正奇数，即229157. a85759616365676971 512. 【答案答案】512 归纳推理归纳推理 设f(x) ，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)， f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明

5、 【思路点拨】【思路点拨】 【方法点评方法点评】1.归纳推理的特点： (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前 提所包含的范围 (2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础 之上的 2归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同本质 (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 【特别提醒特别提醒】归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明 类比推理类比推理 请用类比推理完成下表： 平面平面空间空间 三角形两边之和大于第三三角形两边之和大于第三 边边 三棱锥任意三个面的面积之和三棱锥任意三个面的面积之和 大于第四个面的面积大

6、于第四个面的面积 三角形的面积等于任意一三角形的面积等于任意一 边的长度与这边上高的乘边的长度与这边上高的乘 积的一半积的一半 三棱锥的体积等于任意一个面三棱锥的体积等于任意一个面 的面积与该面上的高的乘积的的面积与该面上的高的乘积的 三分之一三分之一 三角形的面积等于其内切三角形的面积等于其内切 圆半径与三角形周长的乘圆半径与三角形周长的乘 积的一半积的一半 【思路点拨思路点拨】由表格一、二两个问题的类比可知，线对面，长度对面积， 从而内切圆应相对内切球，从而可解 【自主探究自主探究】本题由已知前两组类比可得到如下信息：平面中的 三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥的各

7、 面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象； 三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“ 二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象 由以上分析可知： 故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘 积的三分之一 (本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处 略) 【方法点评方法点评】1.类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 (猜想) 2类比是科学研究最普遍的方法之一. 在数学中，类比是发

8、现概念、 方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手 段类比在数学中应用广泛数与式、平面与空间、一元与多元、低次 与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜 想，而后加以证明的 2在ABC中，AB2AC2BC2，类比平面中的勾股定理，研究三棱锥 的侧面积与底面积间的关系，可以得出正确结论；“设三棱锥ABCD的三 个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直”，则_ 【解析解析】 如右图所示，过A作BC的垂线AE与BC交于E，连 接DE，则BCDE， 【答案答案】S2ABC+S2ACD+S2ADB=S2BCD 演绎推理演绎推理 已知函数f(x) (a0且a1)，

9、(1)证明：函数yf(x)的图象关于点 对称； (2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值 【思路点拨思路点拨】证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数yf(x)的图 象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上小前提是f(x) (a0且a1)的图象关于点 对称 (2)由(1)有1f(x)f(1x)， 即f(x)f(1x)1. f(2)f(3)1，f(1)f(2)1， f(0)f(1)1， 则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3. 【方法点评方法点评】演绎推理在数学命题的证明中是常用的方法，证明问 题时要注意灵活运用 3用三段论的形式写出下列演绎推理 (1)若两

10、角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是 对顶角； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等； (3)0. 是有理数； (4)ysinx(xR)是周期函数 【解析解析】(1)两个角是对顶角，则两角相等，大前提 1和2不相等，小前提 1和2不是对顶角结论 (2)每一个矩形的对角线相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等结论 (3)所有的循环小数是有理数，大前提 0. 是循环小数，小前提 所以0. 是有理数结论 (4)三角函数是周期函数，大前提 ysinx是三角函数，小前提 ysinx是周期函数结论 1(2009年浙江高考)观察下列等式： C51

11、C55232， C91C95C992723， C131C135C139C131321125， C171C175C179C1713C171721527， 由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，C4n11C4n15C4n19 C4n14n1_. 【解析解析】归纳推理观察等式右边232,2723,21125,215 27，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，成等差数列， 公差为4，首项为3，通项为4n1；第二项的指数1,3,5,7，的通 项为2n1.故得结论24n1(1)n22n1. 【答案答案】24n1(1)n22n1 2(2009年湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来

12、研究数 比如： 他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为 三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数，下列数中既 是三角形数又是正方形数的是() A289B1 024 C1 225 D1 378 【解析解析】根据图形的规律可知第n个三角形数为an ，第 n个正方形数为bnn2，由此可排除D(1 378不是平方数)将A、B、C 选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项，故选 C. 【答案答案】C 3(2009年江苏高考)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 2， 则它们的面积比为1 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1 2，则它们的体积比为_ 【答案答案】1 8 4(2008年江苏高考)将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第三个数为_ 【答案】【答案】 1合情推理主要包括归纳推理和类比推理，数学研究中，在得到一个新 结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合 情推理常常能为证明提供思路与方向 2合情推理的过程概况为： 3演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推