5　一元二次方程的根与系数的关系

1、栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 第二章一元二次方程第二章一元二次方程 初中数学（北师大版）初中数学（北师大版） 九年级 上册 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 内容推论 一元二次方程的根与系 数的关系(也叫韦达定 理) 如果方程ax2+bx+c=0(a0) 有两个实数根为x1,x2,那么x1+ x2=- , x1x2= 推论1:如果方程x2+px+q=0的两个实数 根是x1,x2,那么x1+x2=-p, x1x2=q. 推论2:以两个实数x1,x2为根的一元二次 方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2 =0 b a c a 知识点知识点 一元

2、二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 知识拓展知识拓展 1.根与系数的关系的应用:(1)不解方程,求与方程的根有关的代数式的 值;(2)已知方程的一根,求方程的另一根;(3)与方程的根的判别式相结 合,确定待定的系数和解决一些综合题. 2.常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形: (1)+=(x1+x2)2-2x1x2; (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; (3)+=; (4)+=; (5)(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2; (6)|x1-x2|=. 2 1 x 2 2 x 1

3、 1 x 2 1 x 12 12 xx x x 1 2 x x 2 1 x x 2 1212 12 ()2xxx x x x 2 1212 ()4xxx x 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 3.使用一元二次方程的根与系数的关系确定待定系数时,首先保证这个 方程是一元二次方程,其次保证一元二次方程有实数根. 例例设x1、x2是一元二次方程2x2+4x=3的两根,利用根与系数的关系求 下列代数式的值: (1)(x1+1)(x2+1);(2)x2+x1;(3)(x1-x2)2. 2 1 x 2 2 x 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 解析解析方程变形为一般形式为2

4、x2+4x-3=0, a=2,b=4,c=-3, =b2-4ac=42-42(-3)=400, 方程有两个不相等的实数根. x1+x2=-=-2,x1x2=-. (1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-+(-2)+1=-. (2)x2+x1=x1x2(x1+x2)=-(-2)=3. (3)(x1-x2)2=-2x1x2+=+2x1x2+-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4=10. 点拨点拨利用一元二次方程的根与系数的关系求关于x1、x2的代数式的 值时,关键是把所给的代数式转化为含x1+x2,x1x2的形式,然后把x1+x2,x1x2 4 2 3

5、2 3 2 5 2 2 1 x 2 2 x 3 2 2 1 x 2 2 x 2 1 x 2 2 x 3 2 的值代入,即可求出所求代数式的值. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 题型一题型一 利用根与系数的关系求方程的根或字母参数的值利用根与系数的关系求方程的根或字母参数的值 例例1 (2015江苏南京中考)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另 一个根是 ,m的值是 . 解析解析设方程的另一个根为x1, 则x11=3,即x1=3, 则-m=1+3, 解得m=-4. 答案答案3;-4 点拨点拨利用一元二次方程根与系数的关系是解决此类问题较为简单的 方法.当已知常数项的

6、值时,要根据两根之积构建方程;当已知一次项系 数时,要根据两根之和构建方程. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 题型二题型二 利用根与系数的关系求对称式的值利用根与系数的关系求对称式的值 例例2已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为,不解方程求下列各式 的值. (1)2+2;(2)3+3;(3)+;(4)(-1)(-1). 解析解析,是方程x2+3x-1=0的两个实数根,+=-3,=-1. (1)2+2=(+)2-2=(-3)2-2(-1)=11. (2)3+3=(2+2)=(-1)11=-11. (3)+=-11. (4)(-1)(-1)=-(+)+1=(-1)-(-3

7、)+1=3. 22 11 1 方法总结方法总结一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根的对称式一般可转化 成含x1+x2,x1x2的形式,故根与系数之间的关系是解决两根对称式求值问 题的常用工具. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 易错点易错点 忽略忽略0的条件而致错的条件而致错 例例已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,求 实数k的值. 解析解析设方程的两个根为x1,x2,由根与系数的关系,得 x1+x2=k-1,x1x2=k+1. +=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4, (k-1)2-2(k+1)=4,即k2-4k-5=0,k=

8、5或k=-1. 当k=5时,b2-4ac=-(k-1)2-4(k+1)=-80.k的值为-1. 易错警示易错警示一元二次方程的根与系数的关系以一元二次方程有两个实 数根为前提,此题易忽略原方程有两根的条件b2-4ac0,未将求出的k值 2 1 x 2 2 x 代入判别式中检验而造成错误. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 知识点知识点 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 1.(2017四川绵阳中考)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm 的值为() A.-8 B.8 C.16 D.-16 答案答案 C由一元二次方程的根与系数的关系得解得

9、m=2, n=-4,故nm=(-4)2=16,故选C. 2 1, 2 2 1, 2 m n 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 2.已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,则+的值等于() A. B. C.- D.- 1 m 1 n 3 5 5 3 3 5 5 3 答案答案 D由根与系数的关系可得m+n=-=,mn=-, +=-. b a 5 2 c a 3 2 1 m 1 n mn mn 5 2 3 2 5 3 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 3.(2016山东威海中考)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根, 且x1+x2=-2,x1

10、x2=1,则ba的值是() A. B.- C.4 D.-1 1 4 1 4 答案答案 A因为x1、x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,所以x1+x2= -a=-2,x1x2=-2b=1,解得a=2,b=-,所以ba=,故选A. 1 2 2 1 2 1 4 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 1.(2013四川泸州中考)设x1,x2是方程x2-3x-3=0的两个实数根,则+的 值为() A.5 B.-5 C.1 D.-1 2 1 x x 1 2 x x 答案答案 B由根与系数的关系可知x1+x2=3,x1x2=-3,+= =-2=-2=-5.故选B. 2 1 x x

11、1 2 x x 22 21 12 xx x x 2 2112 12 ()2xxx x x x 2 21 12 ()xx x x 2 3 3 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 2.设a,b是方程x2-x-2 016=0的两个实数根,则a2+2a+3b-2的值为() A.2 014 B.2 015 C.2 016 D.2 017 答案答案 D根据题意得a+b=-=1,把x=a代入方程,可得a2-a-2 016=0, a2=a+2 016,a2+2a+3b-2=3a+2 016+3b-2=2 016+3(a+b)-2=2 016+31-2 =2 019-2=2 017.故选D. 1

12、1 3.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的 值分别是() A.a=-3,b=1 B.a=3,b=1 C.a=-,b=-1 D.a=-,b=1 1 6 3 2 答案答案 D根据题意知x1+x2=-2a,x1x2=b,所以-2a=3,b=1,解得a=-,b=1. 3 2 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 4.以3、-2为根,且二次项系数为1的一元二次方程是 . 答案答案 x2-x-6=0 解析解析根据题意得两根之和为1,两根之积为-6,则所求方程为x2-x-6=0. 5.设、是方程2x2-6x+3=0的两个实数根,那么

13、+-的值为 . 答案答案 3 2 解析解析,是方程2x2-6x+3=0的两个实数根,+=3,=,+-= 3-=. 3 2 3 2 3 2 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 1.方程x2-7x+5=0的两根之差为() A. B. C.- D.以上都不对 2929 29 答案答案 B =(-7)2-415=290,原方程有两个不等的实数根.设两根 为x1,x2,则x1+x2=7,x1x2=5, |x1-x2|=,x1-x2= . 2 12 |xx 2 12 ()xx 2 1212 ()4xxx x 2 74 5 29 29 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 2.(2

14、017四川内江中考)设,是方程(x+1)(x-4)=-5的两实数根,则+= . 3 3 答案答案47 解析解析由(x+1)(x-4)=-5得x2-3x+1=0,由根与系数的关系,得+=3,=1. += =47. 3 3 44 22 222 ()2 2222 ()22 222 (32 1)2 1 1 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 3.设m,n是方程x2-x-2 012=0的两个实数根,则m2+n的值为 . 答案答案2 013 解析解析m,n是方程x2-x-2 012=0的两个实数根, m+n=1,m2-m-2 012=0,即m2=m+2 012. m2+n=m+n+2 012

15、=1+2 012=2 013. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 4.设x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式 的值: (1)(x1-4)(x2-4); (2)+; (3). 3 1 x 4 2 x 4 1 x 3 2 x 1 2 1 3 x x 2 1 1 3 x x 解析解析根据题意知x1+x2=,x1x2=-. (1)(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-4+16=. (2)+ =(x2+x1)=-. (3)=x1x2+=-+-=-. 2 3 2 3 2 3 2 3 38 3 3 1 x 4 2 x 4 1 x

16、 3 2 x 3 1 x 3 2 x 3 2 3 2 3 16 81 1 2 1 3 x x 2 1 1 3 x x 1 3 1 3 12 1 9x x 2 3 2 3 1 6 1 6 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 1.(2016广东广州中考)定义新运算:ab=a(1-b),若a,b是方程x2-x+m=0 (m1)的两根,则bb-aa的值为() A.0 B.1 C.2 D.与m有关 1 4 答案答案 Aa,b是方程x2-x+m=0(m1)的两根,a+b=1,由定义的新运 算可得,bb-aa=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=a2-b2-(a-b)=(a-b)(

17、a+b-1)=(a- b)(1-1)=0. 1 4 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 2.(2014四川攀枝花中考)若方程x2+x-1=0的两实根为、,那么下列说 法不正确的是() A.+=-1 B.=-1 C.2+2=3 D.+=-1 1 1 答案答案 D由一元二次方程根与系数的关系,知+=-1,=-1,因此2+2 =(+)2-2=(-1)2-2(-1)=3,显然选项A、B、C均正确,故选D. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 3.(2014山东日照中考)关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两实根x1、 x2满足x1+x2-x1x2-1,则k的取值范围

18、在数轴上表示为() 答案答案 D由根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=k+1,x1+x2-x1x2-1, -2-k-1-2.方程有两实数根,b2-4ac0,即22-41(k+1)0, 解得k0,k的取值范围是-2k0,故选D. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 4.(2015山东日照中考)如果m、n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2- n=3,那么代数式2n2-mn+2m+2 015= . 答案答案2 026 解析解析由题意可知,m,n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根,根据根与系 数的关系可知:m+n=1,mn=-3,又n2=n+3,则2n2-mn+2

19、m+2 015=2(n+3)-mn+ 2m+2 015=2(m+n)-mn+2 021=21-(-3)+2 021=2 026. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 5.已知、是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的 实数根,且满足+=-1,求m的值. 1 1 解析解析、是方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,+= -(2m+3),=m2. +=-1,整理,得m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1,当m=-1时, 方程为x2+x+1=0, 此时=12-4=-30,方程有两个不相等的实数根. 综上所述,m=3. 1 1 2 (23)m

20、m 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题一、选择题 1.(2017江西模拟,4,)若、是一元二次方程x2+2x-6=0的两个不 相等的根,则2-2的值是() A.10 B.16 C.-2 D.-10 答案答案 A由根与系数的关系可知:+=-2, 2+2=6, 2-2=2+2-2-2=6-2(-2)=10.故选A. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 二、填空题二、填空题 2.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测,16,)若a,b是方程x2+x-2 015=0 的两个实数根,则a2+2a+b= . 答案答案2 014 解析解析a是方程x2+x-2 015=0

21、的根,a2+a-2 015=0,即a2+a=2 015, a2+2a+b=a2+a+a+b=2 015+a+b, a,b是方程x2+x-2 015=0的两个实数根, a+b=-1,a2+2a+b=2 015+(-1)=2 014. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 三、解答题三、解答题 3.(2017吉林长春七十八中一模,21,)已知关于x的一元二次方程x2 -2(m+1)x+m2+2=0. (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围; (2)若方程两实数根分别为x1、x2,且满足+=10,求实数m的值. 2 1 x 2 2 x 解析解析(1)方程x2-2(m+1)x+m2+2=

22、0有实数根, =-2(m+1)2-4(m2+2)=8m-40, 解得m. (2)方程x2-2(m+1)x+m2+2=0的两实数根分别为x1、x2, x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+2, +=(x1+x2)2-2x1x2=2(m+1)2-2(m2+2)=2m2+8m=10, 解得m1=-5(舍去),m2=1,实数m的值为1. 1 2 2 1 x 2 2 x 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 1.(2016辽宁丹东七中第一次月考,4,)已知关于x的一元二次方程 x2-kx-4=0的一个根为2,则另一个根是() A.4 B.1 C.2 D.-2 答案答案 D设另一个根为x1

23、,由根与系数的关系可得x12=-4,则x1=-2. 2.(2017河南郑州七中第一次月考,9,)已知一元二次方程x2-4x-3=0 的两根为m,n,则m2-mn+n2= . 答案答案25 解析解析m,n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个根, m+n=4,mn=-3, 则m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=16+9=25. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 3.(2017福建南安期中,20,)已知关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-8= 0的一个根是4,求方程的另一个根和k的值.(6分) 解析解析x2-(k-1)x-8=0的一个根是4, 42-4(k-1)-8=0,

24、解得k=3. 设方程的另一个根为x1,则4x1=-8, x1=-2. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 4.(2016北京西城二模,21,)已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0.(5分) (1)求证:此方程有两个不相等的实数根; (2)设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x10, 此方程有两个不相等的实数根. (2)x=2m3,且x10, 原方程有两个不相等的实数根. (2)根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=m-3,x1x2=-m. +-x1x2=7, (x1+x2)2-3x1x2=7. (m-3)2-3(-m)=7. 解得m1=1,m2=2, m的值为

25、1或2. 2 1 x 2 2 x 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 6.(2017湖北黄冈中考,17,)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x +k2=0有两个不相等的实数根.(6分) (1)求k的取值范围; (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求+的值. 2 1 x 2 2 x 解析解析(1)方程有两个不相等的实数根, =(2k+1)2-4k2=4k+10, 解得k-,k的取值范围是k-. (2)当k=1时,方程为x2+3x+1=0. 由根与系数的关系可得 +=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-21=9-2=7. 1 4 1 4 12 12 3

26、, 1. xx xx 2 1 x 2 2 x 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 1.(2013内蒙古呼和浩特中考,9,)已知、是关于x的一元二次方 程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m的值是 () A.3 B.1 C.3或-1 D.-3或1 1 1 答案答案 A由题意,知+=-(2m+3),=m2,因为+=-1,所以=-1,即 =-1,解得m=-1或m=3.因为、是关于x的一元二次方程x2+(2m+ 3)x+m2=0的两个不相等的实数根,所以(2m+3)2-4m2=12m+90,所以m-, 所以m=3,故选A. 1 1 2 (23)m m

27、3 4 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 2.(2017湖北荆门中考,15,)已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别 为x1,x2,则+= . 2 1 x 2 2 x 答案答案23 解析解析由根与系数的关系,得x1+x2=-5,x1x2=1.+=(x1+x2)2-2x1x2=(-5)2- 21=25-2=23. 2 1 x 2 2 x 3.(2017江苏南京中考,12,)已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为 -3和-1,则p= ,q= . 答案答案4;3 解析解析因为方程x2+px+q=0的两根为-3和-1, 所以p=-(-3-1)=4,q=(-3)(-1)=3. 栏

28、目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 4.(2017江苏盐城中考,13,)若方程x2-4x+1=0的两个根是x1、x2,则x1(1+ x2)+x2的值为 . 答案答案5 解析解析 x1(1+x2)+x2=x1+x1x2+x2=x1+x2+x1x2. 由一元二次方程的根与系数的关系可知,x1+x2=4,x1x2=1,所以x1(1+x2)+x2= 4+1=5. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 5.(2017湖北鄂州中考,20,)关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有两 个不相等的实数根.(8分) (1)求实数k的取值范围; (2)设方程的两个实数根分别为

29、x1,x2,存不存在这样的实数k,使得|x1|-|x2|= ?若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.5 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 解析解析(1)根据题意,得b2-4ac0, 即-(2k-1)2-41(k2-2k+3)0. 解得k,即实数k的取值范围是k. (2)由根与系数的关系,得x1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3. k2-2k+3=(k-1)2+20,即x1x20,x1、x2同号. x1+x2=2k-1,k,x1+x20,x10,x20. |x1|-|x2|=,x1-x2=, (x1-x2)2=5,即(x1+x2)2-4x1x2=5, (2k-1)2

30、-4(k2-2k+3)=5,解得k=4. 11 4 11 4 11 4 55 4,k的值为4. 11 4 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 1.先阅读,再填空解答: 方程x2-3x-4=0的根是x1=-1,x2=4,则x1+x2=3,x1x2=-4; 方程3x2+10 x+8=0的根是x1=-2,x2=-,则x1+x2=-,x1x2=. (1)方程2x2+x-3=0的根是x1= ,x2= ,则x1+x2= ,x1x2= ; (2)若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,且a,b,c为常数)的两 个实数根,那么x1+x2,x1x2与系数a,b,c的关系是x1

31、+x2=-,x1x2= ; (3)如果关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有两个实数根x1,x2. 求m的取值范围; 若x1,x2满足等式x1x2-x1-x2+1=0,求m的值. 4 3 10 3 8 3 b a 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 解析解析(1)2x2+x-3=0, (2x+3)(x-1)=0, x1=-,x2=1, x1+x2=-,x1x2=-. 故答案为-;1;-;-. (2). (3)先化简方程(x-2)(x-3)=m为x2-5x+6-m=0, a=1,b=-5,c=6-m. =b2-4ac=(-5)2-41(6-m)=1+4m0,m-. x1+x2=5,x1x2=6-m,x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=6-m-5+1=0,m=2. 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 c a 1 4 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关系 2.(2014四川泸州中考)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2 +5=0的两个实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值; (2)已知等腰ABC的一边长为7,若x1、x2恰好是ABC另外两边的长, 求这个三角形的周长. 栏目索引栏目索引 5一元二次方程的根与系数的关