大学物理 运动学和动力学

1、1 牛顿牛顿 第二章第二章 运动定律和力学中的守恒律运动定律和力学中的守恒律 前言前言 2-1 2-1 牛顿运动定律牛顿运动定律 * *2-2 2-2 非惯性系非惯性系 惯性力惯性力 2-3 2-3 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律 2-4 2-4 功功 动能动能 势能机械能守恒定律势能机械能守恒定律 * *2-5 2-5 角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律 * *2-6 2-6 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 * *2-7 2-7 理想流体的伯努利方程理想流体的伯努利方程 2 2.1.1 2.1.1 惯性定律惯性定律 惯性参照系惯性参照系 在运动的描述中，各种参考系都是等价的。但实验表

2、明，在运动的描述中，各种参考系都是等价的。但实验表明， 动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性 参考系的问题。参考系的问题。 1、惯性定律、惯性定律 “孤立质点孤立质点”的模型：的模型： 不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。 例如，太空中一远离所有星体的飞船。例如，太空中一远离所有星体的飞船。 惯性定律：惯性定律： 一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。 3 B A 静止时静止时 a a AB 惯性和惯性运动惯性和惯

3、性运动 惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动。惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动。 问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？ 惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物 质固有的属性。质固有的属性。 惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。 、惯性系和非惯性系、惯性系和非惯性系 左图中，地面观左图中，地面观 察者和车中观察者察者和车中观察者 对于惯性定律运用对于惯性定律运用 的认知相同吗？的认知相同吗？ 4 什么

4、是惯性系：什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速 直线运动时，该参照系为惯性系。直线运动时，该参照系为惯性系。 如何确定惯性系如何确定惯性系只有通过力学实验。只有通过力学实验。 *1 地球是一个近似程度很好的惯性系地球是一个近似程度很好的惯性系 2 3 109 . 5 s m a 公 2 2 104 . 3 s m a 自但但 相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。 一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。 *2 太阳是一个精

5、度很高的惯性系太阳是一个精度很高的惯性系 太阳对银河系核心的加速度为太阳对银河系核心的加速度为 110 10 sma 日银 马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平 均加速度为零的参照系均加速度为零的参照系因此，惯性系只能无限逼近，而无因此，惯性系只能无限逼近，而无 最终的惯性系。最终的惯性系。 5 牛顿第二定律：牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得加速度的大物体受到外力作用时，它所获得加速度的大 小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度的方小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度的方 向与合外力向与合外力

6、F 的方向相同。的方向相同。 akmF 比例系数比例系数k与单位制有关，在国际单位制中与单位制有关，在国际单位制中k=1。 2.1.2 牛顿第二定律惯性质量引力质量牛顿第二定律惯性质量引力质量 其数学形式为其数学形式为 o 物体之间的四种基本相互作用；物体之间的四种基本相互作用；arxiv:1001.0785 电磁作用 引力作用 两种长程作用 弱相互作用 强相互作用 两种短程作用 1、关于力的概念、关于力的概念 o 力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形 变，也可使物体获得加速度。变，也可使物体获得加速度。 力的概念是物质的相互作用

7、在经典物理中的一种表述。力的概念是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。 6 3 o 力的叠加原理力的叠加原理 若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等 于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。 力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。 2、关于质量的概念关于质量的概念 3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定 量关系量关系 o质量是物体惯性大小的量度：质量是物体惯性大小的量

8、度： amF 惯 o引力质量与惯性质量的问题：引力质量与惯性质量的问题： 2 RmF 引引 aR GM m m m m 2 2 2 1 1 引 惯 引 惯调节引力常数，调节引力常数， 使使m引， 引，m惯惯的比值为 的比值为1。 惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。 7 2.1.3 2.1.3 牛顿第三定律牛顿第三定律 1o作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的，不是一对作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的，不是一对 平衡力。平衡力。 2o作用力与反作用力是同一性质的力。作用力与反作用力是同一性质的力。 3o若若A给给B一个作用

9、，则一个作用，则A受到的反作用只能是受到的反作用只能是B给予的。给予的。 * ：牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于：牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于 光速时才成立。光速时才成立。 8 2.1.4 牛顿定律的应用牛顿定律的应用 1 1、牛顿定律只适用于惯性系；、牛顿定律只适用于惯性系； yy xx maF maF 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 2 2 mR R v mF mR dt dv mF n 在平面自然坐标系在平面自然坐标系 2 2、牛顿定律只适用于质点模型；、牛顿定律只适用于质点模型； 3 3、具体应用时，要写成坐标分量式。、具体应用时，要写成坐标分量式。

10、9 若若F=常量常量 ， 则则 amF 若若F=F(v) ， 则则 dt vmd vF )( 若若F=F(r) ， 则则 2 2 )( dt rd mrF 、要根据力函数的形式选用不同的方程形式、要根据力函数的形式选用不同的方程形式 运用举例：运用举例： 10 例题1 阿特伍德机阿特伍德机 可求得加速度可求得加速度 与物体质量以及重力加速度的关系，用与物体质量以及重力加速度的关系，用 于验证牛顿定律。于验证牛顿定律。 解 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 111 12222 ,WTmaWTm a 因绳子不伸长，有因绳子不伸长，有 1212 ,TTTxxRl 恒量 求导，得求导，得 ，又因，又因 1

11、2xx aa 111222 ,Wm gWm g 得到得到 11 122221 , xxx m gTmam gTm am a 最后解出最后解出 12 12 12 1212 2 , xx mmm m aagTg mmmm 11 一个有趣的例子：谁先到达？一个有趣的例子：谁先到达？ 12 例例 2：质量为：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力的小球，在水中受的浮力为常力 F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f=kv (k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v 与时间与时间t的关系为的关系为 f F mg a

12、x )1 ( m kt e k Fmg v 式中式中t为从沉降开始计算的时间为从沉降开始计算的时间 证明：取坐标，作受力图。证明：取坐标，作受力图。 dt dv mmaFkvmg 根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有 13 初始条件：初始条件：t=0 时时 v=0 dt dv mmaFkvmg tv dt m)Fkvmg( dv 00 tv dt )Fkvmg( )Fkvmg(d k m 00 m kt )Fkvmgln( v 0 )1 ( m kt e k Fmg v 14 15 2.3.1 质点的动量定理质点的动量定理 、动量的引入、动量的引入 在牛顿力学中，物体的质量可视为常数在牛顿

13、力学中，物体的质量可视为常数 2 1 12 t t vmvmdtF dt vd mF 故故 )( vmddtF 即即 力的瞬时效应力的瞬时效应 力的积累效应力的积累效应 动能定理力的空间积累 动量定理力的时间积累 加速度：牛顿定律加速度：牛顿定律 dt vmd)( 16 ）式中）式中叫做动量，是物体运动量的量度。叫做动量，是物体运动量的量度。vm ）动量动量 是矢量，方向与是矢量，方向与同；同；vmP v 动量是相对量，与参照系的选择有关。动量是相对量，与参照系的选择有关。 、冲量的概念、冲量的概念 ） 恒力的冲量恒力的冲量 )( 12 ttFI ） 变力的冲量变力的冲量 dtFId 此时冲量

14、的方向不能由某瞬时力的方向来决定。此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。 指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间 传递着的物理量。传递着的物理量。 力在某一段时间间隔内的冲量力在某一段时间间隔内的冲量 t to dtFI 冲量的方向与力的方向相同。冲量的方向与力的方向相同。 作用力作用力F恒量，作用时间恒量，作用时间t1t2， ，力对质点的冲量， 力对质点的冲量， 17 12 2 1 vmvmdtFI t t 即即 其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。 3、质点的动量定理、质点

15、的动量定理 在直角坐标系中的分量式在直角坐标系中的分量式 zz t t zz yy t t yy xx t t xx mvmvdtFI mvmvdtFI mvmvdtFI 12 12 12 2 1 2 1 2 1 18 平均冲力概念平均冲力概念 ）峰值冲力的估算）峰值冲力的估算 f f 0 t t+t t ） 当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主 动外力（如重力等）可忽略不计。动外力（如重力等）可忽略不计。 、动量定理的应用、动量定理的应用 t F 1 ）当动量的变化是常量时，有）当动量的变化是常量时，有 2 1 12 1 t t

16、 dtF tt F 12 12 tt vmvm 19 2.3.2 质点系的动量定理质点系的动量定理 1、内力与外力、内力与外力 i质点所受的内力质点所受的内力 1 1 n j ji f i质点所受合力质点所受合力 1 1 n j jii fF 外 2、i质点动量定理质点动量定理 1 1 1 2 2 1 2 1 )( ii t t t t n j iijii vmvmdtfdtF 外 i ji f ij f j 外i F 20 3、质点系的动量定理（对、质点系的动量定理（对i求和）求和） 1 1 2 11 1 11 2 1 2 1 ii n i ii n i n i t t n j ji t t

17、 i n i vmvmdtfdtF 外 n i iii n i i t t n i n j ji t t n i i vmvmdtfdtF 1 12 11 1 11 2 1 2 1 外 因为内力成对出现因为内力成对出现 n i n j ji f 1 1 1 0 这说明内力对系统的总动量无贡献，这说明内力对系统的总动量无贡献， 但对每个质点动量的增减是有影响的。但对每个质点动量的增减是有影响的。 21 质点系合外力的冲量质点系合外力的冲量 = 质点系动量的增量。质点系动量的增量。 n i iii n i i t t n i i vmvmdtF 1 12 11 2 1 外 于是有于是有 12 1

18、2 1 PPdtF t t n i i 外 或或 22 2.3.3 质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律 若系统所受的合外力若系统所受的合外力0 1 i n i F 常矢量 ii i vm 系统总动量守恒系统总动量守恒 一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为 零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保 持不变。这就是动量守恒定律。持不变。这就是动量守恒定律。 注意：动量守恒式是矢量式注意：动量守恒式是矢量式 0 1 i n i F (1)(1)守恒条件是守恒条件是 0

19、)( 2 1 dtF t t i 而不是而不是 23 若若 ，但若某一方向的合外力零，但若某一方向的合外力零， 则该方向上则该方向上 动量守恒；动量守恒； 0 1 i n i F (3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；必须把系统内各量统一到同一惯性系中； (4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 运用动量守恒。运用动量守恒。 0 1 i n i F (2)(2)若若 表示系统与外界无动量交换，表示系统与外界无动量交换， 0 1 n i i F 表示系统与外界的动量交换为零。表示系统与外界的动量交换为零。0)( 2 1 1

20、 t t n i i dtF 则系统无论沿那个方向的动量都守恒；则系统无论沿那个方向的动量都守恒； 24 例4：一战车置于无摩擦的铁轨上，车身质量为一战车置于无摩擦的铁轨上，车身质量为m1 1，炮弹，炮弹 质量为质量为m2 2，炮筒与水平面夹，炮筒与水平面夹 角，炮弹以相对于炮口的速度角，炮弹以相对于炮口的速度 射出，求炮身后坐速率射出，求炮身后坐速率 。 2 1 解解 水平方向的动量可看作近似守恒，有水平方向的动量可看作近似守恒，有 2211 1 cos0mvvmv 解出解出 22 1 12 cos m v v mm 25 F F F r 2.4.1 功功 功率功率 1 1、恒力的功、恒力的

21、功 cosrFA rFA 即某力的功等于力与质点在该力作用下位移的标积。即某力的功等于力与质点在该力作用下位移的标积。 ( (中学）中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。 由矢量标积定义式，有由矢量标积定义式，有 2-2- 功功 动能动能 势能势能 26 2、 变力的功变力的功 ）力的元功）力的元功 rdFdA dsFcos X Y Z O b a L F F F rd 物体在变力的作用下从物体在变力的作用下从 a 运动到运动到 b b dsF 27 2）变力在一段有限位移上的功）变力在一段有限位移上的功 b a rdFA 功的直角坐标系

22、表示式功的直角坐标系表示式 kFjFiFF zyx kdzjdyidxrd dzFdyFdxFrdFA b a y y z z zy x x x 2 1 2 1 2 1 因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。 zyx AAA 28 一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关 ji f ij f i r j r 0 jijijiijji rdfrdfdAdA )( jiji rrdf ijji ff 所以一般情况下所以一般情况下 ijji dAdA )( jiji rdrdf ijji rdf 式

23、中式中drij为相对位移为相对位移 ij r 29 、功率、功率 单位时间内所作的功称为功率单位时间内所作的功称为功率 dt dA N 功率的单位：在功率的单位：在SI制中为瓦特制中为瓦特（w） dt rd F vF 30 重力的功重力的功 力函数力函数 gm 元位移元位移 rd rdgmA 2 1 cos 2 1 rdmg dyrdcos 12 2 1 mgymgymgdyA y y 4 4、保守力的功、保守力的功 1 2 y2 y1 rd r / r gm dy 31 弹簧弹性力的功弹簧弹性力的功 力函数力函数 Fkxi 元位移元位移 drdxi 2 1 rdFA o X F x F o

24、F 2 x 1 x ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 2 kxkx 2 1 x x idxikx 32 万有引力的功万有引力的功 2 1 2 r r dr r Mm GA drrdcos 由图知由图知 dr r mM GdA 2 元位移元位移 rd FG Mm r r 2 0 力函数力函数 M / r 1 r 2 r F 0 r r rd m dr rdr r Mm GdA 0 2 cos 0 rdr r Mm G 12 r Mm G r Mm G 33 1) 保守力保守力 rdFrdF bacacb / labcacb rdFrdFrdF / 0 / lbacacb rdFrdFrdF 如

25、重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等 均为保守力。均为保守力。 l rdF0 即保守力沿任一闭合路径的功为零。即保守力沿任一闭合路径的功为零。 a b c c/ 如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该 力谓之保守力。力谓之保守力。 34 f L v m S+ 保守力的共同特征：保守力的共同特征： a、 力函数或为常数，或者仅为位置的函数；力函数或为常数，或者仅为位置的函数； b、 保守力的功总是保守力的功总是“原函数原函数”增量的负值。增量的负值。 2) 非保守力非保守力

26、 若力的功值与具体路径有关若力的功值与具体路径有关,则为非保守力，则为非保守力， 如摩擦力、爆炸力等。如摩擦力、爆炸力等。 0 mgf L rdFA L mgLmgds 0 dsrd rd 如在一水平面上如在一水平面上 35 2.4.2 动能定理动能定理 dtvrd dt vd mF 两边点积将牛顿定律 dtv dt vd mrdF vdvmrdF vvdvd 2 22 2 1 2 1 vdvdvdv ) 2 1 ( 2 mvdrdF 于是有 1、动能、动能 是一个独立的物理量是一个独立的物理量， 与力在空间上的积累效应对应。与力在空间上的积累效应对应。 这说明这说明 2 2 1 mv vdv

27、vvd vdv 2 又，又，m为常数为常数 36 2 2 1 mvEk令 是质点作机械运动时所具有的能量的量度，称之为动能；是质点作机械运动时所具有的能量的量度，称之为动能； 是状态量，相对量，与参照系的选取有关。是状态量，相对量，与参照系的选取有关。 2、动能定理、动能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 mvmvrdF ) 2 1 ( 2 mvdrdF 或或 即，作用于物体上合外力的功等于物体动能的增量。即，作用于物体上合外力的功等于物体动能的增量。 合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动 能的有限变化。能的有限变化。

28、37 动能与动量的区别动能与动量的区别 入动能力的空间积累效应引 入动量力的时间积累效应引 引入引入 。 ， 运动形式转移的运动量度量了机械运动向其他 动量的转移度量了机械运动内部运 2 2 1 _ mv vm 两种度量作用两种度量作用 38 例例2.10一质量为一质量为10 kg的物体沿的物体沿x轴无摩擦地滑动，轴无摩擦地滑动，t0时物体静止于时物体静止于 原点，原点，(1)若物体在力若物体在力F34t N的作用下运动了的作用下运动了3 s，它的速度增为多，它的速度增为多 大？大？(2)物体在力物体在力F34x N的作用下移动了的作用下移动了3 m，它的速度增为多大？，它的速度增为多大？ 解

29、(1)由动量定理 ，得 0 t Fdtmv 3 00 34 2.7/ 10 tF t vdtdtm s m (2)由动能定理 ，得 2 0 1 2 x Fdxmv 3 00 22(34 ) 2.3/ 10 x Fx vdxdxm s m 39 2.4.3 势能势能 描述机械运动的状态参量是描述机械运动的状态参量是 rv和 对应于：对应于： 已引入动能v 将引入势能r 弹簧弹性力的功弹簧弹性力的功 22 0 11 () 22 Akxkx 弹 万有引力的功万有引力的功 0 ()() MmGMm AG rr 引 重力的功重力的功 0 Amgymgy 重 1、势函数、势函数 为此我们回顾一下保守力的功

30、为此我们回顾一下保守力的功 40 由上所列由上所列保守力保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、 终态的终态的相对位置相对位置，故可引入一个由，故可引入一个由相对位置决定相对位置决定的函数；的函数； 由定积分转换成不定积分，则是由定积分转换成不定积分，则是 crdFE P 保 式中式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。 又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定 具有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相具有能量的性质

31、；而这个具有能量性质的函数又是由物体相 对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用 表示。 表示。 P r r ErdF 2 1 保 rdFdEP 或 则有：则有： 41 2、已知保守力求势能函数、已知保守力求势能函数 弹性势能：弹性势能： 保守力的力函数保守力的力函数 ikxF 保 idxrd ckxcidxikxE p 2 2 1 若取坐标原点，即弹簧原长处，为若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点势能零点，则，则 c=0 2 2 1 kxEp 弹 于是于是 重力势能重力势能 保守力的力函数保守力的力函数 gmF 保 crdmg

32、crdgmEp cos mgdycmgyc 若取坐标原点为若取坐标原点为势能零点势能零点，则，则c=0 p Emgy 重 42 引力势能引力势能 保守力的力函数保守力的力函数 0 2 r r Mm GF 保 c r Mm Gcdr r Mm Gcrdr r Mm GE p 2 0 2 若取无穷远处为若取无穷远处为引力引力势能零点势能零点，则，则 r Mm GE p 引 势能函数的一般特点势能函数的一般特点 rij 1) 对应于每一种保守力都可引进一种相关的势能；对应于每一种保守力都可引进一种相关的势能； 2) 势能大小是相对量，与所选取的势能零点有关；势能大小是相对量，与所选取的势能零点有关；

33、 P r r ErdF 2 1 保 3) 3) 一对保守力的功等于相关势能增量的负值；一对保守力的功等于相关势能增量的负值； 4) 势能是彼此以保守力作用的系统所共有。势能是彼此以保守力作用的系统所共有。 43 2.4.4 质点系的动能定理与质点系的动能定理与 功能原理功能原理 1、质点系的动能定理、质点系的动能定理 质点系的内力和外力质点系的内力和外力 内非 内保 内非保守力 内保守力 内力 外力 i A A i A i外 对于单个质点对于单个质点 12ikiki EEA 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 iiiiiji j ii vmvmrdfrdF 外 i ji f ij f j

34、外i F 44 对对 i 求和求和质点系的动能定理质点系的动能定理 2 1 1 2 2 11 1 1 2 1 1 2 1 2 1 ii n i ii n i n i n j ijiii n i vmvmrdfrdF 外 12kk EEAAA 内非内保外 质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内部保守力质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内部保守力 的功、非保守力的功三者之和。的功、非保守力的功三者之和。 1 1 2 1 ik n i ik n i i i i i i i EEAAA 内非内保外 45 2 1 i i Pii ErdF 内保 )( 12ppi EEA 内保 若引入若引入 ( (

35、机械能）机械能） 则可得则可得 pk EEE 12 EEAA 内非外 系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。 2、功能原理、功能原理 由于内力总是成对出现的，而对每一对由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力内部保守力均有均有 )()( 1212ppkk EEEEAA 内非外 46 ）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出)； 3 )具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点；具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点； 注意的问题：注意的问题： 12kk EEAA 内

36、保内非外 12 EEAA 内非外 ） 功能原理是属于质点系的规律（因涉及功能原理是属于质点系的规律（因涉及P），与质点），与质点 系的动能定理不同；系的动能定理不同； 质点系动能定理质点系动能定理 质点系功能原理质点系功能原理 4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯 性系中。性系中。 47 2.4.5 机械能守恒定律机械能守恒定律 由功能原理可知由功能原理可知 机械能守恒的条件：机械能守恒的条件： 0 外 A 系统与外界无机械能的交换；系统与外界无机械能的交换； 系统内部无机械能与其他能量形式的转换。系统内部无机械能与其他

37、能量形式的转换。 0 内非 A 当系统机械能守恒时，应有当系统机械能守恒时，应有 2211pkpk EEEE pk EE 即系统内，即系统内，动能的增量势能增量的负值动能的增量势能增量的负值 若若 和和 , ,则系统的机械能保持不变。则系统的机械能保持不变。 0 内非 A0 外 A 12 EEAA 内非外 48 2.4.6 能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律 在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换，在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换， 但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。 49 解由题知，虽然力的大小不变，但其方

38、向在不断变化，故仍然是变力 做功. 如题图所示，以岸边为坐标原点，向左为x轴正向，则力F在坐标为x处 的任一小段元位移dx上所做元功为 22 () x dA F dxFcosdxFdx xH 即 例例2.8在离水面高为在离水面高为H的岸上，有人用大小不变的力的岸上，有人用大小不变的力F拉绳使船靠岸，拉绳使船靠岸， 如图如图2.21所示，求船从离岸所示，求船从离岸 处移到处移到 处的过程中，力处的过程中，力F对船所做的功对船所做的功. 1 x 2 x 2 1 x 2222 12 22x xdx ( HxHx) xH AFF 由于 ，所以F做正功. 12 xx 50 解如图2.26所示，设子弹对沙

39、箱 作用力为f，沙箱位移为s；沙箱对 子弹作用力为f，子弹的位移为sl ，ff. Af(sl)fsf l0 说明说明沙箱对子弹做功f(sl)与子弹对沙箱做的功fsf s两者不相 等；而这一对内力做功之和不为零，它等于子弹与沙箱组成的系统的 机械能的损失.损失的机械能转化为热能. 则这一对内力的功 例例2.13在光滑的水平台面上放有质量为在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量的沙箱，一颗从左方飞来质量 为为m的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离l后停止后停止.在这段时间内在这段时间内 沙箱向右运动的距离为沙箱向右运动的距离为s，此后沙

40、箱带着弹丸以匀速运动，此后沙箱带着弹丸以匀速运动.求此过程中内力求此过程中内力 所做的功所做的功.(假定子弹所受阻力为一恒力假定子弹所受阻力为一恒力) 51 例例2.15试分析航天器的三种宇宙速度试分析航天器的三种宇宙速度. 2 1 2 mMv Gm rr 地 2 10 MR vGg rr 地 10 7.9/vRgkm s 解 (1)第一宇宙速度.航天器绕地球运动所需的最小速度称为第一宇宙速度. 以地心为原点，航天器在距地心为r处绕地球作圆周运动的速度为 ， 则有 1 v 式中 为地球表面处的重力加速度.若rR时，则 0 2 M gG R 地 这就是第一宇宙速度. 52 2 2 1 0 2 m

41、M mvG R 地 201 2211.2/vRgvkm s 这就是第二宇宙速度. (2)第二宇宙速度.在地球表面处的航天器要脱离地球引力范围而必须具 有的最小速度，称为第二宇宙速度.以地球和航天器为一系统，航天器 在地球表面处的引力势能为 ，动能为 ，航天器能脱离地球时， 地球的引力可忽略不计，系统势能为零，动能的最小量为零，由机械能 守恒定律，有 mM G R 地 2 2 1 2 mv 53 54 12 II I 55 )( 10 00 21 12 evv vv e :1e :1e :0e 21 vv 56 1e 1 00 21 12 vv vv 00 22111122 vmvmvmvm 2

42、 2 2 1 2 11 2 22 0 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 vmvmvmvm 21 0 2 0 1 vvvv 1 00 21 12 vv vv 57 0e 21 202101 21202101 mm vmvm vvmmvmvm 2 2 2 1 2 21 2010 2 1 2 1 2 1 vmvmvmmE 58 10 e 22112211 00 vmvmvmvm 00 21 12 vv vv e 000 000 21 21 1 22 21 21 2 11 1 1 vve mm m vv vve mm m vv 59 00 00 1 1221 122 1 1221 122 x

43、xxx yyyy mvm vmvm v mvm vmvm v 60 61 62 63 64 第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5.1 刚体的运动学刚体的运动学 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 5.5* 转动中的功和能转动中的功和能 5.6 *对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒 5.7* 进动进动 65 5.1 刚体和刚体的基本运动描述刚体和刚体的基本运动描述 刚体是这样的一种特殊质点系统，它在外力作用下，系统刚体是这样的一种特殊质点系统，它在外力作用下，系统 内任意两质点间的距离始

44、终保持不变内任意两质点间的距离始终保持不变 大小、形状不变大小、形状不变 前面：前面：质点质点（理想模型，（理想模型，无大小无大小） 现考虑物体现考虑物体大小大小，但不考虑，但不考虑受力形变受力形变-刚体刚体（理想化的模型）（理想化的模型） ； 二、刚体的运动二、刚体的运动 一、刚体一、刚体 刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动或结合。平动、转动或结合。 平动（平动（translationtranslation）：）：各个点的运动都一致，位移、速度、加速度等。各个点的运动都一致，位移、速度、加速度等。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的 方向不变，这种运动叫

45、平动。 66 刚体转动（刚体转动（rotationrotation）：刚体运动时，如果刚体的各个质刚体运动时，如果刚体的各个质 点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线 就叫做就叫做转轴转轴。 平动平动 d 转动转动 复杂运动复杂运动= 平动平动+ 转动转动 A A B B B A 67 （转轴固定）（转轴固定） 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动， 且在相同时间内转过相同的角度。且在相同时间内转过相同的角度。 z 1 o 2 o A A B B 1 r 2 r

46、特点：特点： 质点在垂直转轴的平面内作圆周运动；质点在垂直转轴的平面内作圆周运动； 角位移，角速度和角加速度均相同；角位移，角速度和角加速度均相同； 但质点的线速度，线加速度但质点的线速度，线加速度？ 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度 td d 2 2 d d dt d t rv r r v an 2 2 rat 角量与线量的关系：角量与线量的关系： S = r 69 特例特例：匀加速转动，即角加速度不变 td d 假定t=0时刻，角速度为0，角位置 为0；t时刻分别为、 t dtd 0 0 t 0 类似地， 2 0 2 1 tt 2 2 0 2 与质点做匀加速直线运动公式比较！与

47、质点做匀加速直线运动公式比较！ 。O 70 沿沿Z Z 轴分量为轴分量为 对对Z Z 轴力矩轴力矩 Z M M F sinrFM FrM 对对O O 点的力矩：点的力矩：F 一一. . 力矩力矩 5.2 力矩力矩 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 r F M Z r A F M Z M O 转动 平面 71 力不在转动平面内力不在转动平面内 1 1）在定轴转动问题中，所指的力）在定轴转动问题中，所指的力 矩是指力在转动平面内的分力对矩是指力在转动平面内的分力对 转轴的力矩。转轴的力矩。 FrM 只能引起轴的只能引起轴的 变形变形, , 对转动无贡献对转动无贡献( (Mz=0Mz=0) ) 。

48、1 Fr )( 21 FFr 21 FrFr 讨论：讨论： 转动 平面 1 F F 2 F r r 2 F M Z Z 72 是转轴到力作是转轴到力作 用线的距离，称为力臂用线的距离，称为力臂。 sinrd dFrFM Z22 sin2 2） 3 3） 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零， 1 F 在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。 4 4） 在转轴方向确定后，力对在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用转轴的力矩方向可用+ +、- -号表示。号表示。 r 转动 平面 1 F F 2 F r d d 73 二二. . 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 应用牛顿第二定律，可得：应用牛

49、顿第二定律，可得： 对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元 i m - -外力外力 i F - -内力内力 i f iiii m afF 沿切向分量式为：沿切向分量式为： iiiiiiii rmamfFsinsin O O i F i f i i i m i r O O 74 用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端： i r 2 sinsin iiiiiiii rmrfrF 设刚体由设刚体由N N 个点构成，对每个质点可写出上述个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程，将类似方程，将N N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得： N i ii N i iii N i iii rmrfrF 1

50、 2 11 )(sinsin 根据内力性质根据内力性质( (每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共 线线, ,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零) )，得：，得： 0sin 1 N i iii rf 75 N i ii N i iii rmrF 1 2 1 )(sin 得到：得到： 上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M M 表表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以体转动惯量，以J J 表示。于是得到表示。于是得到 t JJM d d 刚体定轴刚体定轴 转动定律转动定律 刚体定轴刚体定轴 转动定律转动定律 76 讨论：讨论： （3 3）J J 和质量分布、转轴有关和质量分布、转轴有关 t JJM d d J（1 1） 一定，一定，则则 ，M 是改变刚体转动状态的原因。是改变刚体转动状态的原因。 M 惯性大小的量度；惯性大小的量度； 转动惯量是转动转动惯量是转动（2 2） M M 一定，一定，J J M = 0，则，则 = 0， = 常量常量，刚体保持转动状态不变。刚体保持转动状态不变。 （4 4） M = 常量常量，则，则 = 常量常量，刚体