数电电气ch0-ch1

1、电工电子基地电工电子基地 数字逻辑与系统（B） 电气工程学院电气工程学院 参考书目参考书目 1 侯建军：数字逻辑与系统侯建军：数字逻辑与系统 2 张晓冬：数字逻辑与系统补充教材张晓冬：数字逻辑与系统补充教材 3 康华光：电子技术基础（数字部分）康华光：电子技术基础（数字部分） 4 闫闫 石：数字电子技术基础石：数字电子技术基础 5 侯建军：数字逻辑与系统解题辅导侯建军：数字逻辑与系统解题辅导 CH0CH0 数字系统概述数字系统概述 CH1CH1 数字逻辑基础数字逻辑基础 1.1 数制与编码数制与编码 进位计数制进位计数制 数制转换数制转换 数值数据的表示数值数据的表示 常用编码常用编码 1.2

2、 逻辑函数与逻辑图逻辑函数与逻辑图 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则 1.3 逻辑函数的表达形式逻辑函数的表达形式 函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 1.4 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 代数法化简函数代数法化简函数 图解法化简函数图解法化简函数 逻辑函数简化中的几个实际问题逻辑函数简化中的几个实际问题 进位计数制进位计数制 1、十进制、十进制 =3 102 + 3 101+ 3 100+ 3 10-1 +3 10-2 权权 权权 权权 权权 权

3、权 特点：特点：1)基数基数10，逢十进一逢十进一，即，即9+1=10 3)不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值10i。 4)任意一个十进制数，都可按其权位任意一个十进制数，都可按其权位 展成多项式的形式展成多项式的形式 (333.33)10 位置计数法位置计数法 按权展开式按权展开式 (N)10=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)10 1n mi i 10 i K 2)有有0-9十个数字符号和小数点，数码十个数字符号和小数点，数码K i从从0-9 =Kn-1 10n-1+K1101+K0100+K-1 10-1+K-m 10-m 返返 回回 数基数基 表示相对小数

4、点表示相对小数点 的位置的位置 返返 回回 二进制二进制 任意进制任意进制 1）基数）基数R，逢逢R进一进一， 3）不同数位上的数具有不同的权值）不同数位上的数具有不同的权值Ri。 4） 任意一个任意一个R进制数，都可按其权位进制数，都可按其权位 展成多项式的形式展成多项式的形式 (N)R=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)2 =Kn-1 Rn-1+K1R1+K0R0+K-1 R-1+K-m R-m 1n mi i R i K 2) 有有R两个数字符号和小数点两个数字符号和小数点，数码，数码K i从从0-R-1 1）基数）基数2，逢二进一逢二进一，即，即1+1=10 3）不同数位上的数

5、具有不同的权值）不同数位上的数具有不同的权值2i。 4）任意一个二进制数，都可按其权位）任意一个二进制数，都可按其权位 展成多项式的形式展成多项式的形式 (N)2=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)2 =Kn-1 2n-1+K121+K020+K-1 2-1+K-m 2-m 1n mi i 2 i K 2)有有0-1两个数字符号和小数点两个数字符号和小数点，数码，数码K i从从0-1 十 二八 十六 十 二八 十六 00000 0081000 10 8 10001 1191001 11 9 20010 2210 1010 12 A 30011 3311 1011 13 B 40100

6、4412 1100 14 C 50101 5513 1101 15 D 60110 6614 1110 16 E 70111 7715 1111 17 F 常用数制对照表常用数制对照表 返返 回回 数数 制制 转转 换换 十进制十进制非十进制非十进制 非十进制非十进制十进制十进制 二进制二进制八、十六进制八、十六进制 八、十六进制八、十六进制二进制二进制 十进制与非十进制间的转换十进制与非十进制间的转换 非十进制间的转换非十进制间的转换 返返 回回 整数部分的转换整数部分的转换 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 除除2 2取余法取余法：用目标数制的：用目标数制的基数基数（R=2R=2）去除

7、）去除十进十进 制数制数，第一次第一次相除所得余数为目的数的相除所得余数为目的数的最低位最低位 K K0 0，将所得，将所得商商再除以再除以基数基数，反复执行上述过程，反复执行上述过程， 直到商为直到商为“0”0”，所得余数为目的数的所得余数为目的数的最高位最高位K Kn-1 n-1。 。 例：（例：（81）10=（？）（？）2 得：（得：（8181）10 10 = =（10100011010001）2 2 81402010520 2 2 2 2 2 2 2 1 K0 0 K1 0 K2 0 K3 1 K4 0 K5 1 K6 1 返返 回回 小数部分的转换小数部分的转换 十进制转换成二进制十

8、进制转换成二进制 乘乘2 2取整法取整法：小数小数乘以目标数制的乘以目标数制的基数基数（R=2R=2），），第第 一次一次相乘结果的相乘结果的整数整数部分为目的数的部分为目的数的最高位最高位K K-1 -1，将其 ，将其 小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去， 直到小数部分为直到小数部分为“0”0”，或满足要求的或满足要求的精度精度为止。为止。 例：例： （0.650.65）10 10 =( ? ) =( ? )2 2 要求精度为小数五位。要求精度为小数五位。 0.65 2 K-1 1 0.3 2 K-2 0 0.6 2 K-3 1 0

9、.2 2 K-4 0 0.4 2 K-5 0 0.8 由此得：由此得：(0.65)10=(0.10100)2 综合得：综合得：(81.65)10=(1010001.10100)2 返返 回回 如如2-5， ，只要求到小 只要求到小 数点后第五位数点后第五位 十进制十进制二进制二进制八进制、十六进制八进制、十六进制 非十进制转成十进制非十进制转成十进制 方法方法： 将相应进制的数按权展成多将相应进制的数按权展成多 项式，按十进制求和项式，按十进制求和 (F8C.B)(F8C.B)16 16 = = F F16162 2+8+816161 1+C+C16160 0+B+B1616-1 -1 = =

10、 3840+128+12+0.68753840+128+12+0.6875 =3980.6875=3980.6875 例： 返返 回回 返返 回回 非十进制间的转换非十进制间的转换 二进制与八进制间的转换二进制与八进制间的转换 从从小数点小数点开始，将二进制数的整数和小数部分开始，将二进制数的整数和小数部分每每 三位三位分为分为一组一组，不足不足三位的分别在整数的最高位三位的分别在整数的最高位 前和小数的最低位后前和小数的最低位后加加“0”0”补足，然后每组用补足，然后每组用 等值的八进制码替代，即得目的数等值的八进制码替代，即得目的数。 例例8 8： 11010111.0100111 B =

11、 ? Q11010111.0100111 B = ? Q 11010111.0100111 B = 327.234 Q11010111.0100111 B = 327.234 Q 11010111.0100111 小数点为界小数点为界 000 7 23 234 返返 回回 非十进制间的转换非十进制间的转换 二进制与十六进制间的转换二进制与十六进制间的转换 从从小数点小数点开始，将二进制数的整数和小数部分开始，将二进制数的整数和小数部分每每 四位四位分为分为一组一组，不足不足四位的分别在整数的最高位四位的分别在整数的最高位 前和小数的最低位后前和小数的最低位后加加“0”0”补足，然后每组用补足，

12、然后每组用 等值的十六进制码替代，即得目的数等值的十六进制码替代，即得目的数。 例例9 9： 111011.10101 B = ? H111011.10101 B = ? H 111011.10101 B = 3B.A8 H111011.10101 B = 3B.A8 H 111011.10101 小数点为界小数点为界 00000 B3A8 X X1 1 = = + + 1101101 1101101 X X2 2 = = - - 11011011101101 数值数据的表示数值数据的表示 一、一、真值真值与与机器数机器数 数符（数符（+/-+/-）+ +尾数尾数 （数值的绝对值（数值的绝对值

13、） 符号（符号（+/-+/-）数码化）数码化 最高位：最高位： “0”“0”表示表示 “+”+” “1”“1”表示表示 “-”-” 二、二、带符号二进制数的代码表示带符号二进制数的代码表示 1. 1. 原码原码XX原： 原： 原码原码 反码反码 补码补码 变形补码变形补码 尾数部分的表示形式：尾数部分的表示形式： 最高位：最高位： “0”“0”表示表示“+”+” “1”“1”表示表示“-”-” 符号位符号位+尾数部分（真值）尾数部分（真值） 原码的性质：原码的性质： “0”“0”有两种表示形式有两种表示形式 +00+00 0 0原 原 = 000 = 000 0 0 而而 -00-00 0 0

14、原 原 = 100 = 100 0 0 数值范围：数值范围： + +（2 2n 1 n 1-1 -1）XX原 原- -（2 2n-1 n-1-1 -1） 如如n = 8n = 8，原码范围，原码范围01111111011111111111111111111111，数值范围，数值范围 为为+127+127-127-127 符号位后的尾数即为真值的数值符号位后的尾数即为真值的数值 返返 回回 数值数据的表示数值数据的表示 2. 2. 反码反码XX反： 反： 符号位符号位+尾数部分尾数部分 反码的性质反码的性质 正数：尾数部分与真值形式相同正数：尾数部分与真值形式相同 负数：尾数为真值数值部分按位取

15、反负数：尾数为真值数值部分按位取反 X X1 1 = +4 = +4 X X2 2 = -4 = -4 XX1 1 反 反 = = 0 000001000000100 XX2 2 反 反 = = 1 111110111111011 3、补码补码XX补： 补：符号位符号位+尾数部分尾数部分 正数：尾数部分与真值同即正数：尾数部分与真值同即XX补 补 = X = X正 正 负数：负数：尾数为真值数值部分按位取反加尾数为真值数值部分按位取反加1 1 即即XX补 补 = X = X反 反 + + 1 1 “0”“0”有两种表示形式有两种表示形式 +00+00 0 0反 反 = 000 = 000 0

16、0 而而 -00-00 0 0反 反 = 111 = 111 1 1 数值范围：数值范围： + +（2 2n 1 n 1-1 -1）XX反 反- -（2 2n-1 n-1-1 -1） 如如n = 8n = 8，反码范围，反码范围01111111011111111000000010000000，数值范围，数值范围 为为+127+127-127-127 符号位后的尾数是否为真值取决于符号位符号位后的尾数是否为真值取决于符号位 返返 回回 补码的性质：补码的性质： 数值数据的表示数值数据的表示 双符号位：正数双符号位：正数- “00”- “00” 负数负数- “11”- “11” 符号位符号位+ 尾

17、数尾数 应用：应用： 两个符号位（两个符号位（S S1 1S S0 0）都作为数值一起参）都作为数值一起参 与运算，运算结果的符号如两个符号位与运算，运算结果的符号如两个符号位 相同，结果正确；不同则溢出相同，结果正确；不同则溢出。 判断是否有溢出判断是否有溢出 方法：方法： 4 4、变形补码、变形补码XX变补： 变补： 例例： 已知已知X X1 1 = -1110 B = -1110 B ， X X2 2 = +0110 B = +0110 B ，求，求 X X1 1+ + X X2 2 = = ？ XX1 1 补 补 = 1 0010 -1110B = 1 0010 -1110B + +）

18、 XX2 2 补 补 = 0 0110 +1000B = 0 0110 +1000B X X1 1+X+X2 2 补 补 = 1 1000 -1000B = 1 1000 -1000B 故得故得 XX1 1+X+X2 2 补 补 = 11000 = 11000 即即X X1 1+ X+ X2 2 = -1000 B = -1000 B 例：已知例：已知X X1 1 = 48 = 48，X X2 2 = 31 = 31 求求X X1 1 + X + X2 2 = = ？ X X1 1 = +48 X = +48 X1 1 变补 变补= 00 110000 = 00 110000 + +）X X2

19、 2 = +31 + = +31 +）XX2 2 变补 变补= 00 011111 = 00 011111 X X1 1 + X + X2 2 = +79 X = +79 X1 1+ X+ X2 2 变补 变补 = 01 001111 = 01 001111 “0”“0”有一种表示形式有一种表示形式 +00+00 0 0补 补 = 000 = 000 0 0 而而 -00-00 0 0补 补 = 1 000 = 1 000 0 0 数值范围：数值范围： +(2+(2n-1 n-1-1 -1）XX补 补-2 -2n-1 n-1 如如n = 8n = 8，补码范围，补码范围011111110111

20、11111000000010000000， 数值范围为数值范围为+127+127-128-128 符号位后的尾数并不表示真值大小符号位后的尾数并不表示真值大小 用补码进行运算时，两数补码之和等于两用补码进行运算时，两数补码之和等于两 数和之补码，即数和之补码，即 XX1 1 补 补+X +X2 2 补 补 = X = X1 1+X+X2 2 补 补（ （mod 2mod 2n n） 常用编码常用编码 自然二进制码自然二进制码 格雷码格雷码 二二十进制码十进制码 奇偶检验码奇偶检验码 ASCII ASCII码等码等。 常用的常用的编码编码： 用一组二进制码按一定规则排列起用一组二进制码按一定规则

21、排列起 来以表示数字、符号等特定信息。来以表示数字、符号等特定信息。 （一）自然二进制码及格雷码（一）自然二进制码及格雷码 自然二进制码自然二进制码 格雷码格雷码 2.2.编码还具有反射性，因此又可称其编码还具有反射性，因此又可称其 为反射码。为反射码。 1.1.任意两组任意两组相邻码相邻码之间只有之间只有一位一位不同。不同。 注：首尾两个数码即最小数注：首尾两个数码即最小数00000000和最大和最大 数数10001000之间也符合此特点，故它可称为之间也符合此特点，故它可称为 循环码循环码 返返 回回 按自然数顺序按自然数顺序 排列的二进制排列的二进制 码码 自然二进制码自然二进制码 格雷

22、码格雷码 二二十进制码十进制码 奇偶检验码奇偶检验码 ASCII ASCII码等码等。 常用的常用的编码编码： （二）（二）二二十进制十进制BCDBCD码码 有权码有权码 用四位二进制代码对用四位二进制代码对 十进制数的各个数码十进制数的各个数码 进行编码进行编码。 有权码表示十进制数：有权码表示十进制数： 1 1 8421BCD8421BCD（NBCDNBCD）码）码 2 7 6 . 82 7 6 . 8 010 0111 0110 1000010 0111 0110 1000 例：（例：（276.8276.8）10 10 = =（ （ ？ ）NBCD NBCD （276.8276.8）10

23、 10 = =（ （00100111011010000010011101101000）NBCD NBCD 四位二进制数中的每一四位二进制数中的每一 位都对应有固定的权位都对应有固定的权 常用编码常用编码 返返 回回 自然二进制码自然二进制码 格雷码格雷码 二二十进制码十进制码 奇偶检验码奇偶检验码 ASCII ASCII码等码等。 常用的常用的编码编码： 无权码无权码 2.其它有权码其它有权码 24212421、54215421、52115211 1 1 .余余3 3码码 余余3 3码中有效的十组代码为码中有效的十组代码为 0011001111001100代表十进制数代表十进制数0-0- -9

24、-9 2 2 .其它无权码其它无权码 字符编码字符编码 ASCIIASCII码：七位代码表示码：七位代码表示128128个字符个字符 9696个为图形字符个为图形字符 控制字符控制字符3232个个。 常用编码常用编码 返返 回回 1.2 逻辑逻辑函数与逻辑图函数与逻辑图 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 一、逻辑变量一、逻辑变量 取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代不代 表表数值大小数值大小，仅表示

25、相互矛盾、相互对立，仅表示相互矛盾、相互对立 的的两种逻辑状态两种逻辑状态 二、基本逻辑运算二、基本逻辑运算 与运算与运算 或运算或运算 非运算非运算返返 回回 逻辑表达式逻辑表达式 F= A F= A B = ABB = AB 与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑关系表 与逻辑与逻辑 开关开关A 开关开关B灯灯F 断 断 断 合 合 断 合 合 灭 灭 灭 亮 ABF 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 A A B B F F 逻辑符号逻辑符号 只有决定某一事件的只有决定某一事件的所有条件所有条件全部具备，全部具备， 这一事件才能发生这一事件才能发生 与逻辑运算符，也有用与

26、逻辑运算符，也有用“ ”、 “”、“”、“ ;反之，则用反之，则用反变量反变量表示表示 ABCABC、ABCABC、ABCABC F= ABC+ABC+ABCABC+ABC+ABC返返 回回 逻辑图逻辑图 F= ABC+ABC+ABCABC+ABC+ABC 乘积项乘积项用用与门与门实现，实现， 和项和项用用或门或门实现实现 波形图波形图 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 返返 回回 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则 公理、定律与常用公式公理、定律与常用公式 公理公理 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律 0-1律律 重叠律重叠律 互补律互补律 还原律还原律 反

27、演律反演律 0 0 = 0 0 1 =1 0 =0 1 1 = 1 0 + 0 = 0 0 + 1 =1 + 0 =1 1 + 1 = 1 A B = B A A + B = B + A (A B ) C = A (B C) (A+ B )+ C = A+ (B+ C) 自等律自等律 A ( B + C ) = A B+ A C A + B C =( A + B) (A+ C ) A 0=0 A+ 1=1 A 1=A A+ 0=A A A=0 A+A=1 A A=A A+ A=A A B= A+B A+ B=AB A= A 吸收律吸收律 消因律消因律 包含律包含律 合并律合并律 A B+ A

28、B =A (A+ B) (A+ B) =A A+A B=A+B A (A+B)=A A+ A B =A+B A (A+ B) =A B AB+ A C +BC= AB+ A C (A+B)( A+ C )(B+C)= (A+B)(A +C) 证明方法证明方法 利用真值表利用真值表 例：用真值表证明反演律例：用真值表证明反演律 A BA BAB A+ BA BA+B 00 01 10 11 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 A B= A+B A+ B=AB 返返 回回 BCCAAB BCAABCCAAB B)C(1AC)AB(1 CAAB 等式右边等式右边 由此可以

29、看出：与或表达式中，两个乘积项分别包由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包 含含同一因子同一因子的的原原变量和变量和反反变量，而两项的剩余因子变量，而两项的剩余因子 包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的 CAABBCDECAAB公式可推广：公式可推广： 例：证明包含律例：证明包含律CAABBCCAAB成立成立 BC)AA(CAAB 返返 回回利用基本定律利用基本定律 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则 三个基本运算规则三个基本运算规则 代入规则代入规则： 任何一个含有某变量的等式，如果任何一个含有某变量的等式，如果等等 式式中所有出现

30、此中所有出现此变量变量的位置均代之以的位置均代之以 一个一个逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立，则此等式依然成立 例：例： A B= A+B BCBC替代替代B B 得得 ABCBCACBA 由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量： n 21 n 21 n 21 n 21 AAAAAA AAAA A A 利用反演律 基本运算规则基本运算规则 反演规则反演规则： 对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，做如下处理：，做如下处理： 若把式中的运算符若把式中的运算符“. .”换成换成“+ +”, “”, “+ +” ” 换成换成“. .”;”; 常量常量“0 0”换

31、成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”； 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量 那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F F的的反函数式反函数式。 注：注： 保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号先与后或，必要时适当地加入括号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变将非号去掉，而非号下的函数式保留不变 例：例： F F( (A,B,CA,B,C

32、) )CBAB CABA )( 其反函数为其反函数为 )()(CBABCABAF 或或 )()()(CBABCABAF 返返 回回 基本运算规则基本运算规则 对偶式对偶式： 对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理： 1 1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“. .”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“. .”； 2 2）常量）常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0”0” 得到新函数式为原函数式得到新函数式为原函数式F F的对偶式的对偶式FF，也称对偶函数，也称对偶函数 对偶规则：对偶规则： 如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相如果两个函

33、数式相等，则它们对应的对偶式也相 等。即等。即 若若 F F1 1 = F = F2 2 则则F F1 1= F= F2 2。使公式的。使公式的 数目增加一倍。数目增加一倍。 求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只变换，且它只变换运运 算符和常量算符和常量，其，其变量变量是是不变不变的。的。 注：注： 函数式中有函数式中有“ ”和和“”运算符，求反运算符，求反 函数及对偶函数时，要将运算符函数及对偶函数时，要将运算符“ ”换成换成 “”， “ “”换成换成“ ”。 例：例：BCAAB F1 其对偶式其对偶式 )0() ()( BCA BAF 返返 回回 1.3 逻辑函数的表达形式

34、逻辑函数的表达形式 函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式 五种常用表达式五种常用表达式 F(AF(A、B B、C)C)CAAB“与与或或”式式 )BA)(CA(“或或与与”式式 CAAB “与非与非与非与非”式式 BACA “或非或非或非或非”式式 BACA “与与或或非非”式式 基本形式基本形式 表达式形式转换表达式形式转换 CA AB F CAABCAAB 返返 回回 利用还原律利用还原律利用反演律利用反演律 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 最小项：最小项： n n个变量有个变量有2 2n n个最小项

35、，记作个最小项，记作m mi i 3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项个最小项 CBACBA m m0 0m m1 1 000001 01 CBABCA CBA CBACABABC m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7 010011100101110111 234567 n n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n n个变量个变量 的的乘积项乘积项（每个变量必须而且只能以原变（每个变量必须而且只能以原变 量或反变量的形式出现一次）量或反变量的形式出现一次） 一、 最小项最小项和和最大项最大项 乘积项乘积项和项和项 最小项最

36、小项 二进制数二进制数 十进制数十进制数 编号编号 最小项编号最小项编号i-i-各输入变各输入变 量量取值取值看成看成二进制数二进制数， 对应的对应的十进制数十进制数 0 0 1 A B CA B C 0 0 0 m m0 0 CBA m m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7 CBACBABCA CBA CBACABABC 1 -n 2 0i i mF 10000000 01000000 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

37、0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 三变量的最小项三变量的最小项 最小项的性质：最小项的性质： 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最小项最小项 的的乘积乘积为为0。即。即mi mj=0 (ij) 全部全部最小项之最小项之和和为为1，即，即 12 0i i 1m n 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最小最小 项项 的值为的值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0 最大项最大项 n n个变量有个变量有2 2n n个最大项，记作个最大项，记作i i n n个变

38、量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n n个变量个变量 的的和项和项（每个变量必须而且只能以原变量（每个变量必须而且只能以原变量 或反变量的形式出现一次）或反变量的形式出现一次） 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最大项最大项 的的和和为为1。即。即Mi+Mj=1 (ij) 全部全部最大项之最大项之积积为为0，即，即 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最大最大 项项 的值为的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1 最大项：最大项： 最大项的性质：最大项的性质： 12 0i i 0M n 返返 回回 最小项与最大项的关系最小项与最大项

39、的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系 即即: mi =Mi Mi =mi 若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数，其反函数F可可 用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。 例：例： 7531 mmmmF 7531 mmmmF m1m3m5m7= 7531 MMMM= 返返 回回 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 标准积之和标准积之和( 最小项）表达式最小项）表达式 式中的每一个乘式中的每一个乘 积项均为最小项积项均为最小项 F(AF(A、B B、C C、D)D)D C

40、BADCBADC B AD C B A 8510 mmmm )8 5 1 0(m、 例：例：求函数求函数F(AF(A、B B、C C、D)D) CB ABA 的标准积之的标准积之 和表达式和表达式 解：解：F(AF(A、B B、C C、D)D) CB ABA CB ABA CB A)CC(BACB ACBABCA 123 mmm )3 2 1 (m、 利用反演律利用反演律利用互补律，补利用互补律，补 上所缺变量上所缺变量C A B CA B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 mi 0 1 2 3 4 5 6 7 F Mi 0 1

41、 2 3 4 5 6 7 0 0 0 1 0 1 1 1 例：例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式 从真值表找出从真值表找出F为为1 的对应最小项的对应最小项 解解: 0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加然后将这些项逻辑加 F(AF(A、B B、C)C) ABCCABCBABCA 7653 mmmm )7 6 5 3(m、 1.4 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 代数法化简函数代数法化简函数 图解法化简函数图解法化简函数 逻辑函数简化中的几个实际问题逻辑函数简

42、化中的几个实际问题 函数的简化依据函数的简化依据 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作 降低成本降低成本 提高电路的工作提高电路的工作 速度和可靠性速度和可靠性 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 返返 回回 最简式的标准最简式的标准 首先是式中首先是式中乘积项最少乘积项最少 乘积项中含的变量少乘积项中含的变量少 与或表达式的简化与或表达式的简化 代数法化简函数代数法化简函数 与门的输入端个数少与门的输入端个数少 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个

43、数少下级或门输入端个数少 方法：方法： 并项：并项： 利用利用ABAAB 将两项并为一项，将两项并为一项， 且消去一个变量且消去一个变量B B 消项：消项： 利用利用A + AB = AA + AB = A消去多余的项消去多余的项ABAB 配项：利用配项：利用CAABBCCAAB和互补律、和互补律、 重叠律先增添项，再消去多余项重叠律先增添项，再消去多余项BCBC 消元：利用消元：利用BABAA消去多余变量消去多余变量A A 代数法化简函数代数法化简函数 CBDBDAACF例：例：试简化函数试简化函数 解：解：CBDBDAACF 利用反演律利用反演律 )BA(DCBAC ABDCBAC 配项加

44、配项加ABAB ABDABCBAC 消因律消因律 DABCBAC 消项消项ABAB DCBAC 或与表达式的简化或与表达式的简化 F（或与式）（或与式）求对偶式求对偶式 F （与或式）（与或式）简化简化 F （最简与或式）（最简与或式）求对偶式求对偶式 F（最简最简或与式）或与式） 返返 回回 图形法化简函数图形法化简函数 卡诺图（卡诺图（K图）图） 图中的图中的一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一行一行， 即对应一个即对应一个最小项最小项，又称真值图，又称真值图 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 m0 m1 m2 m3 A A BB ABBA AB AB A B 10 1 0 m

45、0 m1 m2 m3 mi A BC 0 1 00011110 00011110 00 01 11 10 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11 AB CD 二二 变变 量量 K 图图 三三 变变 量量 K 图图 四四 变变 量量 K 图图 K K 图图 的的 特特 点点 图形法化简函数图形法化简函数 k k图为方形图。图为方形图。n n个变量的函数个变量的函数-k-k图有图有2 2n n个小方个小方 格，分别对应格，分别对应2 2n n个最小项个最小项； k k图中行、列两组变

46、量取值按循环码规律排列，图中行、列两组变量取值按循环码规律排列， 使变量各最小项之间具有使变量各最小项之间具有逻辑相邻性逻辑相邻性。 上下左右几何相邻的方格上下左右几何相邻的方格 内，只有一个因子不同内，只有一个因子不同 有三种几何相邻：有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对邻接、相对（行列两端）和对 称称（图中以（图中以0 0、1 1分割线为对称轴）方格均属相邻分割线为对称轴）方格均属相邻 00011110 00 01 11 10 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11 AB CD 四四 变变 量量 K 图图 两个相邻格

47、圈在一起，两个相邻格圈在一起， 结果消去一个变量结果消去一个变量 ABD AD A 1 四个相邻格圈在一起，四个相邻格圈在一起， 结果消去两个变量结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，八个相邻格圈在一起， 结果消去三个变量结果消去三个变量 十六个相邻格圈在十六个相邻格圈在 一起，结果一起，结果 mi=1 卡诺图化简函数规则：卡诺图化简函数规则： 几何相邻的几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格）个小格可合可合 并在一起构成正方形或矩形圈，消去并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而个变量，而 用含用含（n - i）个变量的积项标注该圈个变量的积项标注该圈。 动画动画 返返 回回 图形法

48、化简函数图形法化简函数 与或表达式的简化与或表达式的简化 步步 骤骤 先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小 项对应的方格填项对应的方格填1，其它填，其它填0。 合并：按作圈原则将图上填合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，的方格圈起来， 要求圈的要求圈的数量少数量少、范围大范围大，圈，圈可重复包围可重复包围但每但每 个圈内必须有个圈内必须有新新的最小项。的最小项。 每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则 最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式 返返 回回 根据函数填写卡诺图根据函数

49、填写卡诺图 1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格 填填1，其余格均填，其余格均填0。 2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的的 那些最小项对应的方格填那些最小项对应的方格填1，其余格均填，其余格均填0。 例子例子 3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式与或式， 再用直接法填写。再用直接法填写。 例子例子 作圈的步骤作圈的步骤 1、孤立的单格单独画圈孤立的单格单独画圈 2、圈的圈的数量少数量少、范围大范围大，圈，圈可重复包围可重复包围但每个圈内必但每个圈内必 须有须有新新的最小项的最小项 3、含、含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项的格都应被圈入，以防止遗漏积项 图形法化简函数图形法化简函数 返返 回回 例例1：直接给出函数的真值表求函数的最简与或式。：直接给出函数的真值表求函数的最简与或式。 见例见例1 例例2：直接给出函数的：直接给出函数的复杂的运算式复杂的运算式。 见例见例2 例例4：含有无关项的函数的化简含有无关项的函数的化简。 图形法化简函数图形法化简函数 返回返回 含有含有无关项无关项的函数的化简的函数的化简 填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内 填任意符号填任意符号“”、