2016秋新人教A版高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质(2)》Word精讲精析

1、课题：2.1.2指数函数及其性质（2）精讲部分学习目标展示（1）掌握指数函数的图象及性质（2）掌握指数函数的性质比较大小（3 ）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法衔接性知识1. 请画出指数函数f （x）=ax （a 0且a =1）的图象并，说明这些图象过哪个定点。2. 当 x 0 时，2x 1 ;当 x ：0 时，2x 1 ；1 1当 x 0时，（丄）x 1；当 x：0时，（!）x1.2 2 基础知识工具箱指数函数的图象和性质函数名称指数函数解析式f (x) =ax (a 0且 a 式 1)定义域R值域(0 , +oo)，即 ax 0a a10cac1图象y j*L日 (U)y少)y=10X

2、()性质奇偶性指数函数是非奇非偶函数单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值分 布10廿1(xa0) = 1(x = 0) f1(x v0)0V21(xa0) = 1(x = 0) 1(0)典例精讲剖析例 1.比较大小：（1）1.72.5 与 1.73.6（2）0.8亠12与 0.8 43.26（ 3）1.70.3 与 0.93.12.12.30.22.42.42.1(4) 0.16、1.6 与 0.4( 5)3.7、3.6 与 3.6解：(1) ； 1.71 , y =1.7x 在(_：,：)是增函数，：2.5： 3.6 ,1.72： 1.736(2) ； 0 ： 0.8 ： 1 , y =

3、 0.8x在(一 ,：【g)是减函数7 一0.12 . -2.6 ,0.8-012 0.82.6(3) ：1.70.3 .1.7 =1 , 0 ：0.93： 0.91 , 1.70.3 0.931(41 0.16 2.10.160 -1 , 0.420.40 =1 , 0 1.6 2.3 4(2)3x 二.2x _4aa(a 0,a = 1)解:(2 )不等式可化为：一x一 2 x 2,：21 , x 2x 2，即 x ： -2，故实数 x 的范围为(一：，-2)(2)当 a 1 时，3x -1 _ 2x -4，x _ -3，故实数 x 的范围为-3 , ：)当 0：a；：1 时，3x-12x

4、-4，. x -3，故实数 x 的范围为(-：，-3例3 求下列函数的定义域和值域：(1) y=2x，(2) y=(2)4(3) y=4x-2x23解：(1 )使解析式有意义，得 x-4=0 , . x = 4 定义域为(一：，4)U(4 , ：)1 1设t二丄，则y詔,又：t二丄， t = 0x -4x -4V2t是t的增函数.2t -1且2t 0，即y 0且y = 11所以函数y =2x4的值域为(0 ,1)U(1,=)(2) 定义域为为R2设 t = I x I,则 y 二(一)t , t = I x I, t 乞 0 ,3:y=()t是t的减函数，.(A -13 3所以函数y = (2

5、)丄X|的值域为1, ：)3(3) 定义域为为Ry =4X -2X1 - 2 =(2X)2 -2 2X 2，设 2t，则 y 2t 2 = (t -1)2 1；t = 2X , t .0,所以 t =1 时，ymin =1故y =4X 2X* +2的值域为1 , +翊).1例4.已知f (x) = 2?亍+ a是奇函数，求a的值及函数值域.分析本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f ( -x) = - f(x)恒成立，可求得a值.其值域可借助基本函数值域求得.解析 f(x)是奇函数， f( X) =-f(X)对定义域内的每一个X都成立.刚1111.1即-2X 1 + a = 2x 1 + a

6、， 2a=-? -2 = 1， a= 2. 2X 1工 0二 x 工 0.定义域为(a，0) U (0，+ )X口1 亠1111 亠 11 1-u= 2 1 1且UM 0，u0，2 + 2 或2 + 21 1 f (x)的值域为(一a， 2)u(，+a)(选讲)例5 .已知方程9X -2 3X 3k -仁0有两个实数解，试求实数k的取值范围.错解令t=3X，则原方程可化为t2-2t，3k-1=0海，2 2要使原方程有两个实数解，则=(-2)2 -4(3k -1) _ 0，解得k空一32所以实数k的取值范围为(亠 -.辨析换元后t = 3X 0，原方程有两个实数解，则关于“新元”t的方程应有两个

7、正数解，而:_0，只能保证方程有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解.事实上，当方程有两个负根时，原方程无解.x2正解法1.令t = 3，则t 0.原方程有两个实数解，即方程t - 2t 3k -1 = 0有两个正实数解，则虫=(2)2 4(3k 1)色012x1 x 20，解得 x 0所以实数k的取值范围为(23 3121法2由已知，得k(3x)2 3x ，令t =3x，则333k = t2 2t 1 = _】(t1)2 2，: t =3x , t 0 ,33333122i k(t) (t -1) 在(0,1上递增，在1 ,：)上递减，kmax = k(1)=333由方程9x -2 3 3

8、k - 1二C有两个实数解，可知1 2 2 -.y =k与y (t -1) 在t0时有两个交点或者相切(如图)33iA 1:11111 12 2而k（0） =1，所以1 : k2，即所以实数k的取值范围为，23333精练部分A类试题（普通班用）1. 已知 a= 0.8 0.7, b= 0.80.9, c = 1.2 08，则 a, b, c的大小关系是（）A. abc B bac C cba D cab答案D解析考察函数 y = 0.8x,. 0.8 0.9 v 0.8 0.7 v 1.又 1.2 0.8 1, a c ab.2. 下列函数中，值域是（0 ,+s ）的函数是（）A. y=2XB

9、. y= 2x-1 C y= 2x+1D. 厂（丄严2答案D1丄-解析在A中，-丰0,a 2x=1，所以函数y=2x的值域是y|y0,且沪1. X在B中， 2x-1 0,a 2x- 10,所以函数 y =-, 2x- 1 的值域是0 ,+ ).在C中，T 2x + 11,a 2x+ 11,所以函数2x+ 1的值域是(1 ,+ ).1在D中，由于函数y=( )2的定义域是 R,也就是自变量 x可以取一切实数，所以2 x2也就可以取一切实数，所以(十)2取一切正实数，即函数 y (寸)2的值域为(0 ,+),故选D.3已知f(x)=a(a0且aT)，且f (2) f(d)，则实数a的取值范围是 a

10、4. 函数f (x) = ax(a0且a* 1)，在x 1,2时的最大值比最小值大 ，求实数a的值解析注意进行分类讨论(1)当 a1 时，f (x) = aX 为增函数，此时 f(x)max= f (2) = a2, f(x)min= f (1) = a,a a=2，解得 a=空1. 当 0abcB . bac C . cba D . cab答案D解析考察函数 y = 0.8x,. 0.8 0.9 v 0.8 0.7 v 1.又 1.2 0.8 1, c ab.2. 下列函数中，值域是(0 ,+s )的函数是()1XX1A.y =2xb.y=1 C .y=2x+1D. y = ()2丄2答案D

11、1丄-解析在A中, v x丰0,. 2x=1，所以函数y=2x的值域是y|y0,且沪1.在B中，T 2x 1 0,a ,2x 10,所以函数 y = 2x 1的值域是0 ,+ ).在C中, v 2x + 11,二.2x+ 11,所以函数 y= .2x+ 1 的值域是(1 ,+R ).1在D中，由于函数 y=( )2公的定义域是R,也就是自变量x可以取一切实数，所以 2 x也就2可以取一切实数，所以(丄)2公取一切正实数，即函数y =(丄)2的值域为(0,+ )，故选2 2D.1 a 1 b3已知实数a, b满足q = (3)，下列五个关系式： 0ba:ab0;0ab;ba0；a= b.其中不可

12、能成立的关系式有()A. 1个 B . 2个C . 3个D . 4个答案B1 1解析作y =(2)x, y=(3)x图象，作y = t与两曲线相交，比较横坐标大小.当0t1时，可得0b1时，可得ab0且a1)，且f (2) f(3)，则实数a的取值范围是 解析： f(-2) f (-3) , a2 a3, . 0 ： a : 1 ,实数 a 的取值范围是(0,1)5. 如果函数f(x)=(1-2a)x在实数集a上是减函数，那么实数 a的取值范围是 解析：根据指数函数的概念及性质求解.11 - 2a 011由已知得，实数a应满足，解得0 ： a，所以实数a的取值范围是(0 ,)口-2a122_x

13、a6. 函数f (x) = a(a0且a 1)，在x 1,2时的最大值比最小值大？，则a的值为31答案2或2解析注意进行分类讨论(1)当 a1 时，f (x) = ax 为增函数，此时 f(X)max= f (2) = a2, f(X)min= f (1) = a, a2 a=I，解得 a=|1.(2)当 0a1 时，f ( x) = ax为减函数，此时 f(X)max= f (1) = a, f(X)min= f (2) = a22 a1二 a a = 2，解得 a=空 (0，1)3、1综上所述：a=或27若函数f(x)二ax -1 (a 0且a =1)，的定义域和值域都是0,2，求实数3的

14、值.解析：当a 1时，f(x)在0,2上递增， f(0) =0 f(2) =2，即 J0 ,a2 -1=2a =3 .又 a，1 , a =、3 ,上递减,当 0 : a ：1 时,f (x)在0,2V爲，即：2鳥，它无解，从而a= 3.9，其中a - 0且a = 1.&已知函数f (x) =ax，(x _0)的图象经过点 4, (1)求a的值； 求函数y = f (x) (x _ 0)的值域.1解析：(1) y = f (x)函数图象过点(4 一)，所以 9 f (x)=(一)心(x _0)，由 x_0，得 x 2 一一2 ,3函数 y = f (x) (x _0)的值域为(0,9a 2 1 a9.若函数y=2 为奇函数.(1)求a的值；(2)求函数的定义域.解：函数 y = a； a , y = a 亡(1 )由奇函数的定义，可得f(-x) f (x) =0x1 1 1-2即 a一ax10 , - 2a x = 0，即 a =2 1 2x -11-21 1(2) * y 二-一x- ， 2nO