积分例题[青苗教育]

1、例例4 计算下列积分计算下列积分 .d 1 (3) .d 1 (2) .d) 1 ( 2 3 xx x xx x . 4 3 1 3 1 1 3 4 1 3 1 CC xx xx x x d d 1 (2) 2 1 解解 xxx x d d(1) 3 1 3 xx x x dd 1 (3) 2 2 .2 2 1 1 1 2 1 1 CxC x . 1 12 1 12 C x C x 1中小学 例例5 计算下列积分计算下列积分 (1) 2.( ). 2 1 d (2)d (3)d xxx xxex 解解 (1) 2 2 d ln2 x x xC (3). d ee xx xC 11111 ( )

2、 d( )( ) 1 22ln2 2 ln 2 xxx xCC (2) 2中小学 例1. 设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程. 解解: xy2 xxyd2 Cx 2 所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有故有 C 2 12 1 C 因此所求曲线为因此所求曲线为1 2 xy y x o )2, 1 ( 积分常数的确定 3中小学 例例2 2 求积分求积分. 2 dxxx 解解dxxx 2 dxx 2 5 C x 1 2 5 1 2 5 . 7 2 2 7 Cx 根据积分

3、公式（根据积分公式（2）C x dxx 1 1 4中小学 例例1 1 求求. 5dx x 解解, 6 5 6 x x . 6 6 5 C x dxx 解解 例例2 2 求求. 1 1 2 dx x , 1 1 arctan 2 x x .arctan 1 1 2 Cxdx x 5中小学 例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知, x2y ,Cxxdx2y 2 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）,

4、1 C 所求曲线方程为所求曲线方程为. 1 2 xy 6中小学 基基 本本 积积 分分 表表 kCkxkdx()1(是常数是常数); );1( 1 )2( 1 C x dxx ;C|x|ln x dx )3( 3.基本积分公式基本积分公式 dx x 2 1 1 )4(;arctanCx dx x 2 1 1 )5(;arcsinCx 7中小学 由不定积分的定义，可知有如下由不定积分的定义，可知有如下性质性质1 4.不定积分的性质不定积分的性质 dx)x(g)x( f )1(;)()( dxxgdxxf dx)x( fadx)x(af0a )2( 例例 求积分求积分 解解 .) 1 2 1 3

5、( 2 2 dx xx dx xx ) 1 2 1 3 ( 2 2 dx x dx x 2 2 1 1 2 1 1 3 xarctan3 xarcsin2 C 8中小学 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意 两个的差是一个两个的差是一个_； 2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分； 3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf 的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，

6、它的方程是 CxFy )(； 4 4、 由由)()( xfxF 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 CxFy )( )(是任意常数是任意常数C上横坐标相同的点上横坐标相同的点 处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的； 5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在； 练习题练习题 9中小学 6 6、 dxxx_ _； 7 7、 xx dx 2 _； 8 8、 dxxx)23( 2 _； 9 9、 dxxx)1)(1( 3 _； 1010、 dx x x 2 )1( =_=_

7、 ._ . 10中小学 一、一、1 1、无穷多、无穷多, ,常数；常数； 2 2、全体原函数；、全体原函数； 3 3、积分曲线、积分曲线, ,积分曲线族；积分曲线族； 4 4、平行；、平行； 5 5、连续；、连续； 6 6、Cx 2 5 5 2 ； 7 7、 Cx 2 3 3 2 ； 8 8、Cxx x 2 2 3 3 2 3 ； 9 9、Cxxx x 2 3 2 5 3 3 2 5 2 3 、 1010、Cxxx 2 5 2 3 5 2 3 4 2. . 练习题答案练习题答案 11中小学 求积分求积分 解解 . )1( 21 22 2 dx xx x dx xx x )1( 21 22 2

8、dx xx xx )1( 1 22 22 dx x dx x 22 1 11 .arctan 1 Cx x 12中小学 例例1 求求. 5dx x 解解 , 6 5 6 x x . 6 6 5 C x dxx 解解 例例2 求求. 1 1 2 dx x , 1 1 arctan 2 x x .arctan 1 1 2 Cxdx x 13中小学 例例3 设曲线通过点设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线求此曲线 方程方程. 解解设曲线方程为设曲线方程为 ),(xfy 根据题意知根据题意知 ,2x dx dy

9、 ,2 2 Cxxdx,)( 2 Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1 1，2 2）, 1 C 所求曲线方程为所求曲线方程为. 1 2 xy )(xfx2即即是是的一个原函数的一个原函数. . 14中小学 dx x 2 1 1 )4(;arctanCx dx x 2 1 1 )5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx x dx 2 cos )8( xdx 2 sec;tanCx x dx 2 sin )9( xdx 2 csc;cotCx 15中小学 1. (3cos ) x ex dx 2. 2 xx e dx (2 ) x e dx (2

10、) ln(2 ) x e C e (2 ) ln21 x e C 3 cos x e dxxdx sin x exC 16中小学 例例5 求积分求积分 解解 .) 1 2 1 3 ( 2 2 dx xx dx xx ) 1 2 1 3 ( 2 2 dx x dx x 2 2 1 1 2 1 1 3 xarctan3 xarcsin2 C 17中小学 例例6 求积分求积分 解解 . )1( 1 2 2 dx xx xx dx xx xx )1( 1 2 2 dx xx xx )1( )1( 2 2 dx xx 1 1 1 2 dx x dx x 1 1 1 2 arctanln.xxC 提示：提

11、示： (3)ln; dx xC x 18中小学 说明：说明： , 0 x,ln Cx x dx )ln(, 0 xx, 1 )( 1 x x x ,)ln( Cx x dx ,|ln Cx x dx (3)ln; dx xC x 19中小学 例例7 求积分求积分 解解 . )1( 21 22 2 dx xx x dx xx x )1( 21 22 2 dx xx xx )1( 1 22 22 dx x dx x 22 1 11 .arctan 1 Cx x 20中小学 dxxx)23( 2 _； 9 9、 dxxx)1)(1( 3 _； 1010、 dx x x 2 )1( =_=_ ._ . 答案：答案： 21中小学 例例 求积分求积分(1+x3)2dx。 解解 dxxxdxx )21 ()1 ( 63 2 3 一般几个不定积分相加时，一般几个不定积分相加时， 常把得到的常数加到一起写常把得到的常数加到一起写 成一个常数成一个常数C 。 dxxdxxdx 63 2 Cxxx 74 7 1 4 2 Cxxx 74 7 1 4 2 Cxxx 74 7 1 4