第二章数学模型

1、 2010年年 控制工程基础控制工程基础 ( (第二章）第二章） )()()( 2 2 tx dt d mtv dt d mtfm 12 12 ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) k t t f tk x tx tkx t kv tv tdt kv t dt 12 12 ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) D ftD v tv tDv t dx tdx t D dtdt dx t D dt q 机械平移系统机械平移系统 2 2 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) iDko ko Do d f tftf tmx t dt f tkx t d ftDx t

2、 dt mm fi(t) k D xo(t) fi(t) xo(t) 00 fm(t) fk(t) 机械平移系统机械平移系统 及其力学模型及其力学模型 fD(t) 静止（平衡）工作点作为静止（平衡）工作点作为 零点，以消除重力的影响零点，以消除重力的影响 2 2 ( )( )( )( ) oooi dd my tDy tky tf t dtdt q 弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统 xo(t) 0 fi(t) k D 弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统 系统运动方程为一阶常系数系统运动方程为一阶常系数 微分方程。微分方程。 ( )( )( ) ooi d Dx tkx tf t dt ( )( )( ) iD

3、k f tftft q 机械旋转系统机械旋转系统 k i(t) o(t)00 Tk(t) TD(t) D 粘性液体粘性液体 齿轮齿轮 J J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量； k 扭转刚度系数；扭转刚度系数； D 粘性阻尼系数粘性阻尼系数 柔性轴柔性轴 2 2 ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) kio Do okD Ttktt d TtDt dt d JtTtTt dt 2 2 ( )( )( )( ) oooi dd JtDtktkt dtdt ( )( )u tR i t 电容电容 dtti C tu)( 1 )( C i(t) u(t) 电感电感 dt tdi Ltu

4、 )( )( Li(t) u(t) dtti C tu dtti C ti dt d LtRitu o i )( 1 )( )( 1 )()()( q R-L-C无源电路网络无源电路网络 LR C ui(t)uo(t) i(t) R-L-C无源电路网络无源电路网络 一般一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微均为常数，上式为二阶常系数微 分方程。分方程。 )()()()( 2 2 tututu dt d RCtu dt d LC iooo 若若L=0=0，则系统简化为：，则系统简化为： )()()(tututu dt d RC ioo )()( 0)( 21 titi tua q 有源电路网

5、络有源电路网络 + C R i1(t) ui(t) uo(t) i2(t) a dt tdu C R tu oi )()( )( )( tu dt tdu RC i o 即：即： )()()( 2121 xfxfxxf )()(xfxf )()()( 2121 xfxfxxf )()()()( )()()()( 1 1 1 10 1 1 1 1 txbtx dt d btx dt d btx dt d b txatx dt d atx dt d atx dt d imimi m m i m m onono n n o n n 3 0 0 3 3 2 0 0 2 2 0 0 0 )( )( !

6、3 1 )( )( ! 2 1 )( )( )()( xx xx dx xfd xx xx dx xfd xx xx dx xdf xfxfy )( )( )( 0 0 0 xx xx dx xdf xfy 0 )( xx dx xdf K )()(),( 202 2 101 1 2010 202 101 202 101 xx x f xx x f xxfy xx xx xx xx 22110 xKxKyyy ),( 20100 xxfy 202 101 202 101 2 2 1 1 , xx xx xx xxx f K x f K 0 o . 2 ( )sin( )( ) ioo T tm

7、gltmlt sin o . 2 ( )( )( ) ooi mltmgltT t ( )( ( )y tf x t )(xfy yx, x 2 2 2 ( )1( ) ( )( )()() 2 df xd f x yf xf xxxxx dxdx xx yK x ( )yyyyf x xxx x x df K dx 0)(lim tfe t t 0 )()()(dtetftfLsF st 0 dte st 0,)( 2 1 )()( 1 tdsesF j sFLtf j j st 01 00 )( 1 t t t )0)(Re( 1 0 1 )(1)(1 0 s s e s dtettL s

8、t st at etf )( )0)(Re(, 1 0 )( 0 as as dte dteeeL tas statat 0 sinsindtettL st 0 coscosdtettL st tjtj tjtj eet ee j t 2 1 cos 2 1 sin 0)Re( 11 2 1 2 1 sin 22 00 s s jsjsj dteedtee j tL sttjsttj 22 cos s s tL )0( 1 lim )0(0 )( 0 t tt t 且 )1 ( 1 lim 1 lim)( 0 0 0 s st e s dtetL )( )1 ( lim)1 ( 1 lim 0

9、0 s e e s s s 1lim)( 0 s e tL 0 00 )( tt t tf 0)Re( 1 )( 2 0 0 0 s s dt s e s e t dttetfL stst st 0 2 1 00 )( 2 tt t tf 0)Re( 1 2 1 )( 3 0 2 s s dtettfL st tt n 1 11 00 1! 1 nnstnu nn n L ttt edtu e du ss 0 )()(dtetftfL st 0 0 0 )()( )()( dtetftfL dtetftfL st st 0 )()0(),0()( )( t tfffssF dt tdf L )

10、0()0()0()( )( )0()0()( )( )1(21 2 2 2 nnnn n n ffsfssFs dt tfd L fsfsFs dt tfd L )( )( )( )( )( )( 2 2 2 sFs dt tfd L sFs dt tfd L ssF dt tdf L n n n )0()( )( )0()( )( fssF dt tdf L fssF dt tdf L ), 3, 2, 1()() 1()( )()( )()( 2 2 2 ntftLsF ds d tftLsF ds d ttfLsF ds d nn n n 0 )()0(, )0()( )( )1( )1

11、( t dttff s f s sF dttfL )( 1 )(sF s dttfL s f s sF dttfL s f s sF dttfL )0()( )( )0()( )( )1( )1( )( 1 )(sF s dttfL n n )0( 1 )0( 1 )( 1 )( )1()1( 1 n nn n f s f s sF s dttfL sXeatatxL as 1 )()(asFtfeL at 2222 cossin s s tL s tL 22 22 )( )( cos )( sin as as teL as teL at at )(lim)0()(lim 0 ssFftf s

12、 t )(lim)()(lim 0 ssFftf st )(limtf t )()()()(sGsFtgtfL tt dtgfdgtftgtf 00 )()()()()(*)( ()0 t L faF asa a 常数 1 1 )( s sFeL t 1 )( / as a asaFeL at t f a )( )( )( )( 1 1 10 1 1 10 mn asasasa bsbsbsb sA sB sF nn nn mm mm )()()( )( )( 21 01 1 10 n m mm pspsps cscscsc sA sB sF n i i i n n ps A ps A ps

13、A ps A sA sB sF 1 2 2 1 1 )( )( )( i psii pssFA )()( n i tp i n ii i i eA ps A LsFL 11 11 )( )6( 2 )( 2 2 sss ss sF 23)2)(3( 2 )6( 2 )( 321 2 2 2 s A s A s A sss ss sss ss sF 3 1 )2)(3( 2 )( 0 2 01 s s ss ss ssFA 15 8 )2( 2 )() 3( 3 2 32 s s ss ss sFsA 5 4 )3( 2 )()2( 2 2 23 s s ss ss sFsA )0( 5 4 1

14、5 8 3 1 )()( 231 teesFLtf tt 2 1 5 4 3 1 15 81 3 1 )( sss sF n n ps A ps A psps AsA sA sB sF 3 3 21 21 )()( )( )( 2121 2121 )()( pspspsps AsApspssF 或或 n i i i n n ps A ps A ps A ps A sA sB sF 1 2 2 1 1 )( )( )( i psii pssFA )()( )1( 1 )( 2 sss s sF 1 2 3 2 1 2 3 2 1 1 )( 2 210 ss AsA s A jsjss s sF

15、1)( 0 0 s ssFA 2 3 2 1 21 2 3 2 1 2 )()() 1( js js AsAsFss 0, 1 2 3 )( 2 3 2 1 )( 2 1 21 21 21 AA AA AA 1 1 )( 2 ss s s sF 2 2 2 3 2 1 1 s s s 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 ss s s 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 1 1 ss s s tetetf tt 2 3 sin 3 1 2 3 cos1)( 22 tte t 2 3 sin 2 1 2 3 cos 2 3 3 2 1

16、 2 0,60 2 3 sin 3 2 1 2 tte t sss s sX 23 1 s a js a js a sss s sX 321 23 2 3 2 1 2 3 2 1 1 6 3 2 1 2 3 2 11 2 3 2 1 23 1 jjs sss s a js 6 3 2 1 2 ja 则则 1 1 0 23 3 s s sss s a s js j js j sss s sX 1 2 3 2 1 6 3 2 1 2 3 2 1 6 3 2 1 1 23 1313 2222 1 2 1313 1 1 2626 333 sincos1 1 322 jtjt t x tjejet et

17、tt )()()()( )( )( 10 1 1 10 nr r mm mm pspsps bsbsbsb sA sB sF )()()()()( 1 1 0 0 1 0 02 0 01 n n r rr rr ps A ps A ps A ps A ps A 0 )( 001ps pssFA r 0 )( 002 ps pssF ds d A r 0 )( ! 2 1 0 2 2 03 ps pssF ds d A r 0 )( )!1( 1 0 1 1 0 ps pssF ds d r A r r r r tp n n e n t ps L 0 )!1()( 1 1 0 1 )0( )!2

18、()!1( )()( 1 0 1 0 2 02 1 01 1 teAeA eAt r A t r A sFLtf tp n tp r tp r rr nr ) 1()2( 3 )( 2 ss s sF 12)2( )( 302 2 01 s A s A s A sF 1 2 1 3 2 )2)( 2 01 s s s s ssFA 2 2 ) 1( ) 1)(3() 1()3( 2 1 3 2 )2)( 2 2 02 s s ssss s s s ds d s ssF ds d A 2 1 ) 1)( 3 s ssFA 1 2 2 2 )2( 1 )( 2 sss sF )0(2)2( )()

19、( 2 1 teet sFLtf tt l 借用拉氏变换解常系数线性微分方程借用拉氏变换解常系数线性微分方程 求解步骤求解步骤 q 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方的代数方 程；程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；达式； q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 原函数原函数 （微分方程的解）（微分方程的解） 象函数象函数 微分方程微分方程 象函数的象函数的 代数方程代数方程 拉氏反变换拉氏反变换 拉氏变换拉氏变换 解解 代代 数数 方方 程程 拉氏变换法求解线性微分

20、方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程 实例实例 )()(6 )( 5 )( 2 2 txtx dt tdx dt txd io oo 设系统微分方程为：设系统微分方程为： 若若xi (t) =1(t)，初始条件分别为，初始条件分别为xo(0)、xo(0)， 试求试求xo(t)。 解：对微分方程左边进行拉氏变换解：对微分方程左边进行拉氏变换 )0()0()( )( 2 2 2 ooo o xsxsXs dt txd L )0()0()5()()65( )(6 )( 5 )( 2 2 2 ooo o oo xxssXss tx dt tdx dt txd L )0(5)(5 )( 5 oo

21、o xssX dt tdx L )(6)(6sXtxL oo s tLsXtxL ii 1 )( 1)()( 3232 65 )0()0()5( )65( 1 )( 21321 22 s B s B s A s A s A ss xxs sss sX oo o s xxssXss ooo 1 )0()0()5()()65( 2 6 1 0 65 1 2 1 s ss A 2 1 2 ) 3( 1 2 s ss A 3 1 3 )2( 1 3 s ss A )0()0(3 2 3 )0()0()5( 1oo oo xx s s xxs B )0()0(2 3 2 )0()0()5( 2oo oo

22、 xx s s xxs B ) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 3 1 2 1 6 1 )( 32 32 texxexx eetx t oo t oo tt o )0 3 1 2 1 6 1 )( 32 teetx tt o 3 )0()0(2 2 )0()0(3 3 3 1 2 2 1 6 1 )( s xx s xx sss sX oooo o q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数中，因此，不需要根据初始条件求积分常数

23、 的值就可得到微分方程的全解。的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的如果所有的初始条件为零，微分方程的 拉氏变换可以简单地用拉氏变换可以简单地用sn代替代替dn/dtn得到。得到。 由上述实例可见：由上述实例可见： 五、传递函数以及典型环节的传递函数五、传递函数以及典型环节的传递函数 l 传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义 传递函数传递函数 在在零初始条件零初始条件下，线性定常系统输出量的拉下，线性定常系统输出量的拉 氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之 比。比。 零初始条件：零初始条件： q t0时，输入量及其各阶导

24、数均为时，输入量及其各阶导数均为0 0； q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定输入量施加于系统之前，系统处于稳定 的工作状态，即的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶时，输出量及其各阶 导数也均为导数也均为0 0； )( )( )( sX sX sG i o )()()()( )()()()( 1 1 1 )( 0 01 1 1 )( 0 txatxbtxbtxb txatxatxatxa imim m i m i non n o n o nn nn mm mm i o asasasa bsbsbsb sX sX sG 1 1 10 1 1 10 )( )( )( 等效弹性刚度等效弹性刚度

25、 力学模型力学模型 时域方程时域方程 拉氏变换式拉氏变换式 等效弹簧等效弹簧 刚度刚度 弹簧弹簧 k x(t) tkxtf skXsF k 阻尼器阻尼器 D x(t) txDtf sDsXsF Ds 质量质量 M x(t) txMtf sXMssF 2 2 Ms 2 2 ( )( )( )( ) oooi dd mx tDx tkx tf t dtdt 2 ( )( )( )( ) oooi ms XsDsXskXsF s 2 ( )1 ( ) ( ) o i Xs G s F smsDsk 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 o i Us Cs G s U s LsR Cs LCsR

26、Cs q 几点结论几点结论 传递函数是复数传递函数是复数s域中的系统数学模型，域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数，其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递若输入给定，则系统输出特性完全由传递 函数函数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在决定，即传递函数表征了系统内在 的固有动态特性。的固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的传递函数通过系统输入量与输出量之间的 关系来描述系统的固有特性。即以系统外部关系来描述系统的固有特性。即以系统外部 的输入输出特性来描述系统的内部特性。的输

27、入输出特性来描述系统的内部特性。 传递函数的一般形式传递函数的一般形式 )()()()()( )()()()( 1 1 1 10 1 1 1 1 mntxbtx dt d btx dt d btx dt d b txatx dt d atx dt d atx dt d imimi m m i m m onono n n o n n )( )( )( )( 1 1 10 1 1 10 mn asasasa bsbsbsb sX sX sG nn nn mm mm i o 考虑线性定常系统考虑线性定常系统 当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换 可得系统传递函

28、数的一般形式：可得系统传递函数的一般形式： 1 011 ( ) mm mm N sb sbsbsb 1 011 ( ) nn nn D sa sa sasa 令：令： ( )( ) ( ) ( )( ) o i XsN s G s X sD s 则：则： D(s)=0称为系统的称为系统的特征方程特征方程，其根称为系统，其根称为系统 的的特征根特征根。特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。 D(s)中中s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。 l 特征方程、零点和极点特征方程、零点和极点 特征方程特征方程 式中，式中，K称为系统的称为系统的放大系数放大系数或或

29、增益增益。 当当s=0时：时： G(0)=bm/an=K 从微分方程的角度看，此时相当于所有的从微分方程的角度看，此时相当于所有的 导数项都为零。因此导数项都为零。因此K 反应了系统处于静反应了系统处于静 态时，输出与输入的比值。态时，输出与输入的比值。 零点和极点零点和极点 )()( )()( )( )( )( 210 210 n m i o pspspsa zszszsb sX sX sG 将将G(s)写成下面的形式写成下面的形式 D(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的 ，称为传递函数的极点极点； 式中，式中，N(

30、s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的，称为传递函数的零点零点； 系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点 和极点的数值完全取决于系统的结构参数。和极点的数值完全取决于系统的结构参数。 零、极点分布图零、极点分布图 将传递函数的零、将传递函数的零、 极点表示在复平面极点表示在复平面 上的图形称为传递上的图形称为传递 函数的零、极点分函数的零、极点分 布图。图中，零点布图。图中，零点 用用“O”表示，极表示，极 点用点用“”表示。表示。 G(s)= S+2 (s+3)(s2+2s+2)

31、 的零极点分布图的零极点分布图 0 123 1 2 -1-2-3 -1 -2 j l 传递函数的几点说明传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统；数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各的复变函数。传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统结构参数；等，完全取决于系统结构参数； 传递函数是在零初始条件下定义的，即

32、在零传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数不反映系统相对静止状态。因此，传递函数不反映系统 在非零初始条件下的全部运动规律；在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况。无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个一个传递函数只能表示一个输入对一个 输出的关系，适合于单输入单输出系统的输出的关系，适合于单输入单输出系统的 描述。描述。 l 脉冲响应函数脉冲响应

33、函数 初始条件为初始条件为0 0时，系统在单位脉冲输入作用下时，系统在单位脉冲输入作用下 的输出响应的拉氏变换为的输出响应的拉氏变换为 )()()()(sGsXsGsY 拉氏反变换拉氏反变换 )()()()( 11 tgsGLsYLty g(t)称为系统的称为系统的脉冲响应函数脉冲响应函数（权函数权函数）。）。 系统的系统的脉冲响应函数脉冲响应函数与传递函数包含关与传递函数包含关 于系统动态特性的相同信息。于系统动态特性的相同信息。 注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此，注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此， 由：由： )()()(sXsGsY 知线性系统在任意输入作用下，其时域输出知线性

34、系统在任意输入作用下，其时域输出 t t dtgx dtxg txtgty 0 0 )()( )()( )()()( 式中，当式中，当t 0时，时，g(t) = x(t) = 0。 l 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 环节环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或 元件的一部分称为一个元件的一部分称为一个环节环节。经常遇到的环节。经常遇到的环节 称为称为典型环节典型环节。 任何复杂的系统总可归结为由一些典型任何复杂的系统总可归结为由一些典型 环节所组成。环节所组成。 环节的分类环节的分类 )()( )()( )( )( )( 210 210

35、 n m i o pspspsa zszszsb sX sX sG 假设系统有假设系统有b个实零点，个实零点，c 对复零点，对复零点，d 个实个实 极点，极点，e对复极点和对复极点和v个零极点，由线性系统个零极点，由线性系统 传递函数的零、极点表达式传递函数的零、极点表达式 可见可见 b+2c = m v+d+2e = n i ii i ii sszs 1 ),1( 1 j jj j jj TsT T sps 1 ),1( 1 对于实零点对于实零点zi= i和实极点和实极点pj= j ，其因式可，其因式可 以变换成如下形式：以变换成如下形式： 1 222 22 2 ()()()() 2 1 (

36、21) szszsjsj ss ss 对于复零点对对于复零点对z= +j 和和z+1= j ，其因，其因 式可以变换成如下形式：式可以变换成如下形式： 2222 1 , 式中，式中， 对于复极点对对于复极点对pk= k+j k和和pk+1= k j k ，其，其 因式可以变换成如下形式：因式可以变换成如下形式： 1 222 22 2 ()()()() 2 1 (21) kkkkkk kkk kkk k spspsjsj ss T sT s T 2222 1 , k kk kkkk T 式中，式中， 22 11 22 11 (1)(21) ( ) (1)(21) bc i i de v jkkk

37、 jk Ksss G s sT sT sT s 于是，系统的传递函数可以写成：于是，系统的传递函数可以写成： e k k d j j cb ii TT a b K 1 2 11 2 10 0 11 式中，式中， 为系统静态放大倍数。为系统静态放大倍数。 22 22 111 ,1,21, 121 Ksss sTsT sTs 由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的 因子，即：因子，即： 一般，任何线性系统都可以看作是由上述一般，任何线性系统都可以看作是由上述 六种因子表示的典型环节的串联组合。上六种因子表示的典型环节的串联组合。上 述六种典型环节分别称为：

38、述六种典型环节分别称为： 比例环节比例环节：K 一阶微分环节一阶微分环节： s+1 22 21ss二阶微分环节二阶微分环节： s 1 积分环节积分环节： 1 1 Ts 惯性环节惯性环节： 22 1 21T sTs 振荡环节振荡环节： )()(sXesX i s o 实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全 复现输入，但延迟了时间复现输入，但延迟了时间 ，即，即xo(t)=xi(t- )， 此时：此时： s esG )(或：或： s e 因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典 型环节型环节延迟环节延迟环节 。 典型

39、环节示例典型环节示例 q 比例环节比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成 比例关系。比例关系。 其运动方程为：其运动方程为：xo(t)=Kxi(t) xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；分别为环节的输出和输入量； K比例系数，等于输出量与输入量之比。比例系数，等于输出量与输入量之比。 K sX sX sG i o )( )( )( 比例环节的传递函数为：比例环节的传递函数为： z1 z2 ni(t) no(t) 齿轮传动副齿轮传动副 R2 R1 ui(t) uo(t) 比例运算放大器比例运算放大器 K z z sN sN sG i

40、 o 2 1 )( )( )(K R R sU sU sG i o 1 2 )( )( )( q 一阶惯性环节一阶惯性环节 )()()(tKxtxtx dt d T ioo 1)( )( )( Ts K sX sX sG i o 凡运动方程为下面一阶微分方程凡运动方程为下面一阶微分方程 形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为： T时间常数，表征环节的惯性，和时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关环节结构参数有关 式中，式中，K环节增益（放大系数）；环节增益（放大系数）； ( ) ( )( ) o oi dx t DKx tKx t dt 1

41、( ), 1 KD G sT DskTsK 如：弹簧如：弹簧-阻尼器环节阻尼器环节 xi(t)xo(t) 弹簧弹簧-阻尼器组成的环节阻尼器组成的环节 KD q 微分环节微分环节 输出量正比于输入量的微分。输出量正比于输入量的微分。 dt tdx tx i o )( )(运动方程为：运动方程为： s sX sX sG i o )( )( )(传递函数为：传递函数为： 式中，式中， 微分环节的时间常数微分环节的时间常数 dt td Ktu i to )( )( sK s sU sG t i o )( )( )( 如：测速发电机如：测速发电机 uo(t) i (t) 测测 速速 发发 电电 机机 式

42、中，式中， Kt为电机为电机 常数。常数。 无负载时无负载时 R C ui(t)uo(t) i(t) 无源微分网络无源微分网络 无源微分网络无源微分网络 Rtitu Rtidtti C tu o i )()( )()( 1 )( RCT Ts Ts RCs RCs sG , 11 )( 显然，无源微分网络包括有惯性环节和微显然，无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节，称之为分环节，称之为惯性微分环节惯性微分环节，只有当，只有当 |Ts|1时，才近似为微分环节。时，才近似为微分环节。 在物理系统中输入输出同量纲的微分环节在物理系统中输入输出同量纲的微分环节 很难独立存在，经常和其它环节一起出现。

43、很难独立存在，经常和其它环节一起出现。 ) 1( )( )( )(sK sX sX sG i o 除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：节，其传递函数为： 微分环节的输出是输入的导数，即输出反微分环节的输出是输入的导数，即输出反 映了输入信号的变化趋势，从而给系统以映了输入信号的变化趋势，从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此，微分环有关输入变化趋势的预告。因此，微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。节常用来改善控制系统的动态性能。 q 积分环节积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。输出量正比于输入量对时间的积分。 t io

44、dttx T tx 0 )( 1 )( 运动方程为：运动方程为： TssX sX sG i o 1 )( )( )(传递函数为：传递函数为： At T Adt T tx t o 11 )( 0 积分环节特点：积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。输出量取决于输入量对时间的积累过程。 具有明显的滞后作用。具有明显的滞后作用。 积分环节常用来改善系统的稳态精度。积分环节常用来改善系统的稳态精度。 如当输入量为常值如当输入量为常值 A 时，由于时，由于 输出量须经过时间输出量须经过时间T才能达到输入量在才能达到输入量在t = 0时的值时的值A。 如：有源积分网络如：有源积分网络 + C

45、 R i1(t) ui(t) uo(t) i2(t) a )( )( tu dt tdu RC i o RCT TsRCs sG, 11 )( q 二阶振荡环节二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量含有两个独立的储能元件，且所存储的能量 能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性 质，运动方程为：质，运动方程为： 2 2 2 ( )2( )( )( ),01 oooi dd Tx tTx tx tKx t dtdt 22 ( ) ( ) ( )21 o i XsK G s X sT sTs 传递函数：传递函数： 式中，式中，T振荡环节的时间常数振

46、荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，阻尼比，对于振荡环节，01 K比例系数比例系数 2 22 1 ( ), 2 n n nn G s ssT 振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：）： n称为称为无阻尼固有角频率无阻尼固有角频率。 )()()()( 2 2 tftKxtx dt d Dtx dt d m iooo 222 11/ ( ) 21 K G s msDsKT sTs 如：质量如：质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统 传递函数：传递函数： , 2 mD T KmK 式中，式中， mkD2 当当时，为振荡环节。时，为振荡环节。 q 延迟环节

47、延迟环节 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；求的输出值； )()(txtx io 运动方程：运动方程： s esG )(传递函数：传递函数： 式中，式中， 为纯延迟时间。为纯延迟时间。 延迟环节从输入开始之初，在延迟环节从输入开始之初，在0 时间内时间内, , 没有输出，但没有输出，但t= 之后，输出等于之后，输出等于 之前时刻之前时刻 的的 输入。输入。 延迟环节与惯性环节的区别延迟环节与惯性环节的区别： 小结小结 q 构造数学模型时，构造数学模型时，环节是根

48、据微分方程划环节是根据微分方程划 分的，往往不是具体的物理装置或元件；分的，往往不是具体的物理装置或元件； q 一个环节往往由几个元件之间的运动特性一个环节往往由几个元件之间的运动特性 共同组成；共同组成； q 同一元件在不同系统中作用不同，输入输同一元件在不同系统中作用不同，输入输 出的物理量不同，可起到不同环节的作用。出的物理量不同，可起到不同环节的作用。 六、方块图和信号流图六、方块图和信号流图 l 方块图方块图 系统方框图是系统控制系统的动态数学模型系统方框图是系统控制系统的动态数学模型 的图解形式。可以形象直观地描述系统中各的图解形式。可以形象直观地描述系统中各 环节间的相互关系及其

49、功能以及信号在系统环节间的相互关系及其功能以及信号在系统 中的传递、变换过程。中的传递、变换过程。 注意：即使描述系统的数学关系式相同，注意：即使描述系统的数学关系式相同， 其方框图也不一定相同。其方框图也不一定相同。 方框图的结构要素方框图的结构要素 q 信号线信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向， 直线旁标记变量，即信号的时间函数或象函直线旁标记变量，即信号的时间函数或象函 数。数。 X(s), x(t) 信号线信号线 q 信号引出点（线）信号引出点（线） 表示信号引出或测量的位置和传递方向。表示信号引出或测量的位置和传递方向。 同一信号线

50、上引出的信号，其性质、大小完同一信号线上引出的信号，其性质、大小完 全一样。全一样。 引出线引出线 X(s) X(s) X(s) X(s) X(s) X(s) q 函数方块函数方块( (环节环节) ) G(s) X1(s)X2(s) 函数方块函数方块 函数方块具有运算功能，即函数方块具有运算功能，即 X2(s)=G(s)X1(s) 传递函数的图解表示。传递函数的图解表示。 q 求和点（比较点、综合点）求和点（比较点、综合点） 信号之间代数加减运算的图解。用符号信号之间代数加减运算的图解。用符号“ ” 及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的 “+”或或“-”表示

51、加上此信号或减去此信号。表示加上此信号或减去此信号。 相邻求和点可以互换、合并、分解，即满相邻求和点可以互换、合并、分解，即满 足代数运算的交换律、结合律和分配律。足代数运算的交换律、结合律和分配律。 X1(s) X2(s) X1(s) X2(s) A B A-B C A-B+C A+C-B B C A A+C A B A-B+C C A-B+C 求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。 R 1 Cs 1 求和点求和点 函数方块函数方块函数方块函数方块 引出线引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s) 方框图示例方框图示例 任何系统都可以由信号线、函数方块、

52、信号任何系统都可以由信号线、函数方块、信号 引出点及求和点组成的方框图来表示。引出点及求和点组成的方框图来表示。 系统方框图的建立系统方框图的建立 q 步骤步骤 建立系统各环节的微分方程建立系统各环节的微分方程, ,明确信号的明确信号的 因果关系（输入因果关系（输入/ /输出）。输出）。 对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部 件的方框图。件的方框图。 按照信号在系统中的传递、变换过程，依按照信号在系统中的传递、变换过程，依 次将各部件的方框图连接起来，得到系统次将各部件的方框图连接起来，得到系统 的方框图。的方框图。 方块图简化方块图简化 q 方框图的运算法

53、则方框图的运算法则 串联串联 G1(s)G2(s)Gn(s) Xi(s) X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s) . G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s) Xi(s)Xo(s) 并联并联 Xo(s) G1(s) + Xi(s) G2(s) + + Gn(s) . . . Xi(s)Xo(s) G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s) 反馈反馈 G(s) H(s) Xi(s) Xo(s) B(s) E(s) )()()( )()()( )()()( sXsHsB sBsXsE sEsGsX o i o )()(1 )( )( )( )( sHsG sG sX sX s i o X

54、i(s)Xo(s) )()(1 )( sHsG sG q 方块图变换法则方块图变换法则 求和点的移动求和点的移动 G(s) A B C G(s) A B C G(s) A B C G(s) G(s) A B C )( 1 sG 求和点后移求和点后移 求和点前移求和点前移 引出点的移动引出点的移动 G(s) AC C G(s) AC A G(s) A C G(s) C G(s) AC )( 1 sG A 引出点前移引出点前移 引出点后移引出点后移 q 由方框图求系统传递函数由方框图求系统传递函数 基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和 引出点，消去交叉回

55、路，变换成可以运算的简引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简 单回路。单回路。 例：求下图所示系统的传递函数。例：求下图所示系统的传递函数。 H1(s) Xo(s) G1(s) G3(s) H3(s) + Xi(s) G2(s) B H2(s) A H1(s) G1(s) G3(s) H3(s) + Xi(s) G2(s) Xo(s) H2(s)G3(s) 解：解：1 1、A点前移；点前移； 2 2、消去、消去H2(s)G3(s)反馈回路反馈回路 2 232 ( ) 1( )( )( ) G s G s G s H s H1(s) Xo(s) G1(s) G3(s) H3(s) + Xi(s

56、) 123 1212321233 ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) G sG sG s G sG s H sG sG s H sG sG sG s H s Xi(s) Xo(s) 123 121232 ( )( )( ) 1( )( )( )( )( )( ) G s G s G s G s G s H sG s G s H s H3(s) Xi(s)Xo(s) 3 3、消去、消去H1(s) 反馈回路反馈回路 4 4、消去、消去H3(s) 反馈回路反馈回路 l 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 信号流图起源于梅逊（信号流图起源

57、于梅逊（S. J. MASON）利用图）利用图 示法来描述一个和一组线性代数方程，是由示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节节 点点和和支路支路组成的一种信号传递网络。组成的一种信号传递网络。 信号流图及其术语信号流图及其术语 q 支路支路 连接两个节点的定向线段，用连接两个节点的定向线段，用支路增益支路增益（传（传 递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。 支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单 向传递。向传递。 q 节点节点 表示变量或信号，其值等于所有进入该节表示变量或信号，其值等于所有进入该节 点的信号之和

58、。点的信号之和。节点用节点用“ ”表示。表示。 q 输入节点（源点）输入节点（源点） 只有输出的节点，只有输出的节点，代表系统的输入变量。代表系统的输入变量。 q 输出节点（阱点、汇点）输出节点（阱点、汇点） 只有输入的节点，代表系统的输出变量。只有输入的节点，代表系统的输出变量。 源点源点 汇点汇点 x1x2 x3 x4x5 x5 1 e a f b d c 1 g q 混合节点混合节点 既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一 条具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出条具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出 节点。节点。 x1x2 x3 x4

59、x5 x5 1 e a f b d c 1 g q 通路通路 沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。 q 前向通路前向通路 从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不 多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘 积，称积，称前向通路总增益前向通路总增益，一般用，一般用pk表示。表示。 x1x2 x3 x4x5 x5 1 e a f b d c 1 g q 回路回路 起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭 合通路。回路中所有支路增益之乘积称为

60、回路增合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增 益，用益，用La表示。表示。 x1x2 x3 x4x5 x5 1 e a f b d c 1 g q 不接触回路不接触回路 相互间没有任何公共节点的回路。相互间没有任何公共节点的回路。 梅逊公式梅逊公式 式中，式中，P 系统总传递函数系统总传递函数 k kk PP 1 Pk 第第k条前向通路的传递函数（通条前向通路的传递函数（通 路增益）路增益） 流图特征式流图特征式 Xi(s)到到Xo(s)的信号传递通路称为的信号传递通路称为前向通道前向通道； Xo(s)到到B(s)的信号传递通路称为的信号传递通路称为反馈通道反馈通道； a a L 所有不同