柯西积分定理及其应用PPT学习教案

1、会计学1 柯西积分定理及其应用柯西积分定理及其应用 C B n定理一 如果函数 在单连域内处处解析， 那么积分 与连结从起点到终点的路径 无关. n定理二 如果函数 在单连域B内处 处解析，那末函数 必为B内的 解析函数,且 ，其中F(z)称为f(z)的 原函数. zfzF zf dzzf c ivuzf z z dzzfzF 0 )()( 第1页/共12页 2 1 21 ( )()( ) z z f z dzG zG z 结论： 的任何两个原函数相差一个常数. zf 此时实函数积分的换元、分部积分法均可推广使用 定理三定理三 如果函数f(z)在单连域单连域 B B内处处解析, G(z)为 的

2、一个原函数,那么( )f z 第2页/共12页 zdz i i 2 sin 例5 计算 zdz i i 2 sin 1 cos211 sin2 222 1 sin2 2 i i i zdz zz i ii 第3页/共12页 1 0 1 0 cos 0 1 coscoszdzzzzdz zdzz 1 0 sin zdzz 1 0 sin 1cos1sin 0 1 sincoszzz 第4页/共12页 33 22 1 (2 ) 2 ii zz ii edzedz dze i i z 3 2 .0 2 1 3 2 1 262 iiz ee i i e 第5页/共12页 三、复合闭路定理三、复合闭路定

3、理柯西定理在多连域的推广柯西定理在多连域的推广 n CCCCD 21 为由边界曲线 所围成的多连通区域， ( )f zD在 内解析. 为简单闭曲线设 n CCC, 21 ( (互不包含且互不相交互不包含且互不相交) ) ， 的简单闭曲线，为包含 n CCCC, 21 定理四：定理四： 第6页/共12页 C D ,DD在上连续 则 0)( dzzf 1 ( )( ) . i n CC i f z dzf z dz 或 i C 第7页/共12页 四、闭路变形原理四、闭路变形原理复合闭路定理的特例复合闭路定理的特例 1 . CC f z dzf z dz 11 1 ( ) CCCC f zCCD 推

4、论：假设 及 为任意两条简单闭曲线， 在 内 部，设函数在 及 所围的二连域 内解析，在 边界上连续，则 第8页/共12页 D 证明：取 1 CAB CBA 1 CABCBA 1 0 CC 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值。区域内作连续变形而改变它的值。 -闭路变形原理闭路变形原理 11 CCC C 1 C A B 第9页/共12页 例8试求 的值，C为包含0和1在内的任何 一条正向简单闭曲线。 2 111 () 1zzzz 2 1 , C dz zz 2 1 (1) 1 CCC dzdz dz zzzz 解 ： 211 CC dzdz zz 22 0 ii 闭路变形原理闭路变形原理 第10页/共12页 C 1 C 2 C 0 1 (2) (由复合闭路定理) 12 222