一看就懂的小波变换ppt

1、2021/3/111 小波变换小波变换 小波变换既有频率分析的性质，又能表示发生小波变换既有频率分析的性质，又能表示发生 的时间，有利于分析确定时间发生的现象，傅立的时间，有利于分析确定时间发生的现象，傅立 叶变换只具有频率分析的性质。叶变换只具有频率分析的性质。 小波变换的多分辨率的变换，有利于各分辨度小波变换的多分辨率的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图像压缩、边缘抽取、噪声过不同特征的提取（图像压缩、边缘抽取、噪声过 滤）。滤）。 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。信号可由小波系数来刻画。 小波变换速度比傅立叶

2、快一个数量级，长度为小波变换速度比傅立叶快一个数量级，长度为M 的信号，计算复杂度：的信号，计算复杂度： MMO f2 log MOw 傅立叶变换： 小波变换： 2021/3/112 设有信号f(t): 其傅里叶变 换为F(j): 1 ( )() 2 j t f tF jed 即： 2021/3/113 = + + 024681012141618 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 024681012141618 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 024681012141618 -1 -0.8

3、 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 （t） 1/2（2t-t0） 2/3（4t-t1） 2021/3/114 像(t)这样，有限长且均值为0的函数称为小波函数。 常用的小波函数如下图： 2021/3/115 小波函数必须满足以下两个条件的函数： 小波必须是振荡的； (1) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的。如： 图1 小波例1图2 小波例2 2021/3/116 不是小波的例子 图4 图3 2021/3/117 平均与细节 n设一维信号x1，x2 平均 细节 n则一维信号可以表示成a，d,且原信号可以恢复如下： n当x1与x2非常接近

4、时，一维信号x1，x2可近似的用a表 示，可实现信号压缩。 a可以看成信号的整体信息 d可看成原信号用a表示时丢失的细节信息 )/2x(x a 2 1 )/2x- (x d 21 dax1 d-ax2 2021/3/118 平均与细节 n对多元素信号x1，x2，x3，x4 2/ )( 210, 1 xxa 2/ )( 431 , 1 xxa 2/ )( 210, 1 xxd 2/ )( 431 , 1 xxd 信号可以表示为：a1,0,a1,1,d1,0,d1,1 丢失细节信号压缩为： a1,0,a1,1 2/ )( 1 , 10, 10,0 aaa 2/ )( 1 , 10, 10,0 aa

5、d 信号可进一步表示为：a0,0, d0,0 丢失细节信号压缩为： a0,04/ )( 43210, 0 xxxxa 2021/3/119 平均与细节 nx1，x2，x3，x4最高分辨率信息 na1,0,a1,1次高分辨率低频信息 nd1,0,d1,1次高分辨率细节信息 na0,0最低分辨率低频信息 nd0,0最低分辨率细节信息 x1，x2，x3，x4的小波变换a0,0,d0,0,d1,0,d1,1由整体 平均和两个不同分辨率的细节信息构成 2021/3/1110 金字塔算法 一维信号3,1,-2,4的小波变换为1.5,0.5,1,-3 1.5：最低分辨率低频信息 0.5：最低分辨率细节信息

6、2,1：次高分辨率低频信息 1,-3：次高分辨率细节信息 3,1,-2,4：最高分辨率信息 2021/3/1111 尺度函数与小波函数 信号序列x1，x2，x3，x4看成单位区间上的一个函数 )()()()()( )1 , 4/34)4/3 , 2/13)2/1 , 4/12)4/1 , 01 tXxtXxtXxtXxtf )4/1()( )4/1 , 0)2/1 , 4/1 tXtX )2/1()( )4/1 , 0)4/3 , 2/1 tXtX )4/3()( )4/1 , 0)1 , 4/3 tXtX )2()( 2 )1 , 0)4/1 , 0 tXtX 平移 伸缩 2021/3/11

7、12 引入记号：)()( )1 ,0 tXt 定义： )2()( , ktt j kj 12 , 1 , 0 j k 可得： )( 0, 0 t 2021/3/1113 0 1 )2( 0, 1 t 2/10t 其它 0 1 ) 12( 1 , 1 t 其它 12/1t )()()()()( 3 , 242, 231 , 220, 21 txtxtxtxtf 函数可以由一个尺度函数的伸缩与平移的线性组合表示 2021/3/1114 2/10 t 同理，对小波变换 0 1 1 )()()( )1 , 2/1 )2/1 , 0 tXtXt 其它 12/1 t 伸缩和平移 2021/3/1115 序

8、列的多分辨率表示： )()()()()( 1 , 11 , 10, 10, 10,00,00,00,0 tdtdtdtatf 2021/3/1116 n44图像的二维Harr小波变换 3695 2176 8354 4321 行小波变换 5 . 125 . 47 5 . 05 . 05 . 15 . 6 5 . 05 . 05 . 55 . 4 5 . 05 . 05 . 35 . 1 115 . 05 . 1 5 . 1025. 15 . 0 5 . 1135 . 4 25. 05 . 175. 63 列小波变换 左上角二维小波变换 115 . 05 . 1 5 . 1025. 15 . 0

9、5 . 1175. 075. 3 25. 05 . 185. 185. 4 2021/3/1117 1.1 一维小波变换（一维多尺度分析）一维小波变换（一维多尺度分析） 设有L2(R )空间的子空间序列： 210 VVV Vj 的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数(x)经伸缩 平移得到的 kxx jj k 2 设Wj 是Vj 相对于Vj+1的正交补空间， Wj 的正交基函数是由一个称为小波函数的函数(x)经伸 缩平移得到的 kxx jj k 2 ) 12()2()(ttt 2021/3/1118 xx j k j k ,构成Vj+1的正交基。 xx和满足下列关系式(二尺度方程)： nlnh

10、nhnl nxnhx nxnlx n Zn Zn 11 22 22 且 称为高通滤波器。称为低通滤波器，其中 2021/3/1119 信号的多尺度分解： 算法一维 计算：称为小波系数，它们的称为尺度系数， MALLAT knhdd knlcc dc xdxcnxcxf Zn j k j k Zn j k j k j k j k J jk J k j k k J k J k Zn n 2 2 1 1 1 0 2021/3/1120 2021/3/1121 求得小波系数的算式就是小波正变换。 , ( , )( )( ) fa b Wa bf xx dx 该式也可以理解为f(x)和a,b(x)内积，

11、小波系数表示二者 的相似程度，或f(x)中含有a,b(x)成分的多少 。 2021/3/1122 小波系数有a和b两个自变量，分别代表不同的尺度（时间） 和频率，所以小波分析属于时频分析。 2021/3/1123 Haar小波 （1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8 ） （1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8） （1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0, 0, 0） （ 0, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4） （1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0,

12、0, 0） （ 0, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0） （ 0, 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0 , 0） （ 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 1/2, -1/2） 连续Haar小波 对应的离散Haar小波 2021/3/1124 离散小波变换 离散小波变换就是做向量的内积。 例：对（64， 2， 3， 61， 60， 6， 7， 57）做Haar小波变换 1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8 1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8 1/4, 1/4 ,-1/4

13、, -1/4, 0, 0, 0, 0 0, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0 0, 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0 , 0 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 1/2, -1/2 6432.5 20 30.5 610.5 6031 629 727 5725 2021/3/1125 Haar小波变换第二种做法： 64, 2, 3, 61, 60, 6, 7, 57 64+23+6160+67+5764-23-6160-67-57 33

14、(),32(), 33(),32(),31(),-29(),27(),-25() 22222222 64+2+3+6160+6+7+5764+2-3-6160+6-7-57 32.5(),32.5(), 0.5(),0.5(),31,-29,27,-25 4444 64+2+3+61+60+6+7+5764+2+3+61-60-6-7-57 32.5(),0(), 0.5,0.5,31,-29,27,-25 88 32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25 2021/3/1126 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 0 1 1 -1 0 0 1 0 0

15、 1 1 -1 0 0 -1 0 0 1 -1 0 1 0 32.5 0 0.5 0.5 0 1 031 1 -1 0 1 0 0 -1 029 1 -1 0 -1 0 0 0 127 1 -1 0 -1 0 0 0 -1 25 64 2 3 61 60 6 7 57 Haar小波反变换： 2021/3/1127 32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25 32.5(32.5+0),32.5(32.5-0), 0.5,0.5,31,-29,27,-25 33(35.2+0.5),32(32.5-0.5), 33(32.5+0.5),32(32.5-0.5),31,-29,27,

16、-25 64(33+31), 2(33-31), 3(32-29), 61(32+29), 60(33+27), 6(33-27), 7(32-25), 57(32+25) Haar小波反变换第二种做法： 2021/3/1128 1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）二维小波变换（二维多尺度分析） 二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即： yxyx yxyx yxyx yxyx HH HL LH LL , ;, ;, ;, 图像的二维小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直 方向)滤波和2-下采样，如图所示： 2021/

17、3/1129 图5 图像滤波采样 2021/3/1130 说明：如图所示，首先对原图像说明：如图所示，首先对原图像I(x,y)沿行向沿行向(水平水平 方向方向)进行滤波和进行滤波和2-1下采样，得到系数矩阵下采样，得到系数矩阵IL(x,y) 和和IH(x,y)，然后再对，然后再对IL(x,y)和和IH(x,y)分别沿列向分别沿列向(垂垂 直方向直方向)滤波和滤波和2-1下采样，最后得到一层小波分下采样，最后得到一层小波分 解的解的4个子图个子图： q ILL (x,y)I(x,y)的（粗）逼近子图的（粗）逼近子图 q IHL(x,y) I(x,y)的水平方向细节子图的水平方向细节子图 q IL

18、H (x,y) I(x,y)的垂直方向细节子图的垂直方向细节子图 q IHH (x,y) I(x,y)的对角线方向细节子图的对角线方向细节子图 2021/3/1131 二维金字塔分解算法二维金字塔分解算法 令I(x,y)表示大小为MN的原始图像，l(i)表示相对于分析 小波的低通滤波器系数，i=0,1,2,Nl-1， Nl表示滤波器L的 支撑长度； h(i)表示相对于分析小波的高通滤波器系数， i=0,1,2,Nh-1， Nh表示滤波器H的支撑长度，则 1, 1 , 0; 1 2 , 1 , 0 ,mod2 1 , ,mod2 1 , 1 0 1 0 Ny M x yMjxIjh N yxI

19、yMixIil N yxI h l N j h H N i l L 2021/3/1132 1 2 , 1 , 0; 1 2 , 1 , 0 mod2, 1 , mod2, 1 , mod2, 1 , mod2, 1 , 1 0 1 0 1 0 1 0 N y M x NjxxIjh N yxI NixxIil N yxI NjxxIjh N yxI NixxIil N yxI h l h l N j H h HH N i H l HL N j L h LH N i L l LL 2021/3/1133 对逼近子图重复此过程，直到确定的分解水平，下 图是二层小波分解的示意图。 图6 图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解 2021/3/1134 q 图像的小波特征提取首先对输入图像做J层二维 小波分解； q 因为小波变换具有很好的时频局部化特性，所 以可以将图像的不同底层特征变换为不同的小波系 数； q 输入图像经过经一层小波分解后，被分成4个子 图： LL1逼近子图，它代表输入图像水平和垂直 两个方向的低频成分； HL1细节子图，它代表输入图像水平方向的 高频成分和垂直方向的低频成分； 2021/3/1135 LH1细节子图，它代表输入图像水平方向的 低频成分和垂直方向的