仿射变换原理解析

1、2021/3/111 仿射变换仿射变换 1. 透视仿射对应透视仿射对应 定义定义 对于空间中两平面对于空间中两平面 , , 给定一个与两平面不平行的投射给定一个与两平面不平行的投射 方向方向, 则确定了则确定了 到到 的一个的一个透视仿透视仿 射对应射对应(平行投影平行投影). 上任一点上任一点P在在 上的像即为过上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与且平行于投射方向的直线与 的的 交点交点P. 注注1. 透视仿射对应的基本性质透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行；且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线；平行直

2、线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变从而保持两平行线段的比值不变. 注注2. , 的交线称为透视仿射的的交线称为透视仿射的轴轴. 若若 / 则没有轴则没有轴. 2021/3/112 2. 仿射变换仿射变换 定义定义 对于空间中一组平面对于空间中一组平面 , 1, 2, , n, , 设以下对应均为设以下对应均为 透视仿射对应：透视仿射对应： 01112 :,:, .,: nn 则称这则称这n个透视仿射的积个透视仿射的积 为为 到到 的一个的一个仿射对应仿射对应. 若若 , 则称则称 为平面为平面 上的一个上的一个仿射变换仿射变换.

3、注注. 仿射变换的基本性质仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射；使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线；平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变从而保持两平行线段的比值不变. 2021/3/113 定义定义 设设 为平面为平面 上的一个点变换上的一个点变换, 满足满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射；为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比；使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线使得相互

4、平行的直线变为相互平行的直线, 则称则称 为为 上的一个上的一个仿射变换仿射变换. 定理定理 仿射变换是双射仿射变换是双射.设设A表示平面上全体仿射变换的集合表示平面上全体仿射变换的集合. 则有则有 (1) , A, 有有 A. (2) 恒同变换恒同变换i A. (3) S, 存在存在 1 A, 满足满足 1 1 i. 上述性质使得上述性质使得A对于变换的乘法构成一个对于变换的乘法构成一个群群, 叫做叫做仿射变换群仿射变换群. 而而 且且M S A. 2021/3/114 3. 仿射坐标系仿射坐标系 定义定义 设在平面上取定一点设在平面上取定一点O和以和以O为起点的两个为起点的两个线性无关向线

5、性无关向 量量ex, ey, 则由此构成平面上一个则由此构成平面上一个仿射坐标系仿射坐标系(或或仿射坐标架仿射坐标架), 记作记作 O-exey. 平面上任一点平面上任一点P的仿射坐标的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定由下式唯一确定, . xy OPxeye 反之反之, 对任意给定的有序实数偶对任意给定的有序实数偶(x, y), 由由 (1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点式可唯一确定仿射平面上的一个点 具有坐标具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面建立了仿射坐标系的平面 称为称为仿射平面仿射平面, ex, ey称为称为基向量基向量. 注注 若若ex, ey为单位正交向量为单位正

6、交向量, 则则O-exey成为笛卡儿直角坐标系成为笛卡儿直角坐标系. () () x xx x y yy y OP xP E O OE OP yP E O OE 2021/3/115 定理定理 设在平面设在平面 上取定了一个上取定了一个仿射坐标系仿射坐标系O-exey, 点变换点变换 为为 上的一个仿射变换上的一个仿射变换 有表达式有表达式 111213131112 212223232122 . xa xa yaaaaxx ya xa yaaaayy 或 其中其中(x, y)与与(x, y)为任一对对应点为任一对对应点P, P 的坐标的坐标, 矩阵矩阵 1112 2122 aa A aa 满足

7、满足|A| 0, 称为仿射变换称为仿射变换 的矩阵的矩阵. 平面仿射几何就是研究在仿射变换群平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的的作用下保持不变的 几何性质与几何量几何性质与几何量. 由定义由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行这些不变的性质和数量必定只与平行 性、共线三点的简单比有关性、共线三点的简单比有关. 定理定理 平面平面 上的仿射变换上的仿射变换 将一个仿射坐标系将一个仿射坐标系O-exey变为另一变为另一 个仿射坐标系个仿射坐标系O-exey. 2021/3/116 一、正交变换一、正交变换 定义定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上保持平面上任

8、意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个的一个正交变换正交变换. . 定理定理 正交变换是双射正交变换是双射.设设M表示平面上全体正交变换的集合表示平面上全体正交变换的集合. 则有则有 (1) , M, 有有 M. (2) 恒同变换恒同变换i M. (3) M, 存在存在 1 M, 满足满足 1= 1 =i. 注注：设：设 为平面上的一个正交变换为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点为平面上两个点, , 且且 (A)=A, (B)=B , 则则|AB|=|AB|. 上述性质使得上述性质使得M对于变换的乘法构成一个对于变换的乘法构成一个群群, 叫做叫做正交变换群正交变换群. 202

9、1/3/117 定理定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点不共线三点 变成不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变而且保持两直线的夹角不变. 证明证明 设设A, B, C为平面上三点为平面上三点, 为正交变换为正交变换, 且上述三点在且上述三点在 下的像依次为下的像依次为A, B, C. . 若若A, B, C共线且共线且B在在A, C之间之间, 则有则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变由正交变 换的定义有换的定义有 | | |.ABBCACA BB CA C 即即A, B, C仍然为共线三点且仍然为共线三点且B在在A,

10、 C之间之间. 若若A, B, C不共线不共线, 则必有则必有 | | | | | | ABBCACA BB CA C ABBCACA BB CA C 即即A, B, C仍然为不共线三点仍然为不共线三点. 2021/3/118 定理定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点不共线三点 变成不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变而且保持两直线的夹角不变. 证明证明 设设A, B, C为平面上三点为平面上三点, 为正交变换为正交变换, 且上述三点在且上述三点在 下的像依次为下的像依次为A, B, C. . 设设A, C分别在分别在 B

11、两边上且异于两边上且异于B, 则则A, B分别在分别在 B的两边上的两边上. 且且|AB|=|AB|, |BC|=|BC|, |AC|=|AC|. 即即 ABC ABC, 于是于是, B = B, 即正交变换保持两直线的夹角不变即正交变换保持两直线的夹角不变. 推论推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其叠合使得任何平面图形变为可以与其叠合(合同合同)的图形的图形. (2) 正交变换使得平行直线变为

12、平行直线正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全矩形变为与之全 等的矩形等的矩形. 2021/3/119 推论推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系. 正交变换正交变换 将平面上的一个直角坐标系将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角变为另一个直角 坐标系坐标系O-exey, ,有下述可能有下述可能 右手系右手系右手系右手系右手系右手系左手系左手系 2021/3/1110 定理定理 对于平面上的一个取定的直角坐标系对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换点变换 是正交变是正交变 换换 具有表达式具有表达式 1112131

13、31112 212223232122 .(1.1) xa xa yaaaaxx ya xa yaaaayy 或 其中其中(x, y)与与(x, y)为为 的任一对对应点的任一对对应点P, P的坐标的坐标, 矩阵矩阵 1112 2122 aa A aa 注注：对于正交变换：对于正交变换 的矩阵的矩阵A, 显然有显然有A 1=AT, 且且|A|= 1. 当当|A|=1时时, 将右手系变为右手系将右手系变为右手系, 称称 为为第一类正交变换第一类正交变换； 当当|A|= 1时时, 将右手系变为左手系将右手系变为左手系, 称称 为为第二类正交变换第二类正交变换. 称为称为 的矩阵的矩阵, 满足满足AA

14、T=ATA=E, 为二阶为二阶正交矩阵正交矩阵. 2021/3/1111 (1). 平移变换平移变换 定义定义 将平面上的每个点都向着同一将平面上的每个点都向着同一 个方向移动相同的距离的变换称为平面个方向移动相同的距离的变换称为平面 上的一个上的一个平移变换平移变换, 简称简称平移平移. 定理定理 设在平面上取定了一个笛氏直角坐标系设在平面上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey, 并给定一并给定一 个向量个向量c(c1, c2). 则由此可惟一确定平面上的一个平移则由此可惟一确定平面上的一个平移 , 其直角坐其直角坐 标表示为标表示为 11 22 10 (1.3) 01 xxccxx yyc

15、cyy 或 其中其中(x,y)与与(x,y)为平面上任一点为平面上任一点P与其在与其在 下的像点下的像点P的坐标的坐标. 注注：显然显然, 平移是正交变换平移是正交变换. 正交变换特例正交变换特例 2021/3/1112 定义定义 将平面上的每个点都绕着同一个将平面上的每个点都绕着同一个 点旋转相同的角度的变换称为平面上的一点旋转相同的角度的变换称为平面上的一 个个旋转变换旋转变换, 简称简称旋转旋转. (2). 旋转变换旋转变换 定理定理 设旋转设旋转 使得平面上的每个点都使得平面上的每个点都 绕着坐标原点绕着坐标原点O旋转角度旋转角度 , 则则 的直角坐的直角坐 标表示为标表示为 coss

16、incossin .(1.4) sincossincos xxyxx yxyyy 或 证明证明 设设|OP|=|OP|=r, OP与与x轴正向夹角为轴正向夹角为 . 则则 cos,sin;cos(),sin()xryrxryr cos()coscossinsincossin sin()sincoscossinsincos xrrrxy yrrrxy 利用三角恒等式展开利用三角恒等式展开, 可得可得 2021/3/1113 注注：显然显然, 旋转变换是正交变换旋转变换是正交变换. 定理定理 平面上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类平面上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类 正交变换正交变换

17、. 进而进而, 平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个 第一类正交变换第一类正交变换. 第一类正交变换称为平面上的第一类正交变换称为平面上的刚体运动刚体运动. . 2021/3/1114 (3). 轴反射变换轴反射变换 怎样的变换可以使得怎样的变换可以使得 ABC 重合于重合于 ABC ? 仅平移和旋转是不可能的仅平移和旋转是不可能的. 定义定义 设设l为平面上取定的一条直为平面上取定的一条直 线线. 将平面上的每个点都变为关于将平面上的每个点都变为关于l 的对称点的变换称为平面上的一个的对称点的变换称为平面上的一个 轴反射变换轴反射变换, 简称简称轴反射轴反

18、射, 直线直线l称为称为 反射轴反射轴. 2021/3/1115 10 .(1.5) 01 xxxx yyyy 或 关于关于y轴的轴反射变换为轴的轴反射变换为 10 .(1.6) 01 xxxx yyyy 或 注注1. 显然显然, 轴反射是一个第二类正交变换轴反射是一个第二类正交变换. 注注2. 应用应用(1.5)于上述平面于上述平面, 即可将即可将 ABC变为变为 ABC. 定理定理 关于关于x轴的轴反射变换为轴的轴反射变换为 2021/3/1116 定理定理 平面上的一个轴反射与一个第一类正交变换的乘积是一平面上的一个轴反射与一个第一类正交变换的乘积是一 个第二类正交变换个第二类正交变换.

19、 从而从而, 平面上一个点变换平面上一个点变换 是正交变换是正交变换 可表示为有限次平可表示为有限次平 移、旋转与轴反射的乘积移、旋转与轴反射的乘积. 归纳：以几何变换的观点看待欧氏几何以几何变换的观点看待欧氏几何. 欧氏几何就是研究在正交变换群欧氏几何就是研究在正交变换群M的作用下的作用下 保持不变的几何量和几何性质保持不变的几何量和几何性质, 即所有与距即所有与距 离有关的几何量和几何性质离有关的几何量和几何性质. 2021/3/1117 注注. 位似变换的基本性质位似变换的基本性质 (1) 对应点连线经过定点对应点连线经过定点(位似中心位似中心); (2) 保持共线三点的简单比不变保持共

20、线三点的简单比不变; (3) 使得直线使得直线(不过不过O)变为其平行直变为其平行直 线线; (4) 使得任意一对对应线段的比值等使得任意一对对应线段的比值等 于位似比于位似比k. 定义定义 设设O为为 上取定的一点上取定的一点, 为为 上的一个点变换上的一个点变换. 满足满足 (1) (O) O, (2) 对于对于O P , (P) P, 则则P在在OP上上, 且且(PPO)=k(k 0), 则则 称为称为 上的一个以上的一个以O为为位似中心位似中心, k为为位似比位似比的的位似变换位似变换. 二、相似变换二、相似变换 1. 位似变换位似变换 2021/3/1118 定理定理 设在平面设在平面 上取定了一个笛氏直角坐标系上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey, k 0为任为任 意实常数意实常数. 则则 上的一个点变换上的一个点变换 是以是以O为位似中心为位似中心, k为位似比的为位似比的 位似变换位似变换 可可表示为表示为 0 (1.8) 0 xkxxkx ykyyky 或 其中其中(x,y)与与(x,y)为平面为平面 上任一点上任一点P与其在与其在 下的像点下的像点P的坐标的坐标. 一个一般的位似变换是一个以原点为中心的位似与一个平移一个一般的位似变换是一个以原点为中心的位似与一个平移 的积的积, 若若k 1则为平移则为