用弹性中心法计算对称无铰拱PPT学习教案

1、会计学1 用弹性中心法计算对称无铰拱用弹性中心法计算对称无铰拱 All Rights Reserved 第二步，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端O处 切开。 第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。 s GA FF s EA FF s EI MM ddd 2Q1Q 2N1N21 12 副系数 12的算式如下： FP AB EI= C O FP A B K C x y y ys X1X1 X2X2 X3X3 O 第1页/共20页 All Rights Reserved 00d )() 1 ( 2112 s EI yy S 得 s EI ys EI y S d 1 d cos,

2、sin, sin,cos, 0, 0, 1 Q3N33 Q2N22 Q1N11 FFxM FFyyM FFM S 式中，yS为刚臂长度；为 截面处拱轴切线与水平线之 间的夹角，在右半拱取正， 左半拱取负。 xx x yy y y ys KK K X1=1X1=1X2=1X2=1 X3=1X3=1 x 第2页/共20页 All Rights Reserved 令 12= 21=0，便可得到刚臂长度yS为 为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等 于1/EI的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而式（7-14）就 是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结 构的弹性性质EI

3、有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为 弹性中心。 s EI s EI y yS d 1 d (7-14) 如果先按式（7-14）求出yS，即确定弹性中心的位置， 并将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图7-37d所示带刚臂 的基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方 法就称为弹性中心法。 ys x y y ds O 弹性中心 EI 1 第3页/共20页 All Rights Reserved 二、荷载作用下的计算 力法方程简化为式 0 0 0 P3333 P2222 P1111 X X X 当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合

4、理拱轴时， 或拱高fl/5且拱顶截面高度hcl/10时，还需 考虑轴力对 22的影响。即 第4页/共20页 All Rights Reserved s EI MM s EI MM s EI MM s EI x s EI M s EA s EI yy s EA F s EI M s EI s EI M S d d d dd d cos d )( dd d 1 d P3 P3 P2 P2 P1 P1 2 2 3 33 222 2N 2 2 22 2 1 11 第5页/共20页 All Rights Reserved 由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔 离体的平衡条件或内力叠加公式

5、参见单位未知力引起的内力 表达式（d）求得 NP32N QP32Q P321 sincos cossin )( FXXF FXXF MxXyyXXM S 式中，MP、FQP和FNP分别为基本结构在荷载作用下该截面的 弯矩、剪力和轴力。 弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次 超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。 第6页/共20页 All Rights Reserved 【例7-14】试用弹性中心法计算图7-40a所示圆拱直墙刚架的 弯矩MA和MC。设EI=常数。 解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因 为 xqsqdcos)d( yqsqdsin)d( 由于荷载对称，故

6、反对称力X3=0 q q R R AB C ds qds qdssin qdscos qds dx dy ds x y ys X1X1 X2X2 X3X3 基本体系 第7页/共20页 All Rights Reserved (1)求弹性中心位置 R y EI R EI yy EI RR EI s EI s EI y y R R R R S 81. 0 d 2 d 2 d 2 d)cos1 ( 2 d 1 d 2 2 0 2 2 0 q q R R AB C ds qds qdssin qdscos qds dx dy ds x y ys X1X1 X2X2 X3X3 基本体系 第8页/共20页

7、 All Rights Reserved (2)计算系数和自由项 由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为 1）在X1=1作用下 直、曲杆段 1 1 M 2）在X2=1作用下 曲杆段 2 (1cos )0.81(0.19cos ) s MyyRRR 直杆段 RyyyM S 81. 0 2 q qds dx dy ds x y ys X1X1 X2X2 X3X3 基本体系 X2 =1 ys y 2 M 第9页/共20页 All Rights Reserved 3）在荷载作用下 曲杆段 2 2 2 P )cos1 ( 2 )sin( 2 qR R q M )cos1 ( 2 qR 直杆段 22 22 P

8、qyqR M 据此，可求得系数和自由项为 EI R y EI R EI s EI M R R 14. 5 d1 2 d1 2 d 2 2 0 2 1 11 q q q q ys y R MP MP (曲杆段) (直杆段) 第10页/共20页 All Rights Reserved 23 2 2222 2 22 0 222.04 d(0.19-cos )d(0.81 ) d R R MR sRRyRy EIEIEIEI EI qR y qyqR EI RqR EI s EI MM R R 3 2 22 2 0 2 P1 P1 47. 4 d) 22 (1- 2 d)cos-(11- 2 d EI

9、 qR y qyqR Ry EI RqRR EI s EI MM R R 4 2 22 2 0 2 P2 P2 43. 2 d) 22 ()81. 0(- 2 d)cos-(1)cos-(0.19- 2 d 第11页/共20页 All Rights Reserved (3)求多余未知力X1和X2 2 3 11 P1 1 87. 0 14. 5 47. 4 qR R EI EI qR X qR R EI EI qR X14. 1 04. 2 43. 2 3 4 22 P2 2 (4)根据叠加公式，求得 （外侧受拉） 2 22 2 P21 27. 0 2 )2( 2 )81. 02(14. 187

10、. 0 )( qR RqqR RRqRqR MyyXXM SA 22 12 0.871.140.810.05 CS MXX yqRqRRqR （外侧受拉） 第12页/共20页 All Rights Reserved 三、温度变化时的计算 无铰拱在温度变化时，将会产生明显的内力。设图7-41a所示 对称无铰拱的外侧温度升高t1，内侧温度升高t2。力法计 算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图7-41b所示。由于温 度变化对称于y轴，因此有X3=0，力法方程简化为 0 0 2222 1111 t t X X （7-16） xx ys f l/2l/2 y y +t1 +t1 +t2 +t2 X1X1

11、 X2X2 X3X3 基本体系 第13页/共20页 All Rights Reserved 主系数计算同式（7-15），自由项为 sFts h M t i i it dd N0 (f) 分别把 、 和 、 代 入式（f），得 1 1 M0 1N F S yyM 2 cos N2 F h s t t d 1 s EA s EI yy lt XX S d cos d )( , 0 22 0 21 于是有 这表明，当全拱内外侧温度均匀改变时，在弹性中心处只 有水平多余力X2。当温度升高时，X2为正方向，使拱截面内产 生压力；温度降低时，X2为反方向，使拱截面内产生拉力。对 于混凝土拱，应注意避免由于

12、降温引起的拉力使拱产生裂缝。 第14页/共20页 All Rights Reserved 当多余未知力确定以后，拱上任意截面的内力均可按式（ e） （令荷载项为零）求出。 混凝土的收缩对超静定结构的影响与温度均匀下降的情 况相似，故可用温度均匀变化的计算方式来处理。混凝土的 温度线膨胀系数为a =0.00001，而一般混凝土的收缩率a t约 为0.025%，相当于温度均匀下降25。若拱体的混凝土是分 段分期浇筑的，则其收缩的影响通常相当于温度下降 1015。 第15页/共20页 All Rights Reserved 四、支座移动时的计算 力法方程为 0 0 0 3333 2222 1111

13、c c c X X X 式中，主系数计算同 式（7-15），自由项 为 cF iicR （g） x x y y l/2l/2 f a a b b ys X1X1 X2X2 X3X3 基本体系 第16页/共20页 All Rights Reserved 求出各单位多余力作用于基本结 构时与支座位移相应的支座反力 （图7-42c），代入式（g），得 )1( 1c 2 ()1 () cS S fya fya b l b l c 2 )1 2 ( 3 X1 =1 X2 =1 X3 =1 1 0 0 1 0 1 0 l/2 f-ys 第17页/共20页 All Rights Reserved s EI x b l X s EA s EI yy ayf X EI s X c S Sc c d 2