(完整word版)压轴题解题策略：面积的存在性问题.doc

1、中考数学压轴题解题策略面积的存在性问题解题策略2015 年 9 月 24 日星期四专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确例题解析例 ? 如图 1-1，矩形 ABCD 的顶点 C 在 y 轴右侧沿抛物线yx2 6x 10 滑动，在滑动过程中 CD/x 轴， CD 1， AB 在CD 的下方当点 D 在 y 轴上时， AB 落在 x 轴上当矩形 ABCD在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积比为1:4 时， 求点 C 的坐标图 1-1【解析】先求出CB 5，再进行

2、两次转化，然后解方程把上下两部分的面积比为14 转化为 S 上S 全15或 S上S全45把面积比转化为点C 的纵坐标为 1 或 4如图 1-2，C (3, 1)如图 1-3， C( 33 ,4)或(3 3 ,4)图 1-2图 1-3例 ?如图 2-1，二次函数y (x m)2 k 的图象与x 轴交于 A、B 两点，顶点M 的坐标为(1, 4)，AM 与 y 轴相交于点C，在抛物线上是否还存在点P，使得 S PMB=SBCM ，如存在，求出点 P 的坐标图 2-1【解析】 BCM 是确定的， PBM 与三角形BCM 有公共边BM，根据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点

3、 C 画 BM 的平行线与抛物线的交点就是点 P一目了然，点P 有 2 个由 y (x 1)2 4(x1)(x3)，得 A( 1,0)， B(3,0) 由 A、 M，得 C(0, 2)如图 2-2，设 P(x, x2 2x 3)，由 PC/BM，得 CPE BMF 所以 CEBF PEMF解方程 ( x 1)24 24 ，得 x 25所以 P(2 5,2 2 5) 或 (25,22 5)x2图 2-2例 ? 如图 3-1，直线 y x 1 与抛物线 y x2 2x3 交于 AB 上方抛物线上的一点，四边形 PAQB 是平行四边形，当四边形点 P 的坐标A、 B 两点，点 P 是直线 PAQB

4、的面积最大时，求图 3-1【解析】 PAB 的面积最大时，平行四边形PAQB 的面积也最大我们介绍三种割补的方法求PAB 的面积：如图 3-2，把 PAB 分割为两个共底 PE 的三角形， 高的和等于 A、B 两点间的水平距离；如图 3-3，用四边形 PACB 的面积减去 ABC的面积；如图3-4，用直角梯形ABNM 的面积减去两个直角三角形的面积我们借用图 3-2 介绍一个典型结论已知A( 1,0)、 B(2, 3) ，设 P(x, x2 2x 3)S PAB SPAES PBE1BD)1( yP yE )( xBxA )PE( AF22 1 ( x2x 2)33 ( x1 ) 227 22

5、28当 x1 时， PAB 的面积最大 x1 的几何意义是点E 为 AB 的中 点，这是一个典型22结论同时我们可以看到，由于xB xA 是定值，因此当 PE 最大时， PAB 的面积最大图 3-2图 3-3图 3-4例 ? 如图 4-1，在平行四边形 A BCD 中， AB 3， BC 5， AC AB， ACD 沿 AC 方向匀速平移得到 PNM ，速度为每秒 1 个单位长度；同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为每秒 1 个单位长度；当 PNM 停止运动时，点 Q 也停止运动，如图 4-2，设移动时间为 t 秒（ 0 t 4）是否存 在某一时刻 t，使 SQMC S

6、四边形 ABQP 1 4？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 4-1图 4-2【解析】两步转化，问题就解决了QMC 与 QPC 是同底等高的三角形，QPC 是ABC 的一部分因此 S QMC S 四边形 ABQP 1 4 就转化为 S QPCS ABC 1 5，更进一步转化为S QPC 6 如图 4-3，解方程 13(4 t) t6，得 t 25255图 4-3例 ? 如图 5-1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为 (0, 1) ，直线 y 2x 4 与抛物线y1 x2 相交于点 B，与 y 轴交于点 D将 ABD 沿直线 BD 折叠后，点 A 落在点 C 处（如4图 5-2），

7、问在抛物线上是否存在点 P，使得 SPCD 3S PAB？如果存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1图 2【解析】由A(0, 1) ，B(4,4)， D(0, 4)，可得ABAD 5，这里隐含了四边形 ADCB是菱形因此PCD与 PAB 是等底三角形，而且两底CD /AB如果S PCD 3S PAB，那么点P 到直线CD的距离等于它到直线AB 距离的3 倍如果过点P 与CD平行的直线与y 轴交于点Q，那么点Q 到直线CD的距离等于它到直线 AB 距离的3 倍所以QD 3QA点Q 的位置有两个，在DA的延长线上或AD上如图 5-3736537365，过点 Q (0

8、， ) 画 CD 的平行线，得 P (2，8) ，或236537 365(2，8) 如图 5-4，过点 Q (0,135735357 35) ) 画 CD 的平行线，得 P (2，8)，或 (，428图 5-3图 5-4例 ? 如图 6-1，抛物线 y1x25x 经过点 E(6, n)，与 x 轴正半轴交于点A，若点 P84为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E 为顶点的四边形的面积记作 S，则S 取何值时，相应的点 P 有且只有3 个？图 6-1【解析】如图 6-2，当点 P 在直线 AE 上方的抛物线上，过点P 作 AE 的平行线，当这条直线与抛物线相切时，PAE 的面积最大

9、这时我们可以在直线OE 的上方画一条与 OE平行的直线，这条直线与抛物线有2 个交点 P和 P，满足 S PAE SP OE SPOE设过点 P 与直线 AE 平行的直线为 y3x m ，联立 y1x25x ，消去 y，整理，484得 x2 16x 8m 0由 0，解得 m 8因此方程 x2 16x 64 0 的根为 x x 8所以 P(8, 2) 12如图 6-3，作 PH x 轴于 H ，可以求得S S 四边形 OAPE 9 5 2 16图 6-2图 6-3例 ? 如图 7-1，点 P 是第二象限内抛物线 y1x 28 上的一个动点， 点 D 、E 的坐标8分别为 (0, 6)、 ( 4,

10、 0)若将“使 PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点” ，请写出所有“好点”的个数图 7-1【解析】第一步，求 PDE 的面积 S 关于点 P 的横坐标 x 的函数关系式；第二步，分析 S 关于 x 的函数关系式如图 7-2，S PDE S POD S POE SDOE 124( x 6) 13 因此 S 是 x 的二次函数，对称轴为直线x 6， S 的最大值为 13如图 7-3，当 8 x 0 时， 4 S 13所以面积的值为整数的个数为10当 S12 时，对应的 x 有两个解 8, 4，都在 8x 0 范围内所以“使 PDE 的面积为整数” 的 “好点” P 共有 11 个图 7-2

11、图 7-3例 ? 如图 8-1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为 (a,3) （其中 a 4），射线OA 与反比例函数 y12 的图象交于点 P，点 B、C 分x别在函数 y12 的图象上，且 AB/x 轴， AC/y 轴试x说明 S ABP 的值是否随a 的变化而变化？S ACP图 8-1【解析】如图8-2，我们在“大环境”中认识这个问题，关系清清楚楚由于 S1S2，所以 SABO S ACO所以 B、 C 到AO 的距离相等于是ABP 与 ACP 就是同底等高的三角形，它们的面积比为1图 8-2例 ? 如图 9-1，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角 AOB90，点 C 是弧 A

12、B 上的一个动点， CD OA 于 D， CE OB 于 E，求四边形 ODCE 的面积的最大值图 9-1【解析】如图 9-2，图 9-3，设矩形 ODCE 的对角线交于点 F ，那么 OF 1 为定值作 OH DE 于 H，那么 OH OF因为 DE 2 为定值，因此当 OH 与 OF 相等时（如图 9-4）， DOE 的面积最大，最大值为1所以矩形ODCE 的面积的最大值为2图 9-2图 9-3图 9-4例 ? 如图 10-1，在 ABC 中， C90， A C 6， BC 8，设直线 l 与斜边 AB 交于点 E，与直角边交于点 F，设 AE x，是否存在直线 l 同时平分 ABC 的周长和面积？若存在直线 l，求出 x 的值；若不存在直线l ，请说明理由图 10-1【 解析】先假设存在，再列方程，如果方程有解那么真的存在 ABC 的周长为 24，面积为24如图 10-2，点 F 在 AC 上，假设直线EF 同时平分 ABC 的周长和面积， 那么 AE x，AF 12 x， EG4 x 解方程 1 (12x)4 x 12 ，得 x 6 6 52