(完整word版)泛函中三大定理的认识.doc

1、泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于 20 世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即 Hahn-Banach定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。其中：一致有界定理， 该定理描述一族有界算子的性质； 谱定理包括一系列结果， 其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达， 该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕 - 巴拿赫定理（ Hahn-Banach Theorem）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。 另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设 G 为线性赋范空间X 的线性子空

2、间，f 是 G 上的任一线性有界泛函，则存在 X上的线性有界泛函F ，满足：(1) 当xG 时，F (x)f (x) ；(2)FXf G ；其中FX表示F作为延拓定理被应用于X 上的线性泛函时的范数；f G 表示 G 上的线性泛函的范数Riesz 定理、 Liouville定理的证明及二次共轭空间等的研究中2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数” ，将此概念和结论推广到更一般的空间定义 1逆算子 ( 广义上 ) ：设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间， G X ，算子T：GY ，T 的定义域为 D(T) G ；值域为 R(T) 用 T1 表示

3、从 R(T )D(T)的逆映射 ( 蕴含 T 是单射 ) ，则称 T 1 为 T 的逆算子 (invertiable operator)定义 2正则算子：设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间，若算子 T ：G( X)Y 满足(1)T 是可逆算子； (2)T 是满射，即 R(T )Y； (3)T 1 是线性有界算子，则称 T 为正则算子 (normal operator)注： 若 T 是线性算子， T 1 是线性算子吗？若 T 是线性有界算子， T 1 是线性有界算子吗？性质 1若T：G( X)Y 是线性算子，则 T1 是线性算子证明 ： y1 , y2Y ， ,K ，由 T 线性性

4、知：T (T 1 ( yy2)T 1 y1T 1 y2) TT 1 ( yy)TT 1 yTT 1 y21121( y1y2 )y1y20由于 T 可逆，即 T 不是零算子，于是 T1( y1y2 )T 1 y1T1 y2 ，故 T 1 是线性算子定理 2 逆算子定理：设 T 是 Banach 空间 X 到 Banach 空间 Y 上的双射 ( 既单又满 ) 、线性有界算子，则 T1 是线性有界算子例 1 设线性赋范空间 X 上有两个范数 1和 2，如果 (X,1)和(X,2) 均是Banach 空间，而且 2 比1 强，那么范数1 和2 等价 ( 等价范数定理 )证明：设 I 是从由 (X,

5、2) 到 (X,1) 上的恒等映射，由于范数2比 1强，所以存在 M 0 ，使得 x X 有Ix 1x 1M x 2于是 I 是线性有界算子，加之 I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知I 1是线性有界算子，即存在M 0 ，使得 xX 有1x 2M x 1 I x2故范数 1和 2等价。3、一致有界原理定义 1 一致有界： 设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间， FB( XY) ，如果 T T F 是有界集，则 称算子族 F 为一致有界定理 1共鸣定理：设 X 是 Banach 空间，Y 是线性赋范空间， 算子族 F B( XY) ，那么： TTF 是有界集 ( F 一致有界 )

6、x X ， Tx TF 为有界集证明：(1)必要性因为T TF 是有界集， 所以存在 M0，T F，有TM ，于是 xX ，不妨设 xa ，那么TxT xMx Ma因此 TxTF 为有界集(2)充分性xX ，定义 x Fxsup Tx ，显然F 是 X 上的范数且比强，T F下面证明 ( X,F)完备如果 xmxn Fxmx nsup T (x mx n )0 (m,n) ，由 X 是 Banach 空间知存在T Fx X ，使得xnx0 (n) 又因为0 ， NN ，使得只要 m, nN ，便有sup Txm TxnTF从而 TF 有TxnTxTxnTxmTxmTxTxnTxmTxm x0

7、(n) 因此得 xnxsup T (xnx)0 (n) ，即 xnx F0 ，可见 (X,F)完备T F根据等价范数定理知范数F 和等价，从而存在M0 ，使得xX 有sup Txxsup Txx FM xTFT F于是可得TF有TM注： 共鸣定理也称为一致有界定理(或原理 )，由共鸣定理知， 当 F 不一致有界时，即sup TT F ，则存在x0X ，使得 sup Tx0T0为算子F ，称 x族 F 的共鸣点。例 2 设无穷矩阵a11a12a1 ja21a22a2 jAai 1ai 2aij2， j1,2,3, ，并对任何 xl 2 有满足aij( x1 , x2 , xi ,)i 1a11a

8、12a1ja21a22a2 jTx xA ( x1, x2 , , xi , )ai 1ai 2aij( y1 , y2 , , yi , )yl 2其中 y jxiaij， j1,2,，证明算子 T 是线性连续算子i1例 3(Fourier 级数的发散问题 ) 存在一个周期为 2的实值连续函数， 它的 Fourier 级数在 t0点发散 .证明 ： 记周期是2的实值连续函数全体为C2，对于 f C2， f导出的 Fourier 级数为： 1a0(ancosntbn sin nt) ，其中2n 1an1f (t)cos ntdt ( n 0,1,2,)； bn1f (t )sin ntdt(

9、n1,2,3, ).当 t0 时，级数为 1a0an ，前 n1 项部分和为2n11n1na0anf (t)12cosntdtSn ( f )22n1n1nsin(n1)t记 Kn (t ) 12cosnt ，计算可得 K n (t)2，于是sin 1 tn 12Sn ( f )1f (t )K n (t)dt 2下面证明存在fC2，使得 Sn ( f ) 发散显然 Sn : C2R 是线性泛函又因为Sn ( f )max f (t )1K n (t ) dtM n f2t , 其 中 M n1K n (t ) dt ， 所 以 Sn 是 C2上 的 线 性 连 续 泛 函 可 证 明 Sn 的 范 数 为2SnM n1K n (t) dt 。2由于 C2 是 Banach 空间，为了证明存在 f C2 ，使得 Sn ( f ) 无界，根据共鸣定理，只需证 Sn 无界因为1sin(n1)t2 2sin(2n 1)s2Sndt10ds ( t 2s )2tsin ssin22 2n( k 1)2(2 n1)kk