离散付里叶变换PPT学习教案

1、会计学1 离散付里叶变换离散付里叶变换 第1页/共92页 1.1 DFT的引入 1.2 傅立叶变换的几种形式 第2页/共92页 E序列分类 EDFT引入 EDFT的重要作用 第3页/共92页 无限长序列：n=-或n=0或n=- 0 有限长序列：0nN-1。 1.1 DFT的引入 E序列分类 第4页/共92页 1.1 DFT的引入 EDFT的引入 DFT是反映了“有限长”这一特点的一种有 用工具。 由于存在着计算机DFT的有效快速算法 FFT，使DFT在各种数字信号处理的算法中起 着核心的作用。 第5页/共92页 1.1 DFT的引入 EDFT的重要作用 DFT是重要的变换 DFT是现代信号处理

2、的桥梁：DFT要解决 两个问题：一是离散与量化，二是快速运算 。 第6页/共92页 0 0 1 ()( ) jkt X kx t edt T G傅立叶级数(FS) 周期矩形信号波形 傅立叶级数复数谱 0 0 ( )() jkt k x tX ke 时域：连续、周期 频域：非周期、离散 第7页/共92页 A傅立叶变换(FT) ()( ) j t X jx t edt 1 ( )() 2 j t x tX jedt 时域：连续、非周期 频域：非周期、连续 1.2 傅立叶变换的几种形式 第8页/共92页 1 ( )() 2 jj n x nX eed ()( ) jj n k X ex n e 时域

3、：离散、非周期 频域：周期、连续 第9页/共92页 时域：离散、周期 频域：周期、离散 0 0 0 2 0 1 2 3 )1( )1( 0 N N N N 0 k )( )( 0 kx ex Tjk T f T s s 1 2 0 N s F Tp 2 2 0 x(nT)=x(n) F Tp 1 t 0T 2T 1 2 N NTTp n NT 第10页/共92页 时域频域 周期 连续 周期 离散离散 连续 非周期 非周期 1.2 傅立叶变换的几种形式 时 域 和 频 域 的 对 应 关 系 第11页/共92页 第12页/共92页 2.1 DFS的推导 推导DFS正变换 推导DFS反变换 DFS

4、的习惯表示法 的周期性与用Z变换的求法 ( )X k 第13页/共92页 2.1.1 推导DFS正变换 ( )x n 0 n DTFT () j X e w 2p2p- () j X e w 2p2p- 频域 采样 第14页/共92页 2.1.1 推导DFS正变换 1 0 () ( ) N jjn n X eDTFT x nx n e 设在一个周期内采样N个点，则 ，代入上式 2 k N 2 1 2 0 ( )() N jnk j N k n N X kX ex n e 有限长序列x(n)可看作周期序列 在一个周期N内的 值，所以有 ( )x n 2 1 0 ( ) N jnk N n X k

5、x n eDFS x n 第15页/共92页 注意： 对于周期信号： F因信号周期重现，所以通常只关心周期区间的宽 度，而对区间的起点则可以根据需要来定； F周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来 代表； 2.1.1 推导DFS正变换 第16页/共92页 2.1.2 推导DFS反变换 ( )( ) IDFS X kx n 2 1 0 1 ( )( ) N jnk N n x nIDFS X kX k e N 第17页/共92页 2.1.3 DFS的习惯表示 2 j N N We 旋转因子 正变换 2 11 00 ( ) NN jnk nk N N nn X kDFS x nx n ex

6、n W 反变换 2 11 00 11 ( )( )( ) NN jnk nk N N nn x nIDFS X kX k eX k W NN 第18页/共92页 2.1.4 的周期性与用Z变换的求法 ( )X k ()( )X kmNX k F以N为周期的周期序列 F是Z变换在单位圆上的抽样，抽样点在N等 分点上 ZjIm ZRe 1 2 3 4 5 6 7 (N-1) N 2 k=0 第19页/共92页 )( )( )( )( 2121 kXbkXanxbnxaDFS 序列移位 调制性 周期卷积（时域卷积定理） )( )( )( 2 kXekXWmnxDFS mk N j mk N )( )

7、( )( 2 nxenxWlkXIDFS nl N j nl N )( )( lkXnxWDFS nl N 频域相乘对应于时域卷积（指周期卷积）。 第20页/共92页 )( )( )( 21 kXkXkY 1 1212 0 1 2121 0 ( ) ( ) ( )()( )*( ) ( )()( )*( ) N m N m y nIDFS Y k x m x nmx nx n x m x nmx nx n 时域： 时域卷积 频域 ： 相 乘 时域卷积 2.2 DFS的性质 第21页/共92页 12 ( )( )( )y nx nx n 1 1212 0 1 2121 0 ( ) ( ) 11

8、( )()( )*( ) 11 ( )()( )*( ) N l N m Y kDFS y n X l XklX kXk NN Xl X klXkX k NN 时域： 频域： 相 乘 周期卷积 2.2 DFS的性质 第22页/共92页 2.2 DFS的性质 周期卷积 12 ( )( )*( )y nx nx n F进行卷积的两个序列和结果序列均为周期序列，且 周期均为N； F计算步骤：反褶、移位、相乘、相加 注意：计算在主值区间内进行 0 1nN ( )x n 设有限长序列x(n)， ，将其延拓为周期序列01nN 区间称为主值区间; 在 主值区间内的序列称为主值序列0 1nN 第23页/共92

9、页 5 12 0 (0)( )(0) 1 0 1 0 1 0 1 1 0 20 1 1 m yx m xm 5 12 0 (1)( )(1) 1 1 1 0 1 0 1 00 1 0 1 1 m yx m xm N6 第24页/共92页 5 12 0 (2)( )(2)1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 3 m yx m xm (4)4y (5)3y 5 12 0 (3)( )(3)1 1 1 2 1 1 1 00 00 04 m yx m xm 第25页/共92页 第26页/共92页 3.1 DFT的定义 预备知识 F余数运算表达式 11 ,01nnmNnN 1 N nn 如果

10、则有n被N除，商为m，余数为 1 n 725 279225 9,25 9 1 nNn Nn 54 5594 9,4 9 Nn Nn 例如 第27页/共92页 3.1 DFT的定义 预备知识 F有限长序列x(n)和周期序列 的关系 ( )x n ( )() N m x nx nmNxn 01 0 x nnN x n else ( )( )( ) N x nx n Rn 或 第28页/共92页 如： N-1 n x(n) 0 . n )( nx 0N-1 定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。 第29页/共92页 F有限长序列X(k)和周期序列 的关系 ( )X k 预备知识 (

11、 ) N X kXk ( )( )( ) N X kX k Rk 3.1 DFT的定义 第30页/共92页 3.1 DFT的定义 正变换 反变换 1 0 1 0 2 )()()()( N n nk N N n nk N j WnxenxnxDFTkX 1 0 1 0 2 )()( 1 )()( N k nk N N k nk N j WkXekX N kXIDFTnx 第31页/共92页 第32页/共92页 0 1nN ( )x n 设有限长序列x(n)， ，将其延拓为周期序列01nN 区间称为主值区间; 在 主值区间内的序列称为主值序列0 1nN 3.2 DFT涉及的基本概念 第33页/共9

12、2页 )()()(nRmnxnx NNm 其中(.)N表示N点周期延拓. ()( ) mk N DFT x nmWX k 3.2 DFT涉及的基本概念 第34页/共92页 移 位 3.2 DFT涉及的基本概念 第35页/共92页 n )(nx 0N-1 移 位 3.2 DFT涉及的基本概念 原始序列 第36页/共92页 n N nxnx)()( 0 周期延拓 n Nnxnx2)2( 0 左移2 第37页/共92页 n )()2(nRnx NN 0 取主值 N-1 移 位 3.2 DFT涉及的基本概念 第38页/共92页 第39页/共92页 3.2 DFT涉及的基本概念 第40页/共92页 m

13、m mnxmx mnxmxnxnxny )()( )()()(*)()( 12 2121 注意:结果序列长度为N1+N2-1 卷 积 第41页/共92页 的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 ，也就是 不为零的区间 )( 1 mx10 1 Nm )( 2 mx 10 2 Nmn 20 21 NNn( ) l y n )( 1 nx 1 012 n )( 2 nx 1 012 n 3 G线性卷积 12 ( )( )*( ) l y nx nx n 计算 卷 积 例如： 第42页/共92页 m )( 2 mx -1-2-3 111)0( l y m )1 ( 2 mx 21111) 1 (

14、l y m )2( 2 mx 3111111)2( l y )( 1 mx 1 012 m G线性卷积 第43页/共92页 m )3( 2 mx 3111111)3( l y n )(nyl 21 0 1)5(, 2)4( ll yy同样 3 1 4 5 2 3 3 2 1 )( 1 mx 1 012 m G线性卷积 第44页/共92页 11 1 1 ( )01 ( ) 01 x nnN x n NnN 22 2 2 ( )01 ( ) 01 xnnN xn NnN 1 11 1221 00 ( )( ) ( )()( ) () NN NN mm y nx n N x m xnmx m xnm

15、 卷 积 2( ) x n 第45页/共92页 反褶循环移位相乘相加 第46页/共92页 A循环卷积 )( 1 nx 1 012 n )( 2 nx 1 012 n 3 计算 N7 卷 积 第47页/共92页 时域循环卷积过程 1、补零 第48页/共92页 2、周期延拓 时域循环卷积过程 先翻摺再延拓， 与先延拓再翻摺 结果相同 第49页/共92页 3、反褶 时域循环卷积过程 第50页/共92页 4、移位 第51页/共92页 6 1277 0 6 1277 0 6 1277 0 12 (0)( )(0) ( ) 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 (1)( )(1) (

16、 ) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 12 (2)( )(2) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 (3)( )( m m m yx m xmR m yx m xmR m yx m xmR m yx m x 6 77 0 (3) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 03 (4)2 (5) 1 (6)0 m mR m y y y 5、相乘，相加 第52页/共92页 最终结果 第53页/共92页 卷 积 圆周卷积圆周卷积线性卷积线性卷积 是针对是针对FFT引出的引出的 一种一种表示方法表示方法 信号通过线性系统时，信号输信

17、号通过线性系统时，信号输 出等于出等于输入与系统单位冲激响输入与系统单位冲激响 应的卷积应的卷积 两序列长度必须两序列长度必须相等相等， 不等时按要求不等时按要求补足零值点补足零值点。 两序列长度可以两序列长度可以不等不等。 如如x1(n)为为 N1点，点，x2(n)为为 N2点点 卷积结果长度与两信号长度卷积结果长度与两信号长度 相等皆为相等皆为N 卷积结果长度为卷积结果长度为N=N1+N2-1 3.2 DFT涉及的基本概念 第54页/共92页 I用循环卷积计算线性卷积 卷 积 循环卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列！ ( )( )( )()( ) LlL r y ny n R ny n

18、rlR n 1 0 21 )()( L m LL mnxmxny r l r L m r L m L m L rlny mrLnxmx mrLnxmxmnxmxny )( )()( )()()()( 1 0 21 2 1 0 1 1 0 21 第55页/共92页 I用循环卷积计算线性卷积 卷 积 1( ) x n 212 ( )( )( )x nx nx n 12 1LNN 3.2 DFT涉及的基本概念 第56页/共92页 3.2 DFT涉及的基本概念 第57页/共92页 对 称 3.2 DFT涉及的基本概念 第58页/共92页 1、x(n)与-x(-n)互称为奇对称 2、满足xo(n)=-x

19、o(-n)的序列xo(n)称为奇对称序列 3、x(n) 与 x(-n) 互称为偶对称 3.2 DFT涉及的基本概念 G序列的对称性 对 称 第59页/共92页 0 xe(n) n 0 x(n) n0 y(n)=x(-n) n x(n)与y(n) 互为偶对 称 为偶对称序列 0 x(n) n 0 x(-n) n 互为奇对称 0 xo(n) n 为奇对称序列 第60页/共92页 1、长度为N的有限长序列x(n)与y(n)=-x(-n)NRN(n)互为圆 周奇对称。 2、长度为N的有限长序列x(n)若满足x(n)=-x(-n)NRN(n) 则x(n)是圆周奇对称序列。 圆周奇对称 x(n) y(n)

20、=-x(-n)NRN(n) x(n)与y(n)互为圆周奇对称 圆周奇对称序列 x(n) 第61页/共92页 3、长度为N的有限长序列 x(n)与y(n)=x(-n)NRN(n) 互为 圆周偶对称。 圆周偶对称(序列) 周期延拓 G序列的对称性 对 称 第62页/共92页 在n=N处补上与n=0处相同的序列值： (1)如果此新的序列对n=N/2是偶对称，则原序列 一定为圆周偶对称序列。 (2)如果此新的序列对n=N/2是奇对称，则原序列 一定为圆周奇对称序列。 (b)圆周奇对称(序列)和圆周偶对称(序列) G序列的对称性 对 称 第63页/共92页 3、序列x(n)与y(n)若满足y(n)=-x

21、*(-n)则互为共轭反对称 4、共轭反对称序列：若一序列x(n)满足xo(n)=-x*o(-n) , 称此序列为共轭反对称序列. 对于实序列来说，即为 xo(n)=-xo(-n)奇对称序列。 G序列的对称性 对 称 第64页/共92页 G序列的对称性 对 称 第65页/共92页 虚部 实部 实部圆周偶对称,虚部圆周奇对称 第66页/共92页 G序列的对称性 对 称 (d)圆周共轭对称(序列)和圆周共轭反对称(序列) 第67页/共92页 实部圆周奇对称,虚部圆周偶对称 实 部 虚 部 第68页/共92页 对 称 第69页/共92页 1 ( ) ( )() 2 1 ( ) ( )() 2 o e

22、xnx nxn xnx nxn ( )( )( ) oe x nx nx n ( )( ) ( )( ) o e xnx n x nx n 为的奇对称分量, 为的偶对称分量。 奇对称 序列 偶对称 序列 1. 任一序列x(n)（实或纯虚序列），总可以表示成： 2. 一个序列x(n)，若： 称： 第70页/共92页 1 ( ) ( )() ( ) 2 1 ( ) ( )() ( ) 2 epNNN opNN xnx nxNnRn xnx nxNnRn 其中：xop(n)称为 x(n)的圆周奇对称分量; xep(n)称 为 x(n) 的 圆周偶对称分量。 ( )( )( ) opep x nxnx

23、n 圆周奇 对称序 列 圆周偶对 称序列 并且： 第71页/共92页 )()( 2 1 )( )()( 2 1 )( * * nxnxnx nxnxnx e o 看出xo(n) 和xe(n)分别满足奇对称和偶对称的条件， 且二者之和为 x(n)。 ( )( )( ) oe x nx nx n 第72页/共92页 )()()( 2 1 )( )()()( 2 1 )( * * nRnNxnxnx nRnNxnxnx NNop NNNep 看出满足圆周奇对称和圆周偶对称的条件，且二者之和 为 x(n)。 其中：xop(n)称为 x(n)的圆周共轭反对称分量；xep(n)称 为x(n)的圆周共轭对称

24、分量。 2、x(n)是长度为N的有限长序列，可表示为： ( )( )( ) opep x nxnxn 第73页/共92页 )()( 11 nxDFTkX 假设条件 设x1(n)和x2(n)都是两个长度为N的有 限长序列,它们的离散傅立叶变换分别为 )()( 22 nxDFTkX 第74页/共92页 )()()()( 2121 kbXkaXnbxnaxDFT 3.3 DFT的性质 第75页/共92页 G时 移 A频 移 )()()( ln nxWkRlkXIDFT NNN ( )( ),()?x nX kx nm? D FS ()( ) m k N x nmWX k - += 11 () 00

25、( ) NN n nk N nl N n k N l n x n Wx nWklWX - = + 轾 = 轾 犏犏 臌臌 + 邋 3.3 DFT的性质 第76页/共92页 时域卷积 序列x(n)与y(n)的卷积满足下面的关系 D FT ( )( )( )( )x ny nX kY k=? ( )( ),( )( )x nX ky nY k圹 NN D FT ( )( )D FT ( ) D FT ( )x ny nx ny n=? 时域卷积频域乘积 频域乘积时域卷积 3.3 DFT的性质 频域卷积 1 D FT ( ) ( )( )( )x n y nX kY k N = 第77页/共92页

26、3.3 DFT的性质 第78页/共92页 )()(Im)(Re)(kXnxjnxDFTnxDFT (4) 对称性质 3.3 DFT的性质 关系1: )()()( )()()( * * kNXkRkNX kRkXnxDFT NN NN * ( )( )()DFT x nX kXNk 时域x(n)取共轭，对应于频域X(k)取圆周共轭对称。 若x(n)本身是实序列，对应于频域X(k)就是圆周共轭 对称序列；反之亦然。 第79页/共92页 原序列 序列共轭频域圆周共轭 第80页/共92页 原序列为实序列，其频域为圆周共轭对称序列 第81页/共92页 共轭与圆周共轭对称在时频域的对应关系 (4) 对称性质 3.3 DFT的性质 关系2: )()(kNXnNxDFT )()()()(kRkNXnRnNxDFT NNNN 时域x(n)取圆周偶对称，对应于频域X(k)也取 圆周偶对称。 若x(n)本身是圆周偶对称序列，对应频域X(k) 也是圆周偶对称序列；反之亦然。 第82页/共9