《圆的极坐标方程》

1、1.3.1 圆的极坐标方程 一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f( , )=0有如下关系有如下关系 （）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个） 符合方程符合方程f( , )=0; （）方程（）方程f( , )=0的所有解为坐标的点都在曲线上。的所有解为坐标的点都在曲线上。 则称曲线的方程是则称曲线的方程是f( , )=0 。 二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？ 与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找 出曲线上动点的坐标出曲线上动点的坐标 与与 之间的关系，

2、然后列出方程之间的关系，然后列出方程 f( , )=0 ，再化简并说明。，再化简并说明。 Ox M r =r Ox M a =2asin O A M C （a,0） =2acos 1.1.建极坐标系，设动点建极坐标系，设动点M M ( ( , , ) )； 2.2.找曲线上任一点满足的几何条件；找曲线上任一点满足的几何条件； 3.3.把上面的几何条件转化为把上面的几何条件转化为 与与 关系关系 4.4.化简，说明化简，说明 三三. .求曲线极坐标方程步骤：求曲线极坐标方程步骤： 5.5.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化 某些时候，用极坐标方程解决比较方便

3、，这是一个重要的解题某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题 技巧技巧. .在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时，在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时， 可转化为直角坐标方程求解可转化为直角坐标方程求解. . 已知一个圆的方程是5 3cos-5sin 求圆心坐 例3. 标和半径。 2 2222 5 3cos5sin 5 3 cos5 sin 5 35 5 35()()25 22 5 35 (,),5 22 xyxyxy 两边同乘以 得 即化为直角坐标为 即 所以圆心为 解 半径是 ： 31 10(cossin)10cos(), 226 (5,),5, 6 解：

4、原式可化为 所以圆心为半径为 O a aaa 此圆过极点 圆的极坐标方程为 半径为圆心为 )cos(2 )0)(,( 你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？ 已知一个圆的方程是5 3cos-5sin 求圆心坐 例3. 标和半径。 方程是什么？ 化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin41 4)2( 22 yx 圆的圆心距是多少？ 的两个和、极坐标方程分别是sincos2 1 cos( ,0) 2 sincos()cos() 22 12 sin( ,), 2 22 解：圆 圆心的坐标是 圆 圆 的圆心坐标是所以圆心距是 3cos() 4 、极坐标方程所表示的曲线是( ) A、双

5、曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆 D 为半径的圆。为圆心，以 解：该方程可以化为 2 1 ) 4 , 2 1 ( ) 4 cos( 法一：法一： 4 1 ) 4 2 () 4 2 ( 0 2 2 2 2 sin 2 2 cos 2 2 4 sinsin 4 coscos 22 22 2 yx yxyx 即 解： 法二：法二： 410cos() 3 、圆 的圆心坐标是( ) )0 , 5( 、A) 3 , 5( 、B ) 3 , 5( 、C) 3 2 , 5( 、D C 5(2,) 2 A 、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程， 并把它化成直角坐标方程。 2 22

6、22 4cos()4sin , 2 4 sin , 4(2)4.xyyxy 解： 化为直角坐标系为 即 2 12 6:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圆圆 试判断两圆的位置关系。 所以两圆相外切。 半径为，圆心 半径为圆心 坐标方程为解：将两圆都化为直角 2 1)3, 0(1)3(: 1)0 , 1 (, 1) 1( : 21 2 22 2 1 22 1 OO OyxC OyxC 78cosOCONON、从极点 作圆 ： 的弦，求的 中点的轨迹方程。 O N M C(4, 0) (4,0), 4, , 4cos . C rOC CM MONCMON M 如图，圆 的圆心 半径 连结， 是弦的中点, 所以，动点的轨迹方程是 解： 4.圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程 可认为是圆的一般式方程. 222 2cos()aar 1.曲线的