新北师大版1.3正方形的性质与判定(二)

1、2002年世界数学大年世界数学大 会会标会会标 1.3正方形的性质与判定正方形的性质与判定(二二) 菱形菱形矩形矩形 平行四边形平行四边形 正正 形形 方方 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩 形，也是特殊的菱形。形，也是特殊的菱形。 对角线：对角线：相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。 边边: 对边平行对边平行 四边相等四边相等 角角 ：四个角都是直角四个角都是直角 图形的对称性：图形的对称性：既是轴对称图形既是轴对称图形, 又是中心对称图形又是中心对称图形. 一、课前自主学习 1、矩形的判定方法是 2

2、、菱形的判定方法是 你觉得什么样的四边形是你觉得什么样的四边形是 正方形呢正方形呢?( ?( 判断一个四边形判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）是正方形有哪些方法？） 平行四边形平行四边形 正方形正方形 一组邻边相等一组邻边相等 一内角是直角一内角是直角 1 1、 正方形正方形 菱形菱形 2 2、 一内角是直角一内角是直角 矩形矩形 3 3、 一组邻边相等一组邻边相等 正方形正方形 正方形的判定方法：正方形的判定方法： (可从平行四边形、矩形、菱形为基础）可从平行四边形、矩形、菱形为基础） 定义法定义法 菱形法菱形法 矩形法矩形法 对角线对角线 相等相等 对角线垂直对角线垂直 四条边相等，四

3、个角都是直角四条边相等，四个角都是直角 对角线互相垂直、平分且相等对角线互相垂直、平分且相等 四边形四边形 正方形正方形 以四边形为基础：以四边形为基础： 既是菱形又是矩形的四边形是正方形既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 1、 叫正方形。 2、有 的矩形是正方形。 3、对角线 的矩形叫正方形 4、有 的菱形是正方形。 5、对角线 的菱形叫正方形 6、有 ，有 的平行四边形是正方形 7、对角线 的平行四边形是正方形 8、对角线 的四边形是正方形 正方形的判定正方形的判定 5种识种识 别方法别方法 三个角是直角三个角是直角 四条边相等四条边相等 一个角是直角一个角是直角 或或对角线相等对角线相等

4、 一组邻边相等一组邻边相等 或或对角线垂直对角线垂直 一组邻边相等一组邻边相等 或或对角线垂直对角线垂直 一个角是直角一个角是直角 或或对角线相等对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 做一做做一做 现在请大家做一做这样一个实现在请大家做一做这样一个实 验：将一张长方形纸对折两次，验：将一张长方形纸对折两次， 然后剪下一个角，打开，怎样然后剪下一个角，打开，怎样 剪才能剪出一个正方形？剪才能剪出一个正方形？ 例例1：已知：如图，在矩形已知：如图，在矩形ABCD中，中，BE平分平分 ABC

5、， CE平分平分 DCB，BFCE，CF BE. 求证求证:四边形四边形BECF是正方形是正方形 证明证明: BFCE，CF BE 四边形四边形BECF 是平行四边形是平行四边形 BE平分平分 ABC, CE平分平分 DCB 四边形四边形ABCD是矩形是矩形 ABC=90, DCB =90, EBC=45, ECB =45, EBC= ECB EB=EC, BECF是菱形是菱形 在在EBC中中 EBC=45 , ECB =45, 菱形菱形BECF是正方形是正方形 BEC =90, (1)(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（等腰

6、直角三角形（ ） (2)(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ） (3)(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形是正方形 （ ） (4)(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （ ） (5)(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（是正方形（ ） （6）正方形一定是矩形（）正方形一定是矩形（ ） （7）正方形一定是菱形（）正方形一定是菱形（ ） （8）菱形一定是正方形（）菱形一定是正方形（

7、 ） （9）矩形一定是正方形（）矩形一定是正方形（ ） ( 1 0 ) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边 形形 （ ） （12）正方形是轴对称图形）正方形是轴对称图形,一共有一共有2条对称轴条对称轴( ) (13)四个角都相等的四边形是正方形四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (14)四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形 ( ) 1、下列命题正确的是（、下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正方形、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形、四条边都相等的四

8、边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2四个内角都相等的四边形一定是（四个内角都相等的四边形一定是（ ） A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D平行四边形平行四边形 3在四边形在四边形ABCD中，中，O是对角线的交点，是对角线的交点， 能判定这个四边形是正能判定这个四边形是正 方形的是：（方形的是：（ ） AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD C A 5 四个内角都相等，四条边也都相等的四个内角都相等，四条边也都相等的

9、 四边形一定是：（四边形一定是：（ ） A正方形正方形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平平 行四边形行四边形 A 4. 已知在已知在ABCD中，中， A=90，如果添加一个条件，即可推出该，如果添加一个条件，即可推出该 四边形是正方形，那么这个条件可以是（四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） AD=90 B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD D 6、顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是 （ ） 正方形 菱形 矩形梯形 顺次连结菱形的各边中点，所得的四边形一定是（ ） 正方形 菱形 矩形 平行四国边形 顺次连结正方形的各边中点，所得的四边形一定是（ ） 正方形 菱形 矩形 平

10、行四国边形 B C A 以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线 段有关系？有怎样的关系？段有关系？有怎样的关系？ 例例2：已知：如图：已知：如图(2)，点，点A、B、C、D分别是分别是 正方形正方形ABCD 的边的边AB、BC、CD、DA的中点，的中点， 求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形。是正方形。 分析分析:你能先证明四你能先证明四 边形是矩形吗？边形是矩形吗？ 应用举例应用举例： A B C D C/ A/ B/ D/ 1 已知：如图点已知：如图点A 、 B 、 C、D分别是正方形分别是正方形ABCD 四条边上的点，

11、并且四条边上的点，并且AA=BB=CC=DD 求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形是正方形 、由已知正方形证三角形全等；、由已知正方形证三角形全等； 、证得菱形；、证得菱形； 、再证直角；、再证直角； 、是正方形、是正方形 证题思路分析证题思路分析 上一页 例3:已知：如图，在正方形ABCD中，AA=BB=CC=DD 。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明：四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA 又AA=BB=CC=DD DA=AB=BC=CD A=B=C=D=90 AAD BBA CCB DDC 四边形ABCD是菱形 又ADA=BAB， AAD+ADA=90 AAD+BAB=9

12、0 DAB=180（AAD+BAB）=90 四边形ABCD是正方形。 思考题：思考题： 如图正方形如图正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，O O 又是另一个正方形又是另一个正方形OEFGOEFG的一个顶点，若正方形的一个顶点，若正方形 OEFGOEFG绕点绕点O O旋转，在旋转的过程中旋转，在旋转的过程中. . 探究二探究二: :若正方形若正方形OEFGOEFG与正方形与正方形ABCDABCD两边两边 分别相交于分别相交于M NM N，试判断线段，试判断线段AMAM于于BNBN之间之间 的关系的关系. . 探究一探究一: :两个正方形重叠部分的面积是否会两个正方形重叠

13、部分的面积是否会 发生变化？并说明理由。发生变化？并说明理由。 探究四：探究四： 如图，有两个大小不等的两个正如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面方形，其中小正方形的面积是大正方形面 积的一半，若阴影部分的面积为积的一半，若阴影部分的面积为8 8，则小正，则小正 方形的边长为多少？方形的边长为多少？ 探究三探究三: 若正方形若正方形OEFGOEFG继续旋转时，继续旋转时，AM AM 与与 BNBN之间的关系是否还之间的关系是否还成立？成立？ 3 3、 直角三角形直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D， DEACDEAC，D

14、FABDFAB。求证：四边形。求证：四边形CEDFCEDF是正方形。是正方形。 A B C D E F 四边形四边形ABCDABCD是正方形（是正方形（ ) ) DE=DF( )DE=DF( ) DEACDEAC， DFBCDFBC CDCD平分平分ACBACB 四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形( )( ) 而而ACB=90ACB=90 DEC=90DEC=90， DFC=90DFC=90 证明：证明： DEACDEAC，DFABDFAB 有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 角平分线的定理角平分线的定理 有一组邻边相等的矩形是正有一组邻边相等的矩形是正 方形方形 1 1、如图，在、如图，在ABAB上取一点上取一点C C，以，以ACAC、BCBC为正方形的一边为正方形的一边 在同一侧作正方形在同一侧作正方形AEDCAEDC和和BCFGBCFG连结连结AFAF、BDBD延长延长BDBD交交AFAF 于于H H。 求证：求证：(1) (1) ACFACFDCB (2) BHAFDCB (2) BHAF 练一练练一练 2 2、如图、如图(6)(6)，ABCABC的外面作正方形的外面作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，连，连