【大学课件】矩阵位移法

1、第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第1 1页页 由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后， 得到特殊情况下的单元刚度矩阵。得到特殊情况下的单元刚度矩阵。 1 2 2 1 3232 22 3232 22 0000 126126 00 6462 00 0000 126126 00 6264 00 e EAE

2、A LL EIEIEIEI LLLL EIEIEIEI LLLL k EAEA LL EIEIEIEI LLLL EIEIEIEI LLLL 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第2 2页页 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 例如：两端固定单元两头只发生转角，同时只需要写杆端例如：两端固定单元两头只发生转角，同时只需要写杆端 弯矩。处理的方法：把刚

3、度矩阵的第弯矩。处理的方法：把刚度矩阵的第1 1、2 2、4 4、5 5行和列划掉。行和列划掉。 3232 22 3232 22 0000 126126 00 6462 00 0000 126126 00 6264 00 e EAEA LL EIEIEIEI LLLL EIEIEIEI LLLL k EAEA LL EIEIEIEI LLLL EIEIEIEI LLLL 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学

4、 Structural Mechanics 第第3 3页页 又如：两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端又如：两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端 轴力。处理的方法是：把刚度矩阵的第轴力。处理的方法是：把刚度矩阵的第1 1、4 4行和列划掉。行和列划掉。 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3232 22 3232 22 0000 126126 00 6462 00 0000 126126 00 6264 00 e EAEA LL EIEIEIEI LLLL EIEIEIEI LLLL k EAEA LL EIEIEIEI LLLL EIEIEIEI LLLL 第一章第一章

5、绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第4 4页页 再如：再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是： 把下面刚度矩阵的把下面刚度矩阵的第第2、3、5、6行和列划掉即可。行和列划掉即可。 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3232 22 3232 22 0000 126126 00 6462 00 0000 12612

6、6 00 6264 00 e EAEA LL EIEIEIEI LLLL EIEIEIEI LLLL k EAEA LL EIEIEIEI LLLL EIEIEIEI LLLL 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第5 5页页 轴力杆件的单元刚度矩阵应该是轴力杆件的单元刚度矩阵应该是22的，但考虑到斜杆在的，但考虑到斜杆在 整体坐标中的需要，写成整体坐标中的需要

7、，写成44的。的。 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2、局部坐标下的单元刚度矩阵、局部坐标下的单元刚度矩阵 00 0000 00 0000 e EAEA LL k EAEA LL 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第6 6页页 为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部 坐标系。但当要建立位移法方程时，

8、那么需要结构有一套统一坐标系。但当要建立位移法方程时，那么需要结构有一套统一 的整体坐标系。因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的的整体坐标系。因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的 单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。 3 3、整体坐标下的单元刚度矩阵、整体坐标下的单元刚度矩阵 1X F 2X F 1Y F 2Y F 1 M 2 M x x y y 局部坐标系中的杆端力局部坐标系中的杆端力 1X F 2X F 1Y F 2Y F 1 M 2 M x x y y 整体坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface

9、to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第7 7页页 222 222 22 cossin sincos XXX YXY FFF FFF MM 111 111 11 cossin sincos XXY YXY FFF FFF MM 局部坐标系中杆端力与整体局部坐标系中杆端力与整体 坐标系中杆端力之间的关系：坐标系中杆端力之间的关系： 1X F 2X F 1Y F 2Y F 1 M 2 M x x y y 局部坐标系中的杆端力局部

10、坐标系中的杆端力 1X F 2X F 1Y F 2Y F 1 M 2 M x x y y 整体坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第8 8页页 11 11 11 22 22 11 cossin0000 sincos0000 001000 000cossin0 000sincos0 000001 XX YY XX YY FF

11、FF MM FF FF MM 把两个坐标系下杆端力的关系写成矩阵形式：把两个坐标系下杆端力的关系写成矩阵形式： ee FTF eTe FTF 可缩写成：可缩写成： 其中其中： 单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵 T 同理同理： ee T eTe T 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第9 9页页 其中：其中： 3 3、整体坐标下的单元刚度矩阵、整体坐标下的单元刚

12、度矩阵 cossin0000 sincos0000 001000 000cossin0 000sincos0 000001 T 单元坐标转换矩阵，是一正交矩阵：单元坐标转换矩阵，是一正交矩阵： T 1T TT 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第1010页页 局部坐标下的单元刚度方程：局部坐标下的单元刚度方程： 将将、式代入式代入式，有：式，有： eee TF

13、kT TeTee TTFTkT 与与 比较，令：比较，令： eee Fk eTe kTkT eee Fk 杆端力与杆端位移在局部坐标和整体坐标下的关系式：杆端力与杆端位移在局部坐标和整体坐标下的关系式： ee FTF ee T eTee FTkT 3 3、整体坐标下的单元刚度矩阵、整体坐标下的单元刚度矩阵 等式两边前乘等式两边前乘 ，得：，得： T T 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structur

14、al Mechanics 第第1111页页 与与 同阶，性质类似：同阶，性质类似： ee kk 一般单元的一般单元的 是奇异矩阵。是奇异矩阵。 是对称矩阵。是对称矩阵。 ij k 矩阵中的系数矩阵中的系数kij表示在整体坐标系中第表示在整体坐标系中第j个杆端位移分量个杆端位移分量 等于等于1时引起的第时引起的第i个杆端力。个杆端力。 eTe kTkT 整体坐标下的单元刚度矩阵：整体坐标下的单元刚度矩阵： 3 3、整体坐标下的单元刚度矩阵、整体坐标下的单元刚度矩阵 ek ek 第一章第一章 绪绪 论论 Chapter 1 Preface to Steel Structure 第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 Chapter 9 Matrix Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics 第第1212页页 计算步骤：计算步骤： 1 1编号与建立坐标。编号与建立坐标。 对每个结点包括支座结点用先处理法或后处对每个结点包括支座结点用先处理法或后处 理法进行编号；理法进行