椭圆的标准方程(精)

1、天体的运行天体的运行 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？物件呢？ 生生 活活 中中 的的 椭椭 圆圆 一一 椭圆的画法椭圆的画法 注意注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内必须在平面内; （2）两个定点）两个定点-两点间距离确定两点间距离确定; （3）绳长）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定轨迹上任意点到两定点距离和确定. ? P ? F ? 2 ? F ? 1 1 .椭圆定义椭圆定义： 平面内与两个定点平面内与两个定点的距离和等于常数的距离和等于常数（大于 ）的点的

2、轨迹叫作的点的轨迹叫作椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦椭圆的焦 点点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距 12 ,F F 1 2 |FF 二二 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的 椭圆较扁（线段）椭圆较扁（线段）;两定点间距离较短，则所画出的两定点间距离较短，则所画出的 椭圆较圆（圆）椭圆较圆（圆）.由此可知，椭圆的形状与由此可知，椭圆的形状与两定点间距两定点间距 离、绳长离、绳长有关有关 求动点轨迹求动点轨迹方程的一般步骤：方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（）建立适当

3、的坐标系，用有序实数对（x,y） 表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M的坐标的坐标; （2）写出适合条件）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件）用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 ; （4）化方程为最简形式）化方程为最简形式; （5）证明以化简后的方程为所求方程）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略可以省略 不写不写,如有特殊情况，可以适当予以说明如有特殊情况，可以适当予以说明) 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、对称、“简洁简洁” Ox y Ox y Ox y M F1

4、 F2 方案一方案一 F1 F2 方案二方案二 O x y M Ox y 2 2 解：取过焦点解：取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直的垂直 平分线为平分线为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系(如图如图). 设设M(x, y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一 点，椭圆的点，椭圆的焦距焦距2c(c0)，M 与与F1和和F2的距离的的距离的和等于正和等于正 常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的 坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) . x F1F2 M 0 y （问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？） aMFMF2| 21 22

5、2 22 1 )(| ,)(|ycxMFycxMF aycxycx2)()( 2222 得方程 由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件： 代入坐标代入坐标 222222 bayaxb 22 ba两边除以两边除以 得得 ).0(1 2 2 2 2 ba b y a x 设 所以即 ,0 ,22 22 ca caca ),0( 222 bbca 由椭圆定义可知由椭圆定义可知 整理得整理得 2222222 )()(44)(ycxycxaaycx 222 )(ycxacxa 22222222224 22yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得 )()( 22222222

6、caayaxca 移项，再平方移项，再平方 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距 式式 01 2 2 2 2 ba b y a x 焦点在焦点在y轴：轴： 焦点在焦点在x轴：轴： 3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: : 1 o F y x 2 F M aycxycx2)()( 2222 axcyxcy2)()( 2222 1 12 2 y o FF M x 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图图 形形 方方 程程 焦焦 点点F( (c，0

7、)0)F(0(0，c) ) a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义 1 12 2 y o FF M x 1 o F y x 2 F M 注注: : 共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1. 2 x 2 y 不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 例例1 、已知一个运

8、油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，个椭圆， 它的焦距为它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程 x y O F1 F2 1 1625 )2( 22 yx 1 1 )3( 2 2 2 2 m y m x 1 1616 )1( 22 yx 0225259)4( 22 yx 123)5( 22 yx 1 1624 )6( 22 k y k x 练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？ 22 ,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则

9、判定其焦点在何轴？ 并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标. ? 练习练习2.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5； 22 1 2516 yx 2 2 1 6 x y(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上； 6 (3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过 P(2,3)点；点； (4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3). 22 1 1 61 2 xy 22 xy += 1 49 小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤： 定位：确定焦点

10、所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴； 定量：求定量：求a, b的值的值. 练习练习3. 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空： (1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_. (2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且并且CF1=2,则则CF2=_. 1 1625 22 yx 变式：变式： 若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1）.144916 22 yx 5436 (-3,0)、(3,0) 8 1 169 22 yx 练习练习4.4.已知方程已知方程

11、表示焦点在表示焦点在x x轴轴 上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 . . 22 xy +=1 4m (0,4) 变变1 1：已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取值的取值 范围是范围是 . . 2222 xyxy +=1+=1 m -13-mm -13-m (1,2) 变变2：方程：方程 ，分别求方程满足，分别求方程满足 下列条件的下列条件的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆； 表示一个椭圆；表示一个椭圆； 表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆。轴上的椭圆。 1 m16 y m25 x 22 y x o 例例2、将圆将圆 上

12、的点的横坐标保持不变，上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明 它是什么曲线？它是什么曲线？ 4 22 yx 1 1）将圆按照某个方向均匀地压缩）将圆按照某个方向均匀地压缩 （拉长），可以得到椭圆；（拉长），可以得到椭圆； 2 2）利用中间变量求点的轨迹方程）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法。的方法是解析几何中常用的方法。 例例3. 已知圆已知圆A：(x3)2y2100，圆，圆A内一内一 定点定点B(3，0)，动圆，动圆P过过B点且与圆点且与圆A内切，求内切，求 动圆心动圆心P的轨迹方程的轨迹

13、方程 22 1 2516 xy 求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法： 二类方程二类方程: 三个意识：三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识 1 2 2 2 2 b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 已知椭圆有这样的光学性质：从椭已知椭圆有这样的光学性质：从椭 圆的一个焦点出发的光线，经椭圆圆的一个焦点出发的光线，经椭圆 反射后，反射光线经过椭圆的另一反射后，反射光线经过椭圆的另一 个焦点。今有一个水平放置的台球个焦点。今有一个水平放置的台球 盘，点盘，点A、B是它的两个焦点，焦距是它的两个焦点，焦距 是是2c，椭圆上

14、的点到，椭圆上的点到A、B的距离的的距离的 和为和为2a，当静放在，当静放在A的小球（半径不的小球（半径不 计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后 再回到点再回到点A时，求小球经过的路程。时，求小球经过的路程。 点半到达 如你看后满意，请把此页面删掉，以免打扰你正常使用，我们万分感谢！如你看后满意，请把此页面删掉，以免打扰你正常使用，我们万分感谢！ 本站敬告： 一、本课件由“半岛教学资源（http:/）”提供下载, 官网是http:/，网站创办人杨影，真名实姓，绝不虚假，系广东网站创办人杨影，真名实姓，绝不虚假，系广东 省徐闻县徐城中学语文教师，兼任电脑课，拥有多年网站和

15、课件制作经验，欢迎查实。省徐闻县徐城中学语文教师，兼任电脑课，拥有多年网站和课件制作经验，欢迎查实。 二、此课件为作者原作，如你看后有不满意的地方，我们提供专业技术修改，具体如下： 1、修改最低起点15元，负责给你修改4个以内页面，24小时内完成，不完成全额退款； 2、修改4个页面以上的，每加1个页面收5元，插入你发来图片并制作动画特效每张1元； 3、帮你制作一个动画或一个FLASH按钮并插入你指定的页面内收10元； 4、帮你把一个音频或视频文件剪成一个或几个并插入你指定的页面内并制特效收10元。 三、成交方法： 1、根据上面第二点的4个小点，算下你的修改要多少钱，然后付款，付款方法有二： 1）网上在线付款：在我们的网站http:/或http:/ 里注册会员后登录进会员中心在线付款到我们网站里； 2）银行汇款：到银行柜台转账或汇款，开户行：工商银行，工商银行，账号：9558 8220 1500 0448136 收款人：杨影收款人：杨影 2、把你要修改的课件发