第三章2010一二阶系统的暂态响应分析1

1、2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 第三章第三章 (12(12学时学时) ) 信息学院信息学院 二二九年九月九年九月 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 系统分析方法系统分析方法: : 时域、频域时域、频域 什么是时域分析？什么是时域分析？ 指控制系统在典型输入信号作用指控制系统在典型输入信号作用 下，根据输出响应的时域表达式，下，根据输出响应的时域表达式， 分析系统的分析系统的稳定性、动态性能和稳定性、动态性能和 稳态性能稳态性能。 优点：优点： 时域分析是直接在时间域中对系统进行分时域分析是直接在时间域中对系统进行分 析的方法，析的方法，从时域响应曲线上能直接得

2、到系统时间从时域响应曲线上能直接得到系统时间 响应的全部信息，响应的全部信息，具有具有直观直观和和准确准确的优点，的优点，便于建便于建 立系统性能指标立系统性能指标 。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 缺点缺点： 难以判断系统结构和参数对动态性能的影响，难以判断系统结构和参数对动态性能的影响， 很难用于系统的设计。很难用于系统的设计。 对于高阶系统，系统分析的工作量将急剧增对于高阶系统，系统分析的工作量将急剧增 加，不易确定其性能指标。必须借助计算机实加，不易确定其性能指标。必须借助计算机实 现。现。 系统分析的目的系统分析的目的：是找出系统的结构和参数与是找出系统的结构和参

3、数与 系统性能之间的关系，从而指导我们对控制系统进系统性能之间的关系，从而指导我们对控制系统进 行设计行设计。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据 稳态误差稳态误差 主要内容主要内容 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义；了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义； 掌握一阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法；掌握一

4、阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法； 建立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系；建立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系； 了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性分析了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性分析 高阶系统的暂态响应过程；高阶系统的暂态响应过程； 理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳斯判据理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳斯判据 判断系统的稳定性；判断系统的稳定性； 理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影响，理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影响， 熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方法。熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算

5、方法。 学习重点学习重点 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 3.1 3.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标 （1 1）系统应是稳定的；）系统应是稳定的； （2 2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差 的要求；的要求； （3 3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。 稳定性稳定性 稳态特性稳态特性 暂态特性暂态特性 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 为了能对不同的控制系统的性能用统一的标准来为了能对不同的控制系统的性能用统一的标准来 恒量，通常需要选择几种典型的外作用。

6、恒量，通常需要选择几种典型的外作用。 典型输入（测试）信号典型输入（测试）信号选取原则选取原则： （1 1）简单的时间函数，便于数学分析和试验研究。）简单的时间函数，便于数学分析和试验研究。 （2 2）在现场及实验室中容易获得在现场及实验室中容易获得。 （3 3）实际信号可由这些典型信号组合而得。）实际信号可由这些典型信号组合而得。 控制工程中常用典型输入（测试）信号控制工程中常用典型输入（测试）信号： 阶跃信号阶跃信号，斜坡信号，抛物线信号，脉冲信号。，斜坡信号，抛物线信号，脉冲信号。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2.2.自动控制系统的典型输入自动控制系统的典型输入(

7、(测试测试) )信号信号 0 00 )( tA t txr ， ， A A=1=1时称为时称为单位阶跃信号单位阶跃信号 ( )1( ) r x tt：，记记为为 s tLsX r 1 )( 1 )( （1 1）阶跃信号）阶跃信号 (step input signal) 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （2 2）斜坡信号）斜坡信号 ( (速度信号）速度信号）ramp input signal A A=1=1时称为时称为单位斜坡信号单位斜坡信号 0 00 )( tAt t txr ， ， 2 1 ( ) r XsL t s ( ) r x tt：，记记为为 2021-7-20第三

8、章 自动控制系统的时域分析 （3 3）抛物线信号（加速度信号）抛物线信号（加速度信号） accelerate input signal 当当A A=1/2=1/2时，称为单位抛物时，称为单位抛物 线函数线函数 2 00 ( ) 0 r t x t Att ， ， 2 3 11 ( ) 2 r X sLt s 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （4 4）脉冲函数）脉冲函数 pulse input signal ( ) 0 ( ) 0 0 t t t t ：定定义义为为 ( )1,t dt t 0 )(t 理想单位脉冲函数理想单位脉冲函数 R R 为脉冲函数的幅值，为脉冲函数的幅值

9、， R R =1=1时称为单位理想脉冲函数时称为单位理想脉冲函数 脉冲函数定义：脉冲函数定义： ( ) r xtRt 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 0(0) ( ) 0 0(0) r A t x t tt ， ， 0 1 ( )lim1 r XsL 当当A A=1=1时，称为时，称为单位脉冲函数单位脉冲函数 （t） 脉冲信号或实际脉冲信号脉冲信号或实际脉冲信号 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （5） 正弦函数正弦函数 22 ( )sin rr x tAtXsA s t 0 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 本章主要以单位阶跃函数作为系统的输

10、入量来本章主要以单位阶跃函数作为系统的输入量来 分析系统的暂态响应。分析系统的暂态响应。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 当输入信号突然跳变时，输出量还处在原有的平衡状态，这当输入信号突然跳变时，输出量还处在原有的平衡状态，这 样就出现了偏差，这个偏差控制输出量达到新的平衡，这就是样就出现了偏差，这个偏差控制输出量达到新的平衡，这就是 一个调节过程。一个调节过程。 t 0 1 r(t) t0 1 c(t) 1 2 理想的理想的 调节过程调节过程 实际实际 3、系统响应过程 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 整个调节过程分为两个阶段整个调节过程分为两个阶段: :

11、 a.a.暂态过程暂态过程 反映系统的动态特性。输出量处于激烈变化反映系统的动态特性。输出量处于激烈变化 之中，用之中，用暂态性能指标暂态性能指标来评价它来评价它。 b.b.稳态过程稳态过程 反映系统的稳态特性。输出量稳定在新的平反映系统的稳态特性。输出量稳定在新的平 衡状态，并保持不变。提供有关稳态误差的衡状态，并保持不变。提供有关稳态误差的 信息，用信息，用稳态性能指标稳态性能指标来评价它来评价它。 t0 1 c(t) 1 2 理想的理想的 调节过程调节过程 实际实际 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 在工程上，许多高阶系统常常具有近似一、二在工程上，许多高阶系统常常具有近

12、似一、二 阶系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统阶系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统 的性能指标，有着广泛的实际意义。的性能指标，有着广泛的实际意义。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 3.2 3.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应 1.1.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型 ( )11 ( ) 1 ( )1 11 c B r K XsK s Ws K XssKTs s sK 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2.2.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 1 1, ( ) rr xttXs s ：单单位位阶阶跃跃输输入入 1 111

13、 ( )( )( ) 1 1 cBr T XsWsXs Tsss s T ：输输出出的的拉拉氏氏变变换换 11 1111 ( ) 1 1 c x tLL Tsss s T ：拉拉氏氏反反变变换换 1 ( )1, (0) t T c x tet 单单位位阶阶越越响响应应： 1 1 at Le sa 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 3.3. 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应曲线曲线 1 ( )1 t T c x te 由解析式和曲线图可以得出以下结论：由解析式和曲线图可以得出以下结论： 初始斜率为初始斜率为1/T； 可以用时间常数可以用时间常数T去度量系统的输出量的数值；去度

14、量系统的输出量的数值； 确定确定T T值值 的方法之的方法之 一一 实验确定实验确定T T值、值、 系统是否是系统是否是 一阶系统的一阶系统的 理论依据理论依据 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 上升时间上升时间tr 调节时间调节时间 ts 4 4.一阶系统的性能指标一阶系统的性能指标 动态性能指标定义动态性能指标定义 m t和不存和不存在在 上升时间上升时间tr 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 v动态性能指标动态性能指标 调节时间调节时间 42% 35% s T t T ， ， 当当时时 当当时时 ess=输出期望值输出期望值- -输出实际值输出实际值 =1

15、-xc()=1-1=0 v稳态性能指标 Ttr20. 2 上升时间上升时间 结论：结论：T T （惯性）越小，调节时间（惯性）越小，调节时间t ts s越小，响应过程的快速性越好。越小，响应过程的快速性越好。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 例例3.13.1、 一阶系统的结构如下图所示。试求该系统一阶系统的结构如下图所示。试求该系统 单位阶跃响应的调节时间单位阶跃响应的调节时间ts ；如果要求如果要求ts(5%)(5%) 0.1(0.1(秒秒) )，试问系统的反馈系数应取何值？，试问系统的反馈系数应取何值？ 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 解：解： （1 1

16、）首先由系统结构图写出闭环传递函数）首先由系统结构图写出闭环传递函数 100 ( )10 ( ) 100 ( )0.11 10.1 c B r X s s W s X ss s 得得 T=0.1（s），取，取5%误差带误差带 得调节时间得调节时间 ts = 3T = 0.3 (s) 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （2 2）求满足）求满足ts (5%) 0.1（s）的反馈系数值。的反馈系数值。 假设反馈系数假设反馈系数Kt(Kt0)，那么同样可由结构图写出闭那么同样可由结构图写出闭 环传递函数环传递函数 100 1/ ( ) 1000.01 1 11 t B t t KK s

17、 Ws Ts Ks sK 由闭环传递函数可得由闭环传递函数可得 T = 0.01/Kt 根据题意要求根据题意要求 ts (5%) 0.1（s） 则则 ts = 3T = 0.03/Kt 0.1(s) 所以所以 Kt 0.3 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 1.1.典型二阶系统的数学模型典型二阶系统的数学模型 闭环传函：闭环传函： 3.3 3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 2 22 ( ) (2) n B nn Ws ss 二阶系统标准型二阶系统标准型 典型二阶系典型二阶系 统标准形式统标准形式 开环传函：开环传函： 2 ( ) 2 n k n W s s s （）

18、 n ：自然频率：自然频率( (无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率) ) ：阻尼比：阻尼比 重要重要 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2.2.典型二阶系统的单位阶跃响应典型二阶系统的单位阶跃响应 2 1,2 1 nn s 特征根：特征根： 特征方程：特征方程： 22 20 nn ss 特征根的性质取决于特征根的性质取决于 的大小；二阶系统的时间响的大小；二阶系统的时间响 应取决于应取决于 和和 两个参数，按以下情况来研究二阶两个参数，按以下情况来研究二阶 系统的时间响应。系统的时间响应。 n 001110 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 过阻尼（过阻尼（ 11）

19、系统的特征根为系统的特征根为 n p)1( 2 1 n p)1( 2 2 2 1,2 (1) n p 二不等负实根二不等负实根 特征根（闭环极点）：特征根（闭环极点）： 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 2 22 2 012 1212 1 ( ) (2) ()() n crB nn n XsXs Ws sss AAA s spspsspsp 1)( 00 sc ssXA 1 1 2 111 22 12 1 ( )()() ()() 21(1) n csp sp AXs spsp s spsp 2 2 2 222 22 12 1 ( )()(

20、) ()() 21(1) n csp sp AXs spsp s spsp 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 输出响应的时间函数：输出响应的时间函数： 22 12 11 012 12 (1)(1) 222 12 ( )( ) 1 1 2111 1, 0 nn cc tt p tp t AAA x tLXsL sspsp ee AeA et 2112 , ppAA 谁衰减的更快？谁衰减的更快？ ( )r t t ( )c t 0 r xt c xt 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 5)1 12 12 ( )1, 0 p tp t c x tAeA et 系统响应

21、为单调上升；系统响应为单调上升； 稳态分量为稳态分量为1 1； 暂态分量由两部分组成，暂态分量由两部分组成，极点距虚轴越近，对系统响应极点距虚轴越近，对系统响应 影响越大。影响越大。 当当 时，第二项的衰减指数时，第二项的衰减指数远比前一项大得多远比前一项大得多，所以，所以 第第二二项暂态分量只是在响应的前期对系统的输出有影响，后项暂态分量只是在响应的前期对系统的输出有影响，后 期的影响很小，第二项可以忽略，此时的二阶系统的响应可期的影响很小，第二项可以忽略，此时的二阶系统的响应可 近似为一阶系统响应。近似为一阶系统响应。 1 2112 , ppAA 1 1 ( )1 p t c x tAe

22、结论：结论： 2112 , ppAA 具有负具有负 实极点实极点 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 时的响应曲线。时的响应曲线。 1, 2, 3, 4 n 2 4 3 一定时，随一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢。的增大，系统的响应速度变慢。结论：结论： n 上升时间上升时间tr 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 4, 1,2,3 n 时的响应曲线。时的响应曲线。 1 n 3 n 2 n 结论结论： ： （ （6） 一定时，随一定时，随 的增大，系统的响应速度变快。的增大，系统的响应速度变快。 n 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2 22

23、111 ( )( ) ()() nn cr nnn XsXs W s sssss ( )1(1), 0 nt cn x tett 2 1,2 (1) nn p 二相等负实二相等负实 根根 （2 2）临界阻尼（）临界阻尼（ =1=1） 系统的特征根为系统的特征根为 输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 输出响应为：输出响应为： 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 一对左半一对左半S面一对共轭复根面一对共轭复根（3 3）欠阻尼（）欠阻尼（ ） 系统的特征根为系统的特征根为 10 2 1,2 (1) n d pj j 2 1 n dn w ： = 其其中中 衰衰减减系数系数 阻尼阻尼振

24、振荡荡角角频频率率 2 cos sin1 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 2 222222 11 ( ) (2)()()()() nnn c nnndnd s X s ssssss 1 2 2 ( )( ) 1cossin 1 1 1sin, 0 1 n n cc t dd t d x tLXs ett ett 拉式反变换后可得：拉式反变换后可得： 式中：式中： 2 1 arctan 阻尼角，阻尼角， 阻尼振荡频率阻尼振荡频率 22 22 sin () cos () at at L et sa sa L et sa 2 1 dn 2021

25、-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2 1 ( )1sin, 0 1 nt cd x tett 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 nt e 1 n T T2T3T4T t ( )c t 2 1 1 nt e 重点，理重点，理 解性记忆解性记忆 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 结论：结论： 1 1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为衰减振荡曲线。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为衰减振荡曲线。 2 2、稳态分量为、稳态分量为1 1； n 3 3、暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数，、暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数， 形态与形态与 和和 有关；有关

26、； 2 1 ( )1sin, 0 1 nt cd x tett 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 0.5, n 1 n 23 分别为分别为1 1、2 2、3 3、4 4时的响应曲线。时的响应曲线。0.5, n 4 一定时，系统的超调量不变。随一定时，系统的超调量不变。随 的增大，响应速度加快。的增大，响应速度加快。 n 结论：结论： 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 1 , 0.10.9 n 时的响应曲线。时的响应曲线。 0.2 0.3 0.1 0.4 0.8 振荡程度与振荡程度与 有关有关： 一定时，随一定时，随 的增大，系统的响的增大，系统的响 应速度变慢，

27、超调量减小。应速度变慢，超调量减小。 越小，越小，超调量越大，超调量越大，振荡振荡 越剧烈越剧烈 n 0? 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （4 4）无阻尼（）无阻尼（ =0=0） 系统的特征根为系统的特征根为 输出量的拉氏变换为输出量的拉氏变换为 二阶系统的暂态响应为二阶系统的暂态响应为 2 22 1 ( ) () n c n Xs ss ( )1 cos cn x tt 一对位于虚轴上共轭虚根一对位于虚轴上共轭虚根 2 1,2 (1) nn pj 结论结论： 输出输出Xc(t)为一条在为一条在0 0和和2 2之间之间不衰减的等幅不衰减的等幅振荡曲线。振荡曲线。 2021-

28、7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （5） 0（负阻尼）（负阻尼） 系统的特征根为系统的特征根为: : n p)1( 2 1 n p)1( 2 2 2 1 ( )1sin, 0 1 nt cd x tett 右半右半S S平平 面的二根面的二根 结论：结论： 当当 0 0 时系统具有二右半面的特征根，输出时系统具有二右半面的特征根，输出 响应为一发散形式的曲线。响应为一发散形式的曲线。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 小小 结结 2 1 ( )1sin, 0 1 nt cd x tett 二二阶阶系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应： 1 ( )1, (0) t T c x

29、tet ：一一阶阶系系统统单单位位阶阶越越响响应应 一阶系统的响应是单调上升的过程，品质由时间常数一阶系统的响应是单调上升的过程，品质由时间常数T来表证。来表证。 二阶系统的响应由二阶系统的响应由 这两个特征参数来决定。这两个特征参数来决定。 n 和 暂态响应暂态响应 暂态响应暂态响应 稳态响应稳态响应 稳态响应稳态响应 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 c tx 。稳稳态态响响应应：是是时时的的响响应应，即即稳稳态态响响应应 仅仅取取决决于于系系统统的的输输入入量量，持持续续时时间间与与输输入入量量同同。 （1 1）系统的响应由系统的响应由两部分组成两部分组成： 稳态响应暂态

30、响应。稳态响应暂态响应。 1 1 t T t T e te , 当时，0。 暂暂态态响响应应：对对于于一一稳稳定定的的系系统统暂暂态态响响应应是是随随时时间间的的 大大逐逐渐渐趋趋于于零零的的那那部部分分。如如一一阶阶系系统统响响应应的的 由闭环极点或特征根决定。由闭环极点或特征根决定。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （2 2）极点在）极点在S S平面上的位置分布对系统响应的影响。平面上的位置分布对系统响应的影响。 a.a. 当极点位于当极点位于S S平面的左半面时，系统响应收敛。平面的左半面时，系统响应收敛。 b.b. 系统极点位于系统极点位于S S平面的右半面或虚轴上，

31、响应发散。平面的右半面或虚轴上，响应发散。 c.c.极点离虚轴越近，对系统响应影响越大，极点离虚轴越近，对系统响应影响越大， 极点离虚轴越远，对系统响应影响越小。极点离虚轴越远，对系统响应影响越小。 2 1 ( )1sin, 0 1 nt cd x tett 1 ( )1, (0) t T c x tet 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 二阶系统的闭环极点分布二阶系统的闭环极点分布 2 1,2 1 nn s j 0 n 21 ss 1 0 j 1 n 2 1 n 0 j 10 2 1 n j n 0 n 0 0 j 1 01 0 j n 2 1 n 2 1 n 特征根： 四种

32、运动模态四种运动模态 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 d.d.极点的实部决定着系统暂态响应是否收敛与衰减的极点的实部决定着系统暂态响应是否收敛与衰减的 快慢；快慢； 虚部决定着系统暂态响应的振荡情况。虚部决定着系统暂态响应的振荡情况。 2 1 ( )1sin, 0 1 nt cd x tett 2 1,2 1 nn d pj j 衰减衰减 系数系数 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应 有很大的区别，因此阻尼比有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系统的重是二阶系统的重 要参量。当要参量。当 0

33、0时，系统不能正常工作，而在时，系统不能正常工作，而在 1 1时，系统暂态响应进行的又太慢（退化为时，系统暂态响应进行的又太慢（退化为 一阶系统）。所以，对二阶系统来说，一阶系统）。所以，对二阶系统来说，欠阻尼欠阻尼 情 况 （情 况 （ ） 是 最 有 实 际 意 义 的 。） 是 最 有 实 际 意 义 的 。 10 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 当当 时，典型二阶系统的输出响应为时，典型二阶系统的输出响应为 ( ) 1( ) r x tt 2 1 ( )1sin,(01) 1 0 nt cd x tet t 3. 3. 二阶系统暂态特性指标二阶系统暂态特性指标 典型二

34、阶系统典型二阶系统 2 22 ( ) (2) n B nn W s ss 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 时间时间tr 上上 升升 峰值时间峰值时间tm A B 超调量超调量% = A B 100% 调节时间调节时间ts 二阶系统暂态特性指标定义二阶系统暂态特性指标定义 快速性：上升时间快速性：上升时间t tr r ，调节时间调节时间t ts s、 峰值时间峰值时间t 平稳性：超调量平稳性：超调量 % %， 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 sin0 d r t 2 1sin1 1 n r t crd r e xtt 令令t =tr 时，时，xc（t r ）=

35、1=1，得得 （1 1）上升时间上升时间tr -系统的输出第一次达到稳态值的时间系统的输出第一次达到稳态值的时间 (0, 1, 2,) d r tnn 取取n=1，得：，得： 2 1 n d r t 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 结论：结论：1 1、当、当 n n一定时，阻尼比越小，则上升时间一定时，阻尼比越小，则上升时间 tr 越短；越短； 2 2、当阻尼比一定时，、当阻尼比一定时， n n 越大，则 越大，则tr 越短。越短。 cos arccos 2 arccosarccos 1 r d n t 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 最大超调量发生在第一个

36、周期中最大超调量发生在第一个周期中t = tm 时刻。时刻。 令令 得得 0 m tt c dt tdx 2 1 cos sin md md t t 2 1 tan mdt 峰值时间峰值时间 （2 2）最大超调量）最大超调量% max ( ) %100% c c xx x 输出最大值相对于输出稳态值的误差。输出最大值相对于输出稳态值的误差。 计算公式为计算公式为 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 即即 因此因此 因为在因为在n=1时出现最大超调量，所以有时出现最大超调量，所以有 ntm d n d m t 2 1 n d m t 2 1 峰值时间为峰值时间为 ： 2 1 tan

37、tan d m t 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 将将 代入代入 2 1 m d n t 2 1 max ()1 cm xx te 2 1 max ( ) %100%100% c c xx e x 1 1、 只与只与 有关，随有关，随 的减小而增大。的减小而增大。 0.40.8 %25.38%1.52% % 2、 结论：结论： 2 1 ( )1sin, 1 nt cd x tet 得输出最大值为得输出最大值为 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 定义：定义：系统的输出与稳态值之间的偏差达到允许范系统的输出与稳态值之间的偏差达到允许范 围（一般取围（一般取5%5

38、%2%2%）而不再超出的暂态过程时间。）而不再超出的暂态过程时间。 s t（3 3）调节时间）调节时间 根据调节时间的定义，设误差带为：根据调节时间的定义，设误差带为： 2 2 sin10.05 1 n s t n s e t ( )( )0.05 ( )1 cscc x txx 且且 得：得： 2 2 1sin1, (01) 0 1 nt cn e xttt 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2 0.05 1 n s t e ：用用包包络络线线求求调调解解时时间间 2 22 1sin11 11 n sn s tt cn s ee xtt 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1

39、 2 1 1 nt e 1 n T T2T3T4T t ( )c t 2 1 1 nt e x 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 由此求得调节时间为：由此求得调节时间为： 2 1 ln 1ln 2 n s t 2 113 5%3ln 1, 00.9 2 s nn t 9 . 00 , 4 1ln 2 1 4 1 %2 2 nn s t 2 0.05 1 n s t e 1 1、调节时间、调节时间 与闭环极点的实部与闭环极点的实部 成反比。成反比。 2 2、保持、保持 不变，增大不变，增大 可在不改变超调量的情况下减可在不改变超调量的情况下减 小小ts。 s t n n 2021

40、-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 4. 4. 二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系 阻尼比阻尼比 是二阶系统的一个重要参量，由是二阶系统的一个重要参量，由 值值 的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 3 3 一一般般系系统统在在欠欠阻阻尼尼 0 0 1 1 情情况况下下工工作作。太太小小， 则则超超调调大大，振振荡荡次次数数多多，调调节节时时间间长长，暂暂态态品品质质差差。 （1 1）最大超调量只与阻尼比这一特征参数有关。）最大超调量只与阻尼比这

41、一特征参数有关。 因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比 （2 2）调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率的）调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率的 乘积成反比。乘积成反比。 3 5% s n t ns t 为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般 应在应在0.40.40.80.8之间，这时阶跃响应的超调量将在之间，这时阶跃响应的超调量将在 1.5%1.5%25%25%之间之间。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 707. 0 2 1 1 21 K Ws Ts Ts ：开开环环传传函函

42、22 1 221 B Ws T sTs ：闭闭环环传传函函 11 22 n n T 令令 5. 5. 二阶工程最佳参数二阶工程最佳参数 2 ( ) (2) n K n Ws s s 1 2 1 2 n n T T 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2 1 %100%4.3%e Tt n r 7 . 4 1 2 4 2%8 3 5%6 s n s n tT tT 707. 0 2 1 11 22 n n T 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 例例3-2 3-2 位置随动系统结构如图所示，其中位置随动系统结构如图所示，其中K Kk k = 4= 4。求求 1 1）自

43、然振荡角频率；）自然振荡角频率； 2 2）系统的阻尼比；）系统的阻尼比； 3 3）超调量和调节时间；）超调量和调节时间； 4 4）如果要求）如果要求 ，应怎样改变系统参数，应怎样改变系统参数 K Kk k 。0.707 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 解：解： 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 （1 1）自然振荡角频率）自然振荡角频率 2 , 4 K BK K K WsK ssK 其中 22 2 2 )( nn n B ss sW 2 nK K 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （3 3）超调量）超调量 调节时间调节时间 （4 4）当要求）当要求 时时

44、 21 n 1 210.25 2 n n ， 2 1 %100%47%e s 6 3 %)5( n s t 0.707 2 1 ,0.5 2 nKn K （2 2）阻尼比）阻尼比 %4.3% (5%)6 s s t 2 K B K K Ws ssK 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 例例3-3 3-3 为了改善例为了改善例3-23-2系统的暂态响应性能，满足单系统的暂态响应性能，满足单 位阶跃输入下系统超调量位阶跃输入下系统超调量 的要求，今加入的要求，今加入 微分负反馈微分负反馈 ，如下图所示。求微分时间常数，如下图所示。求微分时间常数 。 %5% s 2021-7-20第三

45、章 自动控制系统的时域分析 系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 时间常数形式时间常数形式 441 ( ) 1 (1 4 )1 41 (1) 1 4 K K K Ws s ss TS ss 4)41 ( 4 )( 2 ss sWB 解：解： 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 4 14 k K 其其中中： 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 为了使为了使 ，令，令 由由 可求得可求得 并由此求得开环放大系数为并由此求得开环放大系数为 %5%707. 0 4 ,412 2 nn 457. 0 4 12707. 02 4 12 n 4 1.4140.5 14 K K %4.3%

46、 33 2 2 s n t 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 由例由例3-33-3可知：可知： 当系统加入局部微分负反馈时，相当于增加了系当系统加入局部微分负反馈时，相当于增加了系 统的阻尼比，统的阻尼比，系统的系统的，但同时也，但同时也降低降低 了了系统的开环放大系数，提高了系统稳态精度。系统的开环放大系数，提高了系统稳态精度。 00 00 2, 47, 6 ns ts： 0.25，校校正正前前 00 00 2, 4.3, 1.5 2 n s ts ： 0.707，校校正正后后 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 ( (1) 1) 二阶系统加极点的暂态响应二阶系

47、统加极点的暂态响应 2 1 2 2 33 (1) (1) n n pj pj pR 系统传递函数系统传递函数 2 3 3 22 ( ) (2)() n B nn R Ws sssR 当当 时，特征方程式的三个根为时，特征方程式的三个根为 1 惯性，积惯性，积 分环节分环节 6. 6. 零、极点对二阶系统暂态性能的影响零、极点对二阶系统暂态性能的影响 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 因此得因此得 3 0 2 22 21 1 2 ( ) (2) 1 cos 1sin 1, t0 1 n R t c t n nn n e x tA AA eAtt 系统输出响应为系统输出响应为 式中

48、式中 是负实数极点与共轭复数极点的负实是负实数极点与共轭复数极点的负实 部之比。部之比。 n R 3 3 3 22 210 2 )( Rs A ss AsA s A sX nn c 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 n R 3 结论结论（1 1）具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，调节时具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，调节时 间增长，超调量减小。极点的加入相当于加入了间增长，超调量减小。极点的加入相当于加入了 ，起，起作用。作用。 （2 2）极点距虚轴越近，影响越大（对应暂态分量衰减越）极点距虚轴越近，影响越大（对应暂态分量衰减越 慢，系数越大）。慢，系数越大）。 20

49、21-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2 2 22 22 ( )(1) 1 ( )2 (2) 1 () n cn rnn nn Xss Xsss s s s 式中：式中： 时间常数。时间常数。 系统的传递函数为：系统的传递函数为： ( (2) 2) 具有零点的二阶系统的暂态特性分析具有零点的二阶系统的暂态特性分析 比例微分环节比例微分环节 (PD调节器调节器) 零点零点 2 012 22 12 1 ( )( ) 1 (2 1 ) () n cBr nn AAA XsWs Xs ssspsp ss s 单位阶跃响输入时：单位阶跃响输入时： 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析

50、 1 1 2 2 1 111 12112 2 222 12221 ()1()1 ( )()() ()()() ()1()1 ( )()() ()()() csp sp csp sp KpzK sz AXs spsp sspspppp KpzK sz AXs spsp sspspppp 令令 ，则，则 z 1 2 22 ( )() ( )(2) cn rnn Xssz Xsz ss 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2 22 () ( )( ) (2) n cr nn sz XsXs z ss 设设 2 1 22 ( )( ), 01 2 n cr nn XsX s ss )()

51、()( 11 sX z s sXsX ccc 1 ( ) r X s s 其中： 则则 在初始条件为零时，取拉氏反变换为在初始条件为零时，取拉氏反变换为 dt tdx z txsX z s LsXLtx c cccc )(1 )()()()( 1 11 1 1 1 22 2222 ( )( ) 22 nn rr nnnn s XsXs z ssss 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 2 2 0.51 0.5 s Ws ss 1 2 0.5 ,0.707,0.5 0.5 n W s ss （2 2）闭环零点的存在，起）闭环零点的存在，起的作用，使输的作用，使输 出响应加快，超调增

52、大。出响应加快，超调增大。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 1 2 0.5 ,0.707,0.5 0.5 n W s ss 2 2 0.50.51 0.50.5 s Ws ss 结论结论：（3 3）零点离虚轴越近，对系统响应的影响越）零点离虚轴越近，对系统响应的影响越 大，越大，越 远，影响越小。当零点离虚轴无穷远远，影响越小。当零点离虚轴无穷远 时，影响为零。时，影响为零。 1 1 ( )1 ( )( ) c cc dxt x txt zdt 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 3.4 3.4 高阶系统的暂态响应高阶系统的暂态响应 m zzz, 21 n pp

53、p, 21 式中：式中： 系统闭环零点，系统闭环零点，又称系统零点又称系统零点； 系统闭环极点，系统闭环极点，又称系统极点又称系统极点。 三阶以上的系统三阶以上的系统 nn nn mm mm B r c asasasa bsbsbsb sW sX sX 1 1 10 1 1 10 )( )( )( )()( )()( )( )( )( 21 21 n m B r c pspsps zszszsK sW sX sX 高阶系统的闭环传递函数形式：高阶系统的闭环传递函数形式： 将分子和分母分解成因式将分子和分母分解成因式-首首1 1形式：形式： 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 1

54、22 11 () 1 ( ) ()(2) m i i cq r jnknk jk Ksz Xs s spss 假设：假设：1 1、系统稳定，且全部极、零点互不相同。、系统稳定，且全部极、零点互不相同。 2 2、包含实极点和共轭复数极点。、包含实极点和共轭复数极点。 则则: : 单位阶跃响应的拉氏变换为单位阶跃响应的拉氏变换为 式中：式中：n=q+2r ；q为实数极点的个数，为实数极点的个数，r为共轭极点为共轭极点 的对数。的对数。 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 q j r k nknkk kk j j c ss CsB ps A s A sX 11 22 0 2 )( r

55、k nkk t nkk knkkk q j r k nkk t k tp jc te BC teBeAAtx nkk nkk j 1 2 2 11 2 0 1sin 1 1cos)( 拉氏反变换得单位阶跃响应为：拉氏反变换得单位阶跃响应为： 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 结论：高阶系统结论：高阶系统 （1 1）响应曲线）响应曲线由闭环极点决定（发散，等幅振荡由闭环极点决定（发散，等幅振荡 ， 衰减振荡，单调）衰减振荡，单调） （2 2）响应曲线的）响应曲线的和闭环极点和零点有关。和闭环极点和零点有关。 闭环极点负实部的绝对值越大闭环极点负实部的绝对值越大( (极点距虚轴愈远

56、极点距虚轴愈远) )， 则其对应的响应分量则其对应的响应分量( (模态模态) )衰减的越迅速，否则，衰减的越迅速，否则， 衰减的越慢。衰减的越慢。 在留数的计算过程中，要用到在留数的计算过程中，要用到 Xc(s), 而而 Xc(s), 中包中包 含有闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数含有闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数 的值。的值。( (和零点有关和零点有关) ) ( )() j jcjsp AXs sp 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 a.a.零极点相互靠近，则对应的零极点相互靠近，则对应的Aj 就越小，且离虚就越小，且离虚 轴较远轴较远( (衰减速度快衰减速度快

57、) )，它们对，它们对Xc(t)影响越小；影响越小； b.b.零极点很靠近，零极点很靠近，它们它们对对Xc(t)几乎没影响；几乎没影响； c.c.零极点重合零极点重合，它们对，它们对Xc(t) 无任何影无任何影 响；响； d.d.极点极点pj j附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对 Xc(t)影响大。影响大。 1 1 () 1 ( )()() () j j m i i icjspjn j j sp Ksz AXs spsp s sp 进一步理解进一步理解 2021-7-20第三章 自动控制系统的时域分析 （3 3） 高阶系统没有零点，且距离虚轴最近的极高阶系统没有零点，且距离虚轴最近的极 点其实部小于其它极点的实部的点其实部小于其它极点的实部的1/51/5，可以认为系，可以认为系 统的暂态响应主要由这一极点决定。这些对暂态响统的暂态响应主要由这一极点决定。这些