社会统计学(卢淑华版)

1、2021/3/101 第八章类别变量与尺度变量关系的假设检验方差分析 8.1方差分析的原理 8.2一元方差分析 8.3二元方差分析 2021/3/102 第一节 方差分析的原理 一、方差分析及其有关术语一、方差分析及其有关术语 1、什么是方差分析、什么是方差分析 方差分析通过分析数据的误差判断各总体均值是 否相等来检验多个总体均值是否相等，从而研究 分类型自变量对数值型因变量的影响。 根据自变量的多少，方差分析可分分为单因素方 差、双因素方差分析和多因素方差分析。 2、因素或因子、因素或因子 因素或因子是指所要检验的对象。 3、水平或处理、水平或处理 水平或处理是指因子的不同表现。 2021/

2、3/103 第一节 方差分析的原理 4、观察值、观察值 观察值是指在每个因素水平下得到的样本数据。 二、方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理 1、基本思想、基本思想 方差分析通过对数据误差来源的分析判断不同总 体的均值是否相等。 2、基本原理、基本原理 两类误差 随机误差 因素的同一水平(总体)下，由随机因素的影响造成 的样本各观察值之间的差异称为随机误差。 2021/3/104 第一节 方差分析的原理 系统误差 因素的不同水平(不同总体)下由系统性因素造成的样 本各观察值之间观察值的差异称为系统误差。 误差平方和SS 数据的误差用平方和(sum of squares)表示，分为组

3、内 平方和和组间平方和。 组内平方和 组内平方和是指因素的同一水平下数据误差的平方和， 组内平方和只包括随机误差。 组间平方和 组间平方和是指因素的不同水平之间数据误差的平方 和，组间平方和既包括随机误差，也包括系统误差。 2021/3/105 第一节 方差分析的原理 均方MS 均方是指平方和除以相应的自由度。 基本原理 若原假设（自变量对因变量没有影响）成立，组 间均方与组内均方的数值就应该很接近，它们的 比值就会接近1；若原假设不成立，组间均方会大 于组内均方，它们之间的比值就会大于1。当这个 比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存 在着显著差异，即自变量对因变量有影响。 三、方差分析

4、的基本假定三、方差分析的基本假定 1、每个总体都应服从正态分布、每个总体都应服从正态分布 自变量对因变量没有 影响，则没有系统性 误差，组间平方和中 只有随机误差。 2021/3/106 第一节 方差分析的原理 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态 分布总体的简单随机样本。 2、各个总体的方差必须相同、各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的。 3、观察值是独立的、观察值是独立的 四、问题的一般提法四、问题的一般提法 1、设因素有m个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2，, m表示 2、要检验m个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1

5、 2 m H1 ： 1 , 2 , ，m 不全相 等 2021/3/107 第二节：单因素方差分析/一元方差分析 一、数据结构一、数据结构 2021/3/108 第二节：单因素方差分析/一元方差分析 二、分析步骤二、分析步骤 1、提出假设、提出假设 H0 ：1 = 2 = m 自变量对因变量没有显著影响 H1 ：1 ，2 ， ，k不全相等 自变量对因变量有 显著影响 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值 不相等，并不意味着所有的均值都不相等 2、构造检验的统计量、构造检验的统计量 水平的均值 2021/3/109 第二节：单因素方差分析/一元方差分析 假定从第i个总体中抽取一个容量为n

6、i的简单随机样本，第i 个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值 的个数。计算公式： ),2 ,1( 1 ki n x x i n j ij i i 式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数，xij 为第 i 个总 体的第 j 个观察值。 计算全部观察值的总均值 用全部观察值的总和除以观察值的总个数，计算公式： m m i ii m i n j ij nnnn n xn n x x i 21 1 11 式中： 2021/3/1010 第二节：单因素方差分析/一元方差分析 计算总误差平方和TSS 总误差平方和 TSS是全部观察值 与总平均值 的离差平方和，反映全部观察值的离散状况，

7、其 计算公式为： x m i n j ij i xxTSS 11 2 计算组间平方和BSS ix x 组间平方和是各组平均值 组间平方和是各组平均值 与总平均值 的离差平方和， 反映各总体的样本均值之间的差异程度，计算公式为： k i ii m i n j i xxnxxBSS i 1 2 11 2 2021/3/1011 第二节：单因素方差分析/一元方差分析 计算组内平方和RSS 组内平方和是每个水平或组的各样本数据与其组 平均值的离差平方和，该平方和反映的是随机误 差的大小，计算公式为： m i n j iij i xxRSS 11 2 三个平方和的关系 TSS = BSS + RSS 2

8、021/3/1012 第二节：单因素方差分析/一元方差分析 计算均方MS 各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观 察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均， 这就是均方均方，也称为方差。均方由误差平方和除以相 应的自由度求得，三个平方和对应的自由度分别是： TSS 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数 BSS的自由度为m-1，其中m为因素水平(总体)的个数 RSS 的自由度为n-m 组间方差MSB： 1 m BSS MSB组内方差MSR： mn RSS MSR 2021/3/1013 第二节：单因素方差分析/一元方差分析 3、计算检验统计量、计算检验统计量 F ), 1( /

9、 1/ mnmF MSR MSB mnMSR mBSS F 4、统计决策统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较， 作出对原假设H0的决策。 例（参见教材例（参见教材376页例页例1、383页例页例2）为了研究职业对家庭赡养 人数的影响，研究者抽查了某企业41名员工的家庭赡养人数(如 下表)，试判断职业对家庭赡养人数是否有影响。 家庭赡养人数 职 业 管理人员35 054 423132 3 3 2 4 2 6 1 工人13 446 234352 4 技术员64 223 053121 2021/3/1014 第二节：单因素方差分析 变量间关系的强度用自变量平方和(BSS) 占

10、总平方和(TSS) 的比例大小来反映，自变量平方和占总平方和的比例记为 R2 ，即： )( )( 2 总平方和 组间平方和 TSS BSS R 其平方根R就可以用来测量两个变量之间的关系强度。 三、关系强度的测量三、关系强度的测量 拒绝原假设表明因素(自变量)与观测值之间有显著关系，组间平 方和(BSS)度量了自变量(行业)对因变量(投诉次数)的影响效应。 只要组间平方和BSS不等于0，就表明两个变量之间有关系(只是 是否显著的问题) 。当组间平方和比组内平方和(SSE)大，而且 大到一定程度时，就意味着两个变量之间的关系显著，大得越 多，表明它们之间的关系就越强。反之，就意味着两个变量之 间

11、的关系不显著，小得越多，表明它们之间的关系就越弱。 2021/3/1015 第三节第三节 双因素方差分析双因素方差分析/二元方差分析二元方差分析 一、二元方差分析的数学模型一、二元方差分析的数学模型 二元方差又称双因素方差分析，用来分析两个因素 (行因素Row和列因素Column)对试验结果的影响。 设两个自变量A和B作用于总体，其中自变量A有a种 取值：A1，A2，Aa，自变量B有b种取值：B1， B2，Bb。变量A的取值为Ai 、变量B的取值为Bj 时因 变量y的取值为yij 无交互作用的二元方差分析模型无交互作用的二元方差分析模型 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别 判断行因

12、素和列因素对试验数据的影响，这时的二元 方差分析称为无交互作用的二元方差分析或无重复二 元方差分析(Two-factor without replication) 。 2021/3/1016 因变量y与自变量A、B之间的关系可以表达为以下 模型： ijjiij y ij相互独立，并且服务正态分布： 2 , 0N ij 都是未知参数，且有：及、 2 ji 0 1 a i i 0 1 b j j 有交互作用的二元方差分析模型 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两 个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双 因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析或可重 复双因素方差分析 (Tw

13、o-factor with replication )。 2021/3/1017 因变量y与自变量A、B之间的关系可以表达为以下 模型： ijkijjiijk y ijk相互独立，并且服务正态分布： 2 , 0N ijk 都是未知参数，且有：及、 2 ijji 0 1 a i i 0 1 b j j K=1,2，r r为自变量A和B每种搭配的重复数 0 1 b j j 0 1 a i i 2021/3/1018 二、无交互作用的二元方差分析二、无交互作用的二元方差分析 提出假设提出假设 bjaiH ji , 2 , 1 0 , 2 , 1 0: 0 bjaiH ji , 2 , 1 0 , 2

14、 , 1 0: 1 不全为不全为 2、构造构造检验统计量检验统计量 几个基本概念 j y.行平均值 j a i ijj T a y a y . 1 . 11 自变量y1j，y2j ， ，yaj,观测一次取平均的，因此可以认为 变量A的影响已经相互抵消，所以行平均值 反映的是自 变量B对因变量y的影响。 是把值按行加总求平均。由于行平均值是把观测 ij y j y. 2021/3/1019 . i y列平均值 . 1 . 11 i b j iji T b y b y 自变量yi1，yi2 ， ，yib,观测一次取平均的，因此可以认为 变量B的影响已经相互抵消，所以行平均值 反映的是自 变量A对因

15、变量y的影响。 是把值按行加总求平均。由于列平均值是把观测 . i y y总平均值 b j j a i i a i b j ij y b y a T ab y ab y 1 . 1 . 11 1111 变量A的离差平方和BSSA a i b j iA yyBSS 11 2 . 2021/3/1020 TSS总离差平方和 a i b j ij yyTSS 11 2 变量B的离差平方和BSSB a i b j jB yyBSS 11 2 . TSS=BSSA+BSSB+RSS 剩余平方和RSS a i b j jiij a i b j jiij yyyyyy yyyyRSS 11 2 . 11 2

16、 . )-(-)-(-)( 的总误差 观测值 ij y 释的误差 解变量A 释的误差 解变量A 离差平方和之间的关系 2021/3/1021 计算均方 ABSSA的平均离差平方和变量 11,1 11/ 1/ baaF baRSS aBSS RSS BSS F A A A 其中a-1是自由度 BBSSB的平均离差平方和变量 1 b BSS BSS B B 其中a-1是自由度 RSS平均剩余误差平方和 11 ba RSS RSS 其中(a-1)、(b-1) 是自由度 构造检验统计量 11,1 11/ 1/ babF baRSS bBSS RSS BSS F A B B 1 a BSS BSS A

17、A 2021/3/1022 的作用显著，则变量如果 的作用显著，则变量如果 、，确定临界值根据给定的显著性水平 BF AF BB AA BA 用Excel进行方差分析 (Excel分析步骤) 第第1步：步：选择“数据数据 ”下拉菜单 第第2步：步：选择【数据分析数据分析】选项 第第3步：步：在分析工具中选择【单因素方差分析单因素方差分析】 ， 然后选择【确定确定】 第第4步：步：当对话框出现时 在【输入区域输入区域 】方框内键入数据单元格区域 在【】方框内键入0.05(可根据需要确定) 在【输出选项输出选项 】中选择输出区域 确定临界 值，并与检 验统计量进 行比较，得 出结论： 2021/3

18、/1023 例 三个地区家庭人口数的抽样调查如下表所示， 试问这三地区的平均家庭人口有没有显著差异？ 地区 甲地乙地丙地 家庭人口数 262 641 443 1313 581 827 4121 614 52 2 2021/3/1024 三、有交互作用的二元方差分析三、有交互作用的二元方差分析 提出假设提出假设 , 2 , 1 , 2 , 1 0 , 2 , 1 0 , 2 , 1 0 : 0 bjai bj ai H ij j i 0: 1 对应的参数不全为H 几个基本概念几个基本概念 总平均值 . y abr T y abr y a i b j r k ijk . 111 . 1 总平均值是

19、对全部观测值求平均 2021/3/1025 行平均值 . j y ar T y ar y j a i r k ijkj . 11 . 1 行平均值是对行号相同的全部观测值求平均 列平均值 列平均值是对列号相同的全部观测值求平均 .i y br T y br y i b j r k ijki . 11 . 1 格平均值格平均值是对行号和列号都相同的全部观测 值求平均 .ij y r T y r y ij r k ijkij . 1 . 1 2021/3/1026 总离差平均和TSS a i b j r k ijk ijk a i b j r k ijk abr T yyyTSS 111 2 .

20、2 111 2 . 列间平均和BSSA 列间平方和BSSA反映了由 变量A解释掉的误差 a i b j r k iA yyBSS 111 2 . 行间平均和BSSB 行间平方和BSSB反映了由 变量B解释掉的误差 a i b j r k jB yyBSS 111 2 . 2021/3/1027 BA I 交互作用 a i b j r k jiijBA yyyyI 111 2 . 自变量A、B在每一格所能解释的全部误差BSS a i b j r k ij yyBSS 111 2 . 剩余误差RSS 总离差平方和、行间平方和、列间平方和、交互作用、 剩余误差之间的关系 a i b j r k ij

21、ijk yyRSS 111 2 . RSSIBSSBSSTSS BABA 2021/3/1028 平方和的自由度 总平方和TSS的自由度 总平方和TSS是围绕着均值计算的，独立变化的取值只有 abr-1，所以总平方和TSS的自由度为abr-1 列间平方和BSSA的自由度 列间平方和BSSA是 围绕着均值计算的，存在 的 约束，所以列间平方和BSSA的自由度为a-1 0 1 a i i 列间平方和BSSB的自由度 列间平方和BSSB是 围绕着均值计算的，存在 的约 束，所以列间平方和BSSA的自由度为b-1 0 1 b j j 剩余平方和RSS的自由度 剩余平方和BSS是围绕着各格AiBj的均值

22、计算的，所以 剩余平方和BSS的自由度为abr-ab 2021/3/1029 自由度之间存在与平方和之间同样的关系式： RSSIBSSBSSTSS BABA abr-1a-1 b-1abr-ab ? 交互作用IAB的自由度 交互作用IAB的自由度=(abr-1)-(a-1)-(b-1)-(abr-ab)=(a-1)(b-1) 交互作用显著性的检验交互作用显著性的检验 提出假设 H0： 0 ij i=1，2，a j=1，2，b H1： 0不全为 ij i=1，2，a j=1，2，b 2021/3/1030 构造检验统计量 1,11 1 / 11 rabbaF rab RSS ba I F BA

23、BA BA ，确定临界值根据给定的显著性水平 确定临界值： 比较临界值与检验统计量，得出结论： 否则不显著，则交互作用显著如果,F BABA 4、交互作用不显著情况下，自变量交互作用不显著情况下，自变量A、B显著性的检验显著性的检验 交互作用不显著，则交互作用的平方和IAB合并到误差 项RSS中，作为总误差TRSS，自由度也相应地合并：abr- a-b+1 2021/3/1031 自变量A的检验 0 , 2 , 1 0 10 不全为： ii HaiH 检验统计量： 1,1 1 / 1 baabraF baabr TRSS a BSS F A A A R RF 根据给定的显著性水平，查出临界值

24、。如果 ， 则不拒绝原假设。否则，拒绝原假设。 自变量B的检验 0 , 2 , 1 0 10 不全为： jj HbjH 检验统计量： 1,1 1 / 1 baabrbF baabr TRSS b BSS F B B 根据给定的显著性水平，查出临界值 。如果 ， 则不拒绝原假设。否则，拒绝原假设。 B B BF 2021/3/1032 5、交互作用显著情况下，自变量、交互作用显著情况下，自变量A、B显著性的检验显著性的检验 交互作用显著情况下，自变量A、B的检验方法要根据变 量A和B的性质来确定。如果某变量的取值是固定的，则 该变量属于固定变量。如果变量所涉及的测试个体是随 机选择的，则该变量属于随机变量。根据A、B性质的不 同，可以分为三种模型： 固定模型：A、B都是固定变量 对于固定模型，F检验分母项就用剩余误差项（RSS）的均方 1 rab RSS RSS 变量A的检验 0 , 2 , 1 0 10 不全为： ii HaiH 检验统计量： 1,1 1 / 1 rabaF rab RSS a BSS F A A 2021/3/1033 根据给定的显著性水平，查出临界值 。如果 ， 则不拒绝原假设。否则，拒绝原假设。 A A AF 变