流体力学(相似原理与_)

1、 第五章第五章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析 流动相似 相似准则 模型试验 量纲分析 5 51 1 流动相似流动相似 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件的相似 原型：流体实际流动的实物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的 代表物，称为模型。 模型试验：依据相似原理把流体流动原型按一定比例缩小制成 模型，模拟与实际情况相似的流体进行观测和分析研究，然后将模 型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 关键问题：模型流体和原型流体保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、 各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这

2、两个流动就是相似 的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似 一、几何相似一、几何相似 几何相似是指原型与模型的外形相似，其各对应角相等，而且 对应部分的线尺寸均成一定比例。 对应角相等 p = m 以角标p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。 线性尺寸成比例 m p m p l d d l l 式中l长度比尺； lp原型某一部位长度； lm模型对应部位的长度。 面积比尺 2 2 2 l m p m p A l l A A 3 3 3 l m p m p v l l V V 由上式可知，几何相似是通过长度比尺l来表示的。只要

3、任一 对应长度都维持固定的比尺关系l，就保证了流动的几何相似。 体积比尺 二、运动相似二、运动相似 运动相似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场相似。 要求两个流场中所有对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都 维持固定的比例关系。 m p u u u m p t t t t l mm pp m p u tl tl u u 22 2 2 )( tl m p m p mm pp m p a t t l l tl tl a a 速度比尺 时间比尺 则 加速度比尺 由上可知，运动相似是通过长度比尺l和时间比尺t来表示的。 长度比尺已由几何相似定出。 因此，运动相似就规定了时间比尺，只要对任一对应

4、点的流速 和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺l和时间 比尺t，就保证了运动相似。 u m p v v v 由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速 度比尺，即 三、动力相似三、动力相似 动力相似是指原型与模型两个流动的力场几何相似。要求两个 流场中所有对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维持固定 比例关系。 m p f F F a V mmm ppp m p f aV aV F F 3 lV 2 tla 即 式中 Fp原型某点上的作用力； Fm模型对应点上的作用力。 由牛顿第二定律：F = ma = V a 则力的比尺为 因为 22 2 223 vl t l

5、ltllf 22 22 mmm ppp m p vl vl F F 则 即 上式可写成 2222 mmm m ppp p vl F vl F 22v l F N e mepe NN)()( 上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个 流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。 在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数， 称为相似准数。动力相似条件（相似准数相等）称为相似准则。 无量纲数 在相似原理中称为牛顿数Ne 四、初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。

6、 五、流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。 5 52 2 相似准则相似准则 雷诺准则雷诺准则 佛汝德准则佛汝德准则 欧拉准则欧拉准则 5 52 2 相似准则相似准则 在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就 能够基本上反映出流体的运动状态。 一、雷诺准则一、雷诺准则 作用在流体上的力主要是粘性力。 牛顿内摩擦定律 粘性力 dy du A dy du AT vl m m mmm p p ppp m p T dy du

7、A dy du A T T Tf vlvl 22 粘性力比尺 由于作用力仅考虑粘性力，F = T ，即 于是 上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动 力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则 这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。 mepe RR)()( 1 vl m mm p pp lv lv 化简后 或者 无量纲数 即 雷诺数 上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似， 它们的佛汝德数相等，反之，两个流动的佛汝德数相等，则这两个 流动一定是在重力作用下动力相似。 3 lg mmm ppp m p G gV gV G G 322 lgvl 1

8、2 lg v mm m pp p lg v lg v 2 2 gl v F r 2 mrpr FF)()( 二、佛汝德准则二、佛汝德准则 作用在流体上的力主要是重力。即：重力 G = mg = Vg 重力比尺 由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即f = G 于是 化简得：或 无量纲量 佛汝德数所以 上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相 似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这 两个流动一定是在压力作用下动力相似。 2 lp mm pp m p P Ap Ap P P Pf 222 lpvl 1 2 v p 22 mm m pp p v p v p

9、 2 v p Eu mp EuEu)()( 三、欧拉准则三、欧拉准则 作用在流体上的力主要是压力P P。即：压力 P = pA 由于作用力F中只考虑压力P，因而 F = P，即 压力比尺 于是可得 化简得则 无量纲数 欧拉数 所以 5 53 3 模型试验模型试验 模型律的选择模型律的选择 模型设计模型设计 5 53 3 模型试验模型试验 模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即 所谓模型律的问题。 一、模型律的选择一、模型律的选择 在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就 是模型律的选择，模型律的选择应依据相似准则来确定。 现在仅考虑粘性力与重力同时满足相似。 由雷

10、诺准则 1 vl l v 1 2 lg v lv 则（1） 由佛汝德准则 通常g = 1，则上式为 （2） 23 l l / 1 23 l 1 l v 1 lv 1 l 要同时满足雷诺准则和佛汝德准则两个条件，式（1）和式（2） 相等。即得： 要实现两流动相似，一是模型的流速应为原型流速的 倍； 二是必须按 来选择运动粘度的比值，但通常这后一条件难 于实现。 若模型与原型采用同一种介质，即 ，根据粘性力和重 力的相似，由式（1）和式（2），有如下的条件： 显然，要同时满足以上两个条件，则 ,即模型不能缩 小，失去了模型实验的价值。 从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力 相似是

11、难以实现的。 二、模型设计二、模型设计 模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺 缩 小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。 通常，模型和原型采用同一种类流体，则 ，然后按 所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的 流量： l l 1 2 lv mm pp m p Av Av Q Q 2 lv p m Q Q 按以上步骤，便可实现原型、模型流动在相应准则控制下的流 动相似。 或 例1：一桥墩长lp =24m，墩宽bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水 流平均流速vp=2.3m/s，两桥台的距离Bp=90m。取 =50来设计水工 模型试验，试求模型各几何尺寸

12、和模型中的平均流速和流量。 l 水深 由给定的 = 50 直接计算 l )(48. 0 50 24 m l l l p m )(086. 0 50 3 . 4 m b b l p m )(80. 1 50 90 m B B l p m )(164. 0 50 2 . 8 m h h l p m 解：（1）模型的各几何尺寸 桥墩长 桥墩宽 桥台距离 （2）模型平均流速与流量 对一般水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型试 验只需满足佛汝德准则。即 1 2 lg v lv )/(325. 0 50 3 . 2 sm v v l p m m p l mm pp m p v v Av Av Q

13、 Q 2 )/(091. 0 3 . 250 325. 02 . 8)3 . 490(3 . 2 3 22 sm v vQ Q pl mp m 所以 在此g g = 1 = 1，则 ，模型的流速为 模型流量为 因为 由于 ， 例2：汽车高hp=1.5m，最大行速为108km/h，拟在风洞中测定 其阻力。风洞的最大风速为45m/s，问模型的最小高度为多少？若 模型中测得阻力为1.50kN，试求原型汽车所受的阻力。 解：（1）求模型的最小高度hm 对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。雷诺准则为 1 vl 1 p m v l v v 1 )( 1 360045 1000108 5 . 1m v

14、v h h h m p p l p m 故 此处 ， ， （2）求原型汽车所受的阻力 由在推导牛顿数得到的力的比尺为 22 vlf 1 lv 1 1 2 2 22 l l vlf kNFF mp 50. 1故 则 5 54 4量纲分析量纲分析 量纲和量纲和谐原理量纲和量纲和谐原理 量纲分析法量纲分析法 一、量纲一、量纲(dimension)和量纲和谐原理和量纲和谐原理 1、量纲 表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。 同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。 在物理量的代表符号前面加“dim”表示量纲，例如速度v的量纲表 示为dim v。 量纲可分为基本量纲和导出量

15、纲。 基本量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而 且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长 度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。 由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量 纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作 MTLx dim（1） 导出量纲 速度 dim v = LT-1 加速度 dim a = LT-2 密度 dim = M L-3 力 dim F = M L T-2 压强 dim p = M L-1 T-2 MTLx dim 物理量x的性质可由量纲指数，来反映。 如，有一个不为零，则x为有量纲量。 如，均均为零，即d

16、im x =L0 T0 M0 = 1,则称x为无量纲量， 也称纯数。 基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。 无量纲量有如下特点： 量纲表达式中的指数均为零； 没有单位； 量值与所采用的单位制无关。 由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲 量。 MTLx dim 2、无量纲量 量纲公式 问题1：运动粘度的量纲是： A. L/T2； B. L/T3 C. L2/T； D. L3/T。 问题2：速度v，长度l，重力加速度 g 的无量纲集合是： A. B. C. D. 问题3：速度v, 密度, 压强 p 的无量纲集合是： A. B. C. D. g lv gl v gv l gl

17、v 2 v p p v 2 pv 2 v p (C) (D) (D) 3、量纲和谐 量纲和谐原理：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的 数值相等，而且其中各项的量纲也一定相同。 由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两 边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。 例如，动能方程 2 2 1 mvE 2 1 2 mv E g vp z g vp z 22 2 22 2 2 11 1 量纲分析法就是应用量纲和量纲和谐来探求物理现象的函数关 系，即建立物理方程的一种方法。 可改写为 又如，理想流体能量方程： 也可改写成 1 2)2( 2 1 2 2 1 21 2 1

18、 21 v v v pp gv zz 量纲和谐原理的重要性： 一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式 的正确性和完整性。 量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 可用来建立物理方程式的结构形式。 式中 k无量纲数； k1，k2，k3，kn待定指数。 设A、B、C为基本量纲，则各因素的量纲为 ),( 321n xxxxfy n k n k kk xxxkxy 321 321 iii cba i CBAx dim 二、量纲分析法二、量纲分析法 1、瑞利法 某一物理现象，各物理量间的函数关系为 式中x1、x2、x3、xn和y为影响物理现象的因素。 对上式进行量纲分析，以找出诸因素之间

19、的数学表达式。上式 可写成如下指数形式： (i = 1, 2, 3, ,n) dim y = AaBbCc 上式为量纲和谐方程组，解这个方程组便得到指数k1，k2，k3 ，kn的数值，但因方程组中的方程数只有三个，当待定指数kn 中的指数个数n3时，则有（n3）个指数需要用其它指数值的函 数来表示。 nnnn kcbakbakcbacba CBACBACBACBA)()()( 2221111 nnk akakaa 2211 nnk bkbkbb 2211 nnk ckckcc 2211 量纲表达式 由量纲和谐原理可知，等号两边的基本量纲的指数必须一致， 所以有 A： B： C： 例：根据观察、

20、实验和理论分析，认为总流边界单位面积上的 平均切应力0与流体密度、动力粘度、平均流速v、水力半径R以 及固体表面凸出的平均高度有关。 若令沿程阻力系数 ，可得 。 )(Re,8 R f 2 0 8 v 各物理量的量纲 dim= M L-1 T-2 （dim F = M LT-2） dim=M L-3 dim=M L-1 T-1 （的单位Ns/m2） dim v = L T-1 dim R = L dim = L ),( 0 Rvf 54321 0 kkkkk Rvk 解：由已知条件有 指数乘积式 将上述指数代入原指数乘积式，得 54321 )()()()()( 111321kkkkk LLLT

21、TMLMLTML 553333 221 0 kkkkkk Rvk 量纲表达式 量纲和谐方程组 M： 1 = k1 + k2 L: 1 = 3k1 k2 + k3 + k4 + k5 T: 2 = k2 k3 以上方程组有五个未知数，三个方程。选定k3、k5为待定。 联立解上述方程组得 k2 = 2 k3 k1 = k3 1 k4 = - 2 + k3 k5 瑞利法适用于比较简单的物理问题。 333 222kkk 3 3 2 2 k k v v v 3 5 3 5 2 2 2 2 0 Re k k k k v R k vR v R k 2 )(Re,v R f )(Re,8 R f 2 0 8

22、v = 又 则可得 若令 并代入上式得 2、定理 其内容为： 若物理方程f(x1，x2，xn) = 0，含有 n 个物理量，其中涉及 到 m 个基本量纲，则这个物理方程可用（n m）个无量纲的项的 关系式来表示，即 F（1，2，n-m）= 0 因为这些无量纲量用表示，所以就把这个定理称为定理。它首先 由布金汉提出，也称布金汉定理。 现以实例来具体说明定理的推演过程。 设影响圆球在液体中运动的阻力FD与液体的密度和动力粘度 ，圆球直径 d、相对速度 v 等因素有关，则可得如下函数关系 FD = f(，v，d，) 上式两边除以，得 ),(dvfF D ),( 1 dvf F D 上式左边已无质量的

23、量纲 M，由量纲和谐原理知，右边也必须无质 量的量纲 M。上式可写成 （dim FD = M LT-2, dim= M L-1T-1） 注：左边量纲：L4T-2 进一步可使上式左边无时间量纲 T，两边除以 v2 得 2 1 2 ),( v dvf v F D 则 1 =f(2) 或 F(1，2) = 0 上式说明n = 5个个变量利用 m = 3个包含基本量纲量的乘除变换，消 除 m 个基本量纲，便得 n m = 2 个无量纲的项。 ),( 2 2 v df v F D )( 3 22 vd f dv FD 22 1 dv FD vd 2 由量纲和谐原理，上式右边也无时间的量纲。则上式可写成

24、同理，可使上式无长度量纲 L，得 上式中两边均为无量纲量，分别以1和2表示，即 注：左边的量纲：L2 应用定理的两点说明： （1）m 个基本量纲是从 n 个物理量中选取 m 个基本物理量来 代表的。 一般取三个基本物理量，即 m=3，要求这三个基本物理量不能 组合成一个无量纲量。如用量纲公式表示基本物理量x1，x2，x3， 则 111 1 dim cba MTLx 222 2 dim cba MTLx 333 3 dim cba MTLx 0 333 222 111 cba cba cba 三个基本物理量一般取几何长度、流速v、密度含有M、T及L 量纲。 因此，x1，x2，x3不能不能组合成无

25、量纲量的条件是量纲公式中指数行 列式不等于零。即 （2）项的组合除了三个基本物理量以外，每次轮换取一个 物理量，组合而成。即 式中ai、bi、ci各项的待定指数。 这样一共可写出（n 3）个项，因为各项是无量纲量，dim = L0 T0 M0，因此，可由量纲和谐原理求出各项的指数值。 43211 111 xxxx cba 53212 222 xxxx cba n cba n xxxx nnn333 3213 M： 0 = c1 + 1 L： 0 = a1 + b1 3c1 1 T： 0 = b1 1 ),(dvfFD 0),( 1 dvFf D 111 1 cba vd D cba Fvd 2

26、22 2 )()()( 1131000 111 TMLMLLTLTLM cba 例1：以上例为例，求FD的表达式。 解：函数关系 或 取d、v、为基本物理量，它们不能组合成一个无量纲量。和FD为 导出量，将它们分别与基本量进行适当组合。n = 5 , m = 3 , n m = 2 ,有二个项。 （1） （2） 式（1）量纲表达式为 比较两边的量纲，于是有 式中 CD阻力系数，CD = f3 (Re)。 A圆球与速度方向垂直的迎流投影面面积，m2 22 2 vd F D 0),( 22 vd F dv F D (Re)( 21 22 f dv f vd FD vdvd Re 22 2 (Re)dvfFD A v CF DD 2 2 解得 a2 = 2， b2 = 2， c2 = 1。则 代入F（1，2）= 0 得 或 （ ） 故 上式说明阻力等于某一系数乘v2d2，而该系数是Re的函数。 通常（N） 例2：实验观察与理论分析指出，恒定有压管流的压强损失p 与管长l、直径d、管壁粗糙度、动力粘度、