2020年第三章导数微分边际与弹性精编版.doc

1、精选文档微积分教案章节3.1 导数概念第 10 讲：第三章次数教学目的要求主要内容重点难点教学方法和手段课后作业练习备注1. 理解导数概念，意义。2. 知道导数的几何意义与经济意义。3. 了解函数的可导性与连续性之间的关系。引例：变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率导数的定义与几何意义可导与连续的关系。对导数概念的理解，及其可导与连续的关系。以讲授为主，使用电子教案作业：97 页习题 3-1：4、 5，6， 7、 8， 10， 12， 13， 15精选文档精选文档第三章导数、微分、边际与弹性第一节导数概念教学目的与要求：理解导数概念，意义教学重点（难点） ：对导数概念理解，及其与连续的关系一

2、、引例二、导数的定义f (x0 )limyxx 0f ( x0x)f( x0 )limxx0f (x)f ( x0 )limxx0xx0f ( x)limf (xx) f (x)x0x左导数f(x)lim -f ( x0x) f( x0 )f (x) f ( x0 )xlimxx0x0xx0右导数f( x)limf ( x0x) f( x0 )f ( x) f ( x0 )xlimxx0x0xx0f ( x0 ) Af(x0 )f ( x0 )A三、导数的几何意义曲线 yf x 在点 x0 , y0处切线： yy0fx0x x0xsin1x0 在 x = 0例 1讨论 f ( x)x处可导性

3、.0x0解：limf ( x)limxsin 10f (0)， f (x) 在 x = 0 连续x 0x0xlimf ( x) - f (0)lim sinx - 0x0x 0例 2已知 f ( x0 ) 存在，则1不存在 ,f ( x) 在 x = 0 不可导xlimf ( x02h) -f ( x0 )2 f / ( x0 )h 0hlimf ( x05h)f ( x0 )5 f / ( x0 )h0hlimf ( x03h)f ( x0 h)= limf (x0 3h) f ( x0 )f ( x0h) f ( x0 )4 f ( x0 )h0hh 0hh精选文档精选文档例 3设函数 f

4、 ( x) 可微， 则 lim f 2 ( x x) f 2 ( x)2 f ( x) f ( x)x 0x例 4设x2xx0f ( x)axbx0为使 f (x) 在 x = x0 处可导，应如何选取常数a、 b。解：首先 f ( x) 必须在 x0 连续l i m f ( x)l i m x 2x02 ；limf (x)lim ax bax0 bx x0 -x x0 -x x0x x0axbx02f( x0 )limf (x) f ( x0 )limx2x02x-x0x-x0x x 0xx0f( x0 )lim f ( x) f ( x0 )limaxb-x 02x x 0x-x0xx0x

5、-x 0f ( x0 ) 存在a 2 x0 。例5f ( x) = x (x-1)(x-2)(x-9) ,则 f / 0limxx02x0xx0lim ax-ax 0ax x0x-x0从而bx0 2 （由得）9!f (0)lim f (x)f (0)lim ( x 1)( x2)(x9)9 !x0x0x0例 6设 f (x) 在 x = 0领域内连续，limf ( x)2，则 f (0)1x 01x1f (0)lim f ( x)0（分母 0）x0f (0)lim f (x)f (0)limf (x)x 0x0x0xlimf (x)1x1211x01x - 1x2例 7设函数 f (1+x )

6、 = a f ( x )，且f(0)b(a , b 0)， 问 f (1)存在否 ?解： f (1)limf (1x)f (1)af (x)-af (0)xlimxx 0x 0limaf ( x) -f (0)af(0)abx 0x四、可导与连续的关系可以证明：可导连续。即可导是连续的充分条件；连续是可导的必要条件。精选文档精选文档微积分教案章节 3.2 求导法则与基本初等函数求导公式（一）第 11 讲：第三章次数教学目的要求主要内容重点难点教学方法和手段课后作业练习备注1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则。2. 熟练利用法则求导。基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则求

7、导法则的应用。以讲授为主，使用电子教案作业：107 页习题 3-2：2、 3(2)(4)(6)(8)(10) ， 4、精选文档精选文档第二节求导法则与基本初等函数求导公式（一）教学目的与要求：理解求导法则，利用法则求导教学重点（难点） ： 求导法则的应用一、基本初等函数导数二、导数四则运算法则例 1设 yx 3 cos x3sin xcos ,求 y3分析：先用法则展开，再用基本公式求导，解略例 2设 yxlog 3xxxy2 ln , 求1分析：先用法则展开，然后根据基本公式求导，x x 2 解略例 3证明（ 1） (tan x)sec2 x1cos2 x（ 2） (sec x)secx t

8、an xtan xsin x1分析：用三角公式化简, secx，然后用公式与法则证明。cos xcos xxinx求 y , y x 1例 4设 y21 x分析：用法则公式师生共同讨论给出。精选文档精选文档微积分教案章节3.2 求导法则与基本初等函数求导公式（二）第 12 讲：第三章次数教学目的要求主要内容重点难点教学方法和手段课后作业练习备注1. 掌握反函数的导数公式（反函数求导公式的证明不作要求）。2. 熟练掌握复合函数的链式求导法。基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则求导法则的应用。以讲授为主，使用电子教案作业：107 页习题 3-2：5(1)(3)(5)(7)(9) ,6 、(1)

9、(3)(5)(7)(9),7 、 (1)(3)(5)(7)(9), 10 、 (1)(3)(5)(7)(9),精选文档精选文档第二节求导法则与基本初等函数求导公式（二）教学目的与要求： 掌握反函数的导数公式（反函数求导公式的证明不作要求） ，熟练掌握复合函数的链式求导法。教学重点（难点） ： 求导法则的应用定理： ux 在 x 有导数 du ， yf u 在对应点u 有导数 dy ，dxdu则复合函数 yfx 在 x 处也有导数，dydyduux 。dxdufdx例 1 yx sin 2x 21ysin 2x21x 4x cos 2x21例 2解：例 3例 4例 5例 6例 7解：例 8例 9

10、解：yln1x2求 yy1 ln 1x 2y12 xx21x 21x 22yarctgxy111x2xarctg1arctg111ln aarctg1xxln axy ay a12x21 x2 a1xyln 3 2x1y 3ln 2 2x 1212xyxxxy111112xxx2 xx2xyx sin x求 yyesin x ln xyxsin xsin xcos xln xxyabxx abbx aya b xln a b xln b a b x ab 1b xaln b ax a 1ylne2 x求 ye2 x1y1 ln e2 xln e2x1x1 ln e2x122y12e2 x11-

11、e2 x11e 2 x2精选文档精选文档微积分教案章节次数教学目的要求主要内容重点难点教学方法和手段课后作业练习备注第 13 讲：第三章3.3 高阶导数 3.4 隐函数的导数1. 了解高阶导数的概念。2. 掌握隐函数求导法与对数求导法。3. 掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n 阶导数的方法。高阶导数隐函数求导法、对数求导法求导法则的应用。以讲授为主，使用电子教案作业：113 页习题 3-3： 1、奇数题号， 2、 4、7、奇数题号120 页习题 3-4：1、 2、 4，精选文档精选文档第三节高阶导数教学目的与要求：了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法。教学

12、重点（难点） ： 求导法则的应用高阶导数、二阶：d 2 ylimf x0xf x 0limf xf x0dx2xxx0xx0x0x x0高阶导数（ n 阶）略。例 1yx( 2x1) 2 ( x3)3y (6 )46 !f ( x)0x例 2设 f (x) 在 (,)上二阶连续可导， 且 f ( 0)0x，对函数 g(x)ax0(1)确定 a 的值，使 g (x) 在（,）上连续；(2)对（ 1）中确定的 a ，证明： g(x ) 在（,）上一阶导数连续。解： （ 1） alim g(x)limf ( x)limf ( x)f (0)f / (0)x0x0xx 0x即当 af( 0),y(x)

13、 在 x0连续，也就是在（,）连续g( x)g( 0)f (x)f / (0)（ 2） g (0)limlimxx0xx 0xlimf(x)lim f( x)f(0)x02xx022而 lim g ( x)limxf /( x)f ( x)x2x 0x0lim xf(x)f ( x)f( x)limf (0)g0x02xx 02所以， gx在 x0 连续，即在,连续。精选文档精选文档第四节隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的与要求：掌握隐函数求导法与对数求导法。教学重点（难点） ： 求导法则的应用一、隐含数的导数方法：（ 1）对恒等式的两边关于求导数，（2）若遇到的 y 函数，视

14、 y 是中间变量。按复合求导法先对y 求导再乘上 y ，（ 3）整理等式，解出y 。例 1求由 y33yx0 所确定的隐含数yf ( x) 的导数分析：由题设y 是 x 的函数， y3 是 x 的复合函数（y 是中间变量）解：两边求导， 3y2 y3y1 0求出 y1。3( y 21)例 2ln yxy c o sx求隐含数yf (x)的导数 dydydx ,dx x1， y 0分析： ln y 是 y 的函数，而y 是 x 的函数，所以 ln y 是 x 的复合函数。解：两边求导1 yyxysin x （把 y 看成 u ）y整理得： yy ( ysinx )1xy所以： y x 0, ye

15、 e2二、对数求导法1、幂指函数yg ( x )( x )求导法 ：方法 1、可化为指数函数求导，其化法：yeg ( x) ln ( x)（由对数性质： （ 1） alog a NN （ 2） log a N bb log a N ）方法 2：（ 1）对已知等式两边取对数，ln yg ( x) ln ( x )（ 2）再按隐含数求导法求导例 3求 yx e x的导数用两种方法给予讲解例 4求 y(sin x)cos x 的导数分析：分两步：设 y1(sin x) cos x , y22 x 分别求 y1 , y2 。精选文档精选文档2、对较繁的乘除式子（或是幂的连乘积）方法：（ 1）两边取对数

16、（应用对数性质；积、除、幂的对数法则）（ 2）两边求导按隐含数求导法去解例 5yx 2求 y( x1)3 (4x)2例 6y(2x)(1x2 )ex2sin x 求 y例 7yy x是由方程 e yxye 所确定的隐函数 , 试求 y 0 , y 0 。解 : 方程两边对x 求导：e y yyxy0方程两边再对x 求导：e y y e y22 y xy0y由原方程知，当x0时， y1 ，代入得y (0)1e再将 x0， y 1 ， y (0)1代入式，得y (0)1e2e3、分段函数的导数2a x12,x 0/例 8设f (x)aa(a 0, a1),求：f( )sin x ,x0xx解：当x

17、 0,f / ( x)2 ln aa xax0,f /( x)x cosx2sin xxf ( x)f (0)2 a x1 212 (ax1)2 ln af(0)limlimaalimaxx0x0x0xx 0af ( x)f (0)s i nx1sin xxc o xs1xf(0)limlimlimxxx2lim2x0x0x0x0x0f(0)f(0) f(0) 不存在，故f (x)x0x0精选文档精选文档微积分教案章节3.5 函数的微分习题课第 14 讲：第三章次数1. 了解微分的概念。教学目的2. 掌握可导与可微的关系，以及微分形式的不变性。要求3. 熟练掌握求可微函数微分的方法。微分的概念

18、主要微分公式与微分运算法则内容微分形式的不变性重点微分公式与微分运算法则。难点教学方法以讲授为主，使用电子教案和手段课后作业：129 页习题 3-5：作业1、 3、4、 5练习备注微分近似运算考试时不作要求。精选文档精选文档第五节函数的微分教学目的与要求：理解微分的意义与可导的关系；熟悉微分的应用教学重点（难点） ：微分公式与微分运算法则yf (x)dyf (x)xf ( x)dx定理 函数 f (x) 在点 x0 处可微的充分必要条件是f ( x) 在点 x0 处可导，且 A f ( x0 ) .可导可微基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式d (C)0d( x )x1d

19、xd (sin x)cosxdxd (cosx)sin xdxd (tan x)sec2 xdxd (cot x)csc2 xdxd (secx)secx tan xdxd (cscx)cscx cot xdx函数和、差、积、商的微分法则d (uv)dudvd (Cu ) Cdud (uv)vduudvd (u )vduv2udvv一阶微分形式不变性yf (u)dyf (u)du（ u 自变量）如 yf (u) ， u( x)dyf(u) ( x)dxf(u)du( u 中间变量 )例：yex2， dy2xex 2dx， dyex2dx22xex2dx精选文档精选文档微积分教案章节第 15 讲

20、：第六节边际与弹性次数1. 知道边际与弹性的概念及其经济意义。教学目的要求2. 会求某些简单的经济应用问题。边际与弹性主要内容重点边际与弹性的概念及其经济含义难点弹性的概念及计算教学方法以讲授为主，使用电子教案和手段课后作业作业：练习143页习题 3-6：2、 3、 4、 5、 7、 8备注精选文档精选文档3.7边际与弹性教学目的与要求：知道边际与弹性的概念及其经济意义；会求解简单的经济应用题。教学重点（难点） ：边际与弹性的概念及其经济含义一、边际概念如果函数 f (x) 在 xx0 处可导，则在 ( x0 , x0x) 内的平均变化为y ；x在 xx0 处的瞬时变化率为limf ( x0x

21、) f (x0 )f ( x0 ) ，x 0x经济学中称它为 f ( x) 在 xx0 处的边际函数值 .利用导数研究经济变量变化率的方法，称为边际分析方法。二、经济学中常见的边际函数1. 边际成本 (反映总成本对产量的变化率 )C(Q) C(Q+1) - C(Q)=? C(Q)经济意义： C(Q)近似等于当产量为Q 时，再多生产一个单位所增加的成本。边际平均成本：C (Q )d C (Q ) C(Q) dQQ2. 边际收益 ( 反映总收益对销售量的变化率 )R(Q) R(Q+1) R(Q)=? R(Q)经济意义： R(Q)近似等于当销售量为Q 时，再多销售一个单位的产品总收益的改变量。3.

22、边际利润 (反映总利润对产量或销售量的变化率)L(Q) = R(Q) C(Q) L(Q+1) L( Q)=? L(Q)经济意义： L(Q)近似等于当销售量为Q 时，再多销售一个单位的产品总利润的改变量。4. 边际需求dP若 Qf ( P) 是需求函数，则需求量Q对价格 P的导数f ( P ) 称为边际需求函数.dQ精选文档精选文档显然 f (P)1f 1 (Q)经济应用 ：最低平均成本最大收益最大利润例 1某工厂在一段时期内， 生产某种产品Q 吨的成本函数 C(Q)1 Q 28Q 4900 ，4求最低平均成本。例 2 某产品的需求函数是 Q = 20000-100 p，需求量为多少单位时，总收

23、益最大，并求最大总收益。例 32玩具厂生产某种玩具，每个定价10 元，每天的总成本函数： C(Q)=10+2 Q+0.01 Q假定产品全部卖完，问每天生产多少个，才能使其利润最大？并求最大利润。例 4某房地产公司有50 套公寓要出租， 当租金定为每月180 元时，公寓会全部租出去 当租金每月增加10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？三、弹性概念经济函数的相对变化率弹性弹性可以定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。1. 弹性的定义定义 设函数 y = f (x)在点 x0 处可导，Eyy y0limy x0f (x0 )x0limx x0x y0f (x0 )x0x 0Ex x x0称为函数 y = f ( x)在点 x0处的弹性。 Eyf ( x)x称为弹性函数。Exf ( x)2. 经济学中