电路的暂态分析

1、 稳定状态：稳定状态： 在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 描述消耗电能的性质描述消耗电能的性质 iRu 根据欧姆定律根据欧姆定律: 即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系 S l R 金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的 导电性能有关，表达式为：导电性能有关，表达式为： 0dd 00 tRituiW t 2 t 电阻的能量电阻的能量 R i u + _ i N i L 电感电感: ( H) 电流通过电流通过N匝匝线圈产生线圈产生(磁链磁链) N 电流通过电流通过

2、一匝一匝线圈产生线圈产生(磁通磁通) u i + - t i L t e L d d d d 2 2 1 LiW t i Leu L d d 电源为其供电时：电源为其供电时： 将上式两边同乘上将上式两边同乘上 i ，并积分，则得：，并积分，则得： 2 00 2 1 ddLiiLitui ti 即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电 流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电 能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电 源放还能量。源放还能量。 电容：电容： u q

3、C )(F u i C + _ t u Ci d d 当电压当电压u变化时，在电路中产生电流变化时，在电路中产生电流: 电容元件储能电容元件储能 将上式两边同乘上将上式两边同乘上 u，并积分，则得：，并积分，则得： 2 00 2 1 ddCuuCutui tu 2 2 1 CuW 电流电流 i 随电压随电压 u 比例变化。比例变化。合合S后：后： 所以电阻电路不存在所以电阻电路不存在过程过程 (R耗能元件耗能元件)。 图图(a)： 合合S前：前：00 321 RRR uuui I O (a) S + - R3R2 2 + - R1 i C u ,0 C i0 C u U 暂态暂态 稳态稳态 o

4、 t C u C (b) + S R L储能：储能： 2 2 1 LL LiW 换路换路: : 不能突变不能突变 C u 不不能能突突变变 L i C 储能：储能： 2 2 1 CC CuW 由于物体所具有的能量不能跃变而造成由于物体所具有的能量不能跃变而造成 若若 cu发生突变，发生突变， dt du i C C 不可能！不可能！一般电路一般电路 则则 )0()0( CC uu 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。初始值。 设：设：t=0 表示换路瞬间表示换路瞬间 (定为计时起点定为计时起点) t=0- 表示换路前的终了瞬

5、间表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）表示换路后的初始瞬间（初始值） )0()0( LL )0(),0( LC iu 0000 )(,)( LC iu 0)0()0( CC uu 0)0()0( LL U + - 00 )( C u, 00 )( L , R U C )()(00 1 )0)0( C 0)0( 2 u Uuu L )0()0( 1 ) 0)0( L u iC 、uL 产生突变产生突变 (2) 由由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值电路，求其余各电流、电压的初始值 U + - iL(0+ ) U iC (0+ )uC (0+) uL(0+) _ u2

6、(0+) u1(0+) i1(0+ ) R1 + + _ _ + - t = 0+等效电路等效电路 而 而 解：解： (1) 由由t = 0-电路求电路求 uC(0)、iL (0) 换路前电路已处于稳态：换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电容元件视为开路； 电感元件视为短路。电感元件视为短路。 由由t = 0-电路可求得：电路可求得： A1 44 44 2 44 4 )0( 31 31 31 1 U RR RR R U RR R iL + _ + _ _ t = 0 -等效电路等效电路 + _ + _ _ V414)0()0( 3 LC iRu 解：解：A1)0()1( L i 由换路定

7、则：由换路定则： V4)0()0( CC uu A1)0()0( LL ii + _ + _ _ + _ + _ _ t = 0 -等效电路等效电路 解：解：(2) 由由t = 0+电路求电路求 iC(0+)、uL (0+) 由图可列出由图可列出)0()0()0( 2 CC uiRiRU )0()0()0( LC iii 带入数据带入数据 4)0(4)0(28 C ii 1)0()0( C ii t = 0+时等效电路时等效电路 4V 1A + _ + _ + _ + _ _ 解：解：解之得解之得 A 3 1 )0( C i 并可求出并可求出 )0()0()0()0( 32 LCCL iRui

8、Ru V 3 1 1144 3 1 4 + _ + _ _ t = 0+时等效电路时等效电路 4V 1A + _ + _ 电量电量 A/ L iA/ C iV/ C u V/ L u 0t 0t41 1 0 3 1 0 4 3 1 1 LC iu 、 LC ui 、 + _ + _ _ 代入上式得代入上式得 0 d d C C u t u RC t u C C C d d Rc uR 换路前电路已处稳态换路前电路已处稳态 Uu C ) 0( t =0时开关时开关, 电容电容C 经电阻经电阻R 放电放电1S 一阶线性常系数一阶线性常系数 齐次微分方程齐次微分方程 (1) 列列 KVL方程方程0

9、CR uu 1.电容电压电容电压 uC 的变化规律的变化规律(t 0) 零输入响应零输入响应: 无电源激励无电源激励, 输输 入信号为零入信号为零, 仅由电容元件的仅由电容元件的 初始储能所产生的电路的响应。初始储能所产生的电路的响应。 图示电路图示电路 UuC )0( S R 1+ C i C u 0 t R u + cU + - 2 1 P RC 0 d d C C u t u RC RC t Au C e 可可得得时时，根根据据换换路路定定则则 , )0()0(Uut C UA RC t Uu C e 齐次微分方程的通解：齐次微分方程的通解： 0 )0( e t C u t pt AuC

10、e: 通通解解 电阻电压：电阻电压： RC t URiu CR e d e d C C t RC uU iC tR 放电电流放电电流 RC t UuC e C u C i R u 3. u uc 、ic 、UR t O (2) 物理意义物理意义 RC 令令: (1) 量纲量纲 A V s s C F V UUuC 0 0 8 .36e 1 t当当 时时 RC t UtuC e)( 0 0 8 .36 时间常数时间常数等于电压等于电压 C u衰减到初始值衰减到初始值U0 的的 所需的时间。所需的时间。 0.368U 2 3 C u 1 U RC t RC t UUuC ee 321 t O uc

11、 当当 0 C u t 0 C u )53( t C u 0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 2 3 4 6 5 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e t e t e 零状态响应零状态响应: 储能元件的初储能元件的初 始能量为零，始能量为零， 仅由电源激励仅由电源激励 所产生的电路的响应。所产生的电路的响应。 0 00 tU t u U t u 阶跃电压阶跃电压 O R i uC (0 -) = 0 S U + _ C + _ 0 t uC + _ uR Uu t u RC C C d d 一阶线性常系数一阶线性常系数 非齐次微分方程非

12、齐次微分方程 Uuu CR CCC uutu )(即即 求特解求特解 ： C uUu t u RC C C d d C uU解得： uC (0 -) = 0 S U + _ 0 t uC C + _ + _ uR Uutu CC )()( C u t AUuuu CCC e 0 d d C C u t u RC通解即：通解即： 的解的解 ）（令令RC RC t pt AAuC ee其其解解： 0)0( C u 根据换路定则在根据换路定则在 t=0+时，时， UA 则则 )0()() e1e1( t t RC t UUuC RC t C UUu e 暂态分量暂态分量 稳态分量稳态分量 电路达到电

13、路达到 稳定状态稳定状态 时的电压时的电压 -U C u C u +U C u 仅存在仅存在 于暂态于暂态 过程中过程中 63.2%U -36.8%U t C u o C u C i C i C u t C u C i 当当 t = 时时 UeUuC%2 .63)1()( 1 )e1( RC t UuC 0 e d d t R U t u Ci t C C U R U U 0.632U 1 2 3 321 C u 0 C u 2 6 4 5 3 t C u O uC 全响应全响应: 电源激励、储能元电源激励、储能元 件的初始能量均不为零时，电件的初始能量均不为零时，电 路中的响应。路中的响应。

14、 ) 0()e1(e 0 tUUu RC t RC t C uC (0 -) = U0 S R U + _ C + _ i 0 t uC + _ uR )0()e1(e 0 tUUu RC t RC t C )0( )e( 0 tUUU RC t 稳态分量稳态分量 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应 暂态分量暂态分量 全响应全响应 稳态值稳态值 初始值初始值 Uu C )( 稳态解稳态解 初始值初始值 0 )0()0(Uuu CC t C UUUu e )( 0 RC t CCCC uuuu e)()0()( uC (0 -) = U0 S R U + _ C + _ i 0 t uC

15、+ _ uR )(tf - )( f稳态值稳态值- )0( f - t ffftf e)()0()()( 利用求三要素的方法求解暂态过程，称为利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法三要素法 )0( f )( f )0( f t )(tf O )( f )0( f 0)0()a( f0)0()b( f 0)()c ( f t )(tf O t )(tf O )( f 0)()d( f t )(tf O )0( f )( f )(f )0 ( f )0()0()( 6320 fff. 电容电容 C 视视 为开路为开路, 电感电感L视为短路视为短路，即求解直流电阻性电路，即求解直流电阻性电路

16、中的电压和电流。中的电压和电流。 V5 5 55 10 )( C u 66 6 6)( L i mA3 (1) 稳态值稳态值 的计算的计算)( f 例：例： uC + - t=0 C 10V 1 F S 5k + - L i t =0 3 6 6 6mA S 1) 由由t=0- 电路求电路求)0()0( LC iu、 2) 根据换路定则求出根据换路定则求出 )0()0( )0()0( LL CC ii uu 3) 由由t=0+时时的电路，求所需其它各量的的电路，求所需其它各量的)0( i)0( u或或 电容元件视为短路。电容元件视为短路。; 0 U其值等于其值等于，若若 0)0( C u (1

17、) 若若， 0)0( 0 Uu C 电容元件用恒压源代替，电容元件用恒压源代替， 0 )0 ( 0 IiL 0)0( L i若若 其值等于其值等于I0 , , 电感元件视为开路。电感元件视为开路。 (2) 若若 , 电感元件用恒流源代替电感元件用恒流源代替 ， 注意：注意： )0( f(2) 初始值初始值 的计算的计算 CR0 0 R L 注意：注意： 若不画若不画 t =(0+) 的等效电路，则在所列的等效电路，则在所列 t =0+ 时的方程中应有时的方程中应有 uC = uC( 0+)、iL = iL ( 0+)。 R0 3210 )/(RRRR U0 + - C R0CR0 R1 R2

18、R3 R1 U + - t=0 C R2 R3 S 解：解： t euuuu CCCC )()0()( c u C i 2 i 电路如图，电路如图，t=0时合上开关时合上开关S，合，合S前电路已处于前电路已处于 稳态。试求电容电压稳态。试求电容电压 和电流和电流 、 。 。 )0( C u V54106109)0( 33 C u V54)0()0( CC uu t=0-等效电路等效电路 )0( C u 9mA + - 6k R S 9mA 6k 2 F 3k t=0 C i2 i C u + - C R )( c u 由换路后电路求稳态值由换路后电路求稳态值)( c u V18 10 36 3

19、6 109)( 33 C u s 3 63 0 104 10210 36 36 CR )( C u t电路电路 9mA + - 6k R 3k t=0-等效电路等效电路 )0( C u 9mA + - 6k R V54)0( C u V18)( C u s 3 104 Ve3618 e )1854(18 250 3 104 t t C u t t u Ci C C 250 e )250(36102 d d 6 Ae018. 0 t250 18V 54V t C u O 例例2： 由由t=0-时电路时电路 解：解： V33 321 6 )0( C u 求初始值求初始值)0( C u V3)0()

20、0( CC uu )0( C u t=0-等效电路等效电路 1 2 6V 3 )0( i + - + - S t=0 C F5 6V 1 2 C u 3 2 1 + - Ve3 5 107 . 1t t 6 6 10 3e0 t CCCC Uuuutu e)()0()()( s 66 0 016105 32 32 CR 求时间常数求时间常数 由右图电路可求得由右图电路可求得 求稳态值求稳态值 C u 0 C u C f 5 2 C u 3 2 + - + - S t=0 C F5 6V 1 2 C u 3 2 1 + - i1 t u Cti C C d d )( Ae 3 )( 5 107

21、. 1 2 tC u ti C iiti 21 )( tt 5 107 . 1 5 107 . 1 e5 . 2e A 5 107.1 e5.1 t ( 、 关联关联) CC iu Ae5 . 2 5 107 . 1t + - S t=0 C F5 6V 1 2 C u 3 2 1 + - p )1(tRC 1 u Tt U 0 tp V0)0( _ C u C R 1 u 2 u + _ + _ i C u+ _ 21 uuu C 00 0 CC uu 当时t = 0 + 21R uuu 2 d d C C u ui RRC t 1 d d u RC t 由公式可知由公式可知 输出电压近似与

22、输入电输出电压近似与输入电 压对时间的微分成正比。压对时间的微分成正比。 t 2 u O V0)0(_ C u C R 1 u 2 u + _ + _ i C u+ _ 1 u tt1 U tp O 不同不同时的时的u2波形波形 U U U C R1 u 2 u + _ + _ i C u + _ 2TT U t T/2 1 u tp T2T 2 u t T2Tt 2 u t C u T2T 2T T t U 2 u ; p )1(tRC Riuuuu RR 21 R u i 1 )( p t 输出电压与输入电输出电压与输入电 压近似成积分关系。压近似成积分关系。 2.分析分析 1 u Tt

23、U 0 tp tu RC ti C uu C d 1 d 1 12 V0)0(_ C u C R 1 u 2 u + _ + _ i R u + _ t2 U tt1 2 u t t2t1 U 能将矩形脉冲变换为锯齿波，可作为能将矩形脉冲变换为锯齿波，可作为 示波器的扫描锯齿波电压。示波器的扫描锯齿波电压。 u1 R L R u L u U + - S R L 2 1 t=0 L i +- + - 0 d i R iL d t 即电感的放电过程 设通解iAept 代入方程得： 0 ptpt RAeLAPe 求得： R p L i（0-）I0 A=I0 即： 1 00 R tt L iI eI

24、e 0 U I R t L R U t i LuL e d d t L R URiu L e R L i O t R u O u t L u t L R R U iL e R U -U U R U %8.36 R u L u U + - S R L 2 1 t=0 L i +- + - t i Leu LL d d R U iL ) 0( 0)0( L i R U ii LL )0()0( 表表表表表表 R R U RiV L )0()0( R u L u U + - S R L 2 1 t=0 L i +- + - R u L u U + - S R L 2 1 t=0 L i +- + -

25、 V R VD R u L u U S R L 2 1 t=0 L i +- + - R R u L u U S R L 2 1 t=0 L i +- + - 图示电路中图示电路中, RL是发电机的励磁绕组，其电感是发电机的励磁绕组，其电感 较大。较大。Rf是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时， 为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏 开关触头，往往用一个泄放电阻开关触头，往往用一个泄放电阻R 与线圈联接。开与线圈联接。开 关接通关接通R 同时将电源断开。经过一段时间后，再将同时将电源断开。经过一段时间

26、后，再将 开关扳到开关扳到 3的位置，此时电路完全断开。的位置，此时电路完全断开。 (1) R =1000 , 试求开关试求开关S由由1合合 向向2瞬间线圈两端的电压瞬间线圈两端的电压uRL。 。已已知知 30,80 H,10 ,V220 f RRLU 电路稳态时电路稳态时S由由1合向合向2。 (2) 在在(1)中中, 若使若使URL不超过不超过220 V, 则泄放电阻则泄放电阻R 应选多大？应选多大？ U L RF + _ R R 1 S 2 3 i 绕组 A2 3080 220 F RR U I V20602)100030()()0( F IRRuRL (3) 根据根据(2)中所选用的电阻

27、中所选用的电阻R , 试求开关接通试求开关接通R 后经后经 过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出95%？ (4) 写出写出(3) 中中uRL随时间变化的表示式。随时间变化的表示式。 2202)30( R 即即 80R 22 2 1 )95. 01( 2 1 LILi 22 210 2 1 05. 010 2 1 i A446. 0 i 求所经过的求所经过的时间时间 t t L RRR Iei 19 e2 F t19 e2446. 0 s078. 0 t )( F RRiuRL 计计算算若若按按 80)4(R V 19 220e)8030( t iuRL t

28、LLLL iiii e)()0()( L i )e1 ()0( t L R t L R R U e R U R U iL R U iL )(0)0()0( LL ii R L )0)0(0( L iU L u U + - SR L t=0 L i R u + - +- t L Rt L UU dt di Lu ee (1e) R R t L L i RUu R u L i L u R u O u t L u U L i O t R U )e1( t L R L R U i 作业： 总结RC电路RL电路 零输入和零状态以及 全响应的异同。 )0)0 (0( L iU L i ( ) (0 )( )e LLLL t iiii A2 . 1 64 12 )0()0( 21 RR U ii LL + - R2 R1 4 6 U12V )0( L i L i t=0 12V + - R1 LS )(ti 1H U 6 R2 3 4 R3 )(tu + - A2 32 32 1 )( RR RR R U iL s 6 1 32 32 1 RR RR R L 0 R L tt L i 66 e8 . 02e ) 22 . 1 (2 )0( t )( L i )( u 12V + - R1 L S U 6 R2 3 4 R3+ - R1 L 6 R2 3 4 R3