控制系统的传递函数

1、本章重点：本章重点：1 掌握控制系统建立数学模型的方法掌握控制系统建立数学模型的方法 2 应用拉普拉斯变换求解微分方程应用拉普拉斯变换求解微分方程 2.0 概述概述 主要解决的问题：主要解决的问题： 1 什么是数学模型什么是数学模型 2 为什么要建立系统的数学模型为什么要建立系统的数学模型 3 对系统数学模型的基本要求对系统数学模型的基本要求 2.0 概述概述 一、数学模型的定义一、数学模型的定义 1、 控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或 变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达变量）之间动、静态关系

2、的数学表达式或图形表达式或数字表达 式。式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型静态模型 动态模型动态模型 静态模型静态模型：在：在稳态稳态时（系统达到平衡状态）描述系统各变量间关系时（系统达到平衡状态）描述系统各变量间关系 的数学模型。的数学模型。 动态模型动态模型：在：在动态过程动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。中描述系统各变量间关系的数学模型。 控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法控制系统的数学模型可以有多种

3、形式，建立系统数学模型的方法 可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。 关系：静态模型是关系：静态模型是t时系统的动态模型。时系统的动态模型。 2、为什么要建立控制系统的数学模型、为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的定性的 认识认识上升到上升到定量的精确认识定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意的关键！（这一点非常重要，数学的意 义就在于此）义就在于此） 一方面一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的数学自身的理论是严密精确和较完善的

4、，在工程问题，在工程问题 的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数 学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持 ；另一方面另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有 生命力生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位 ） 才有意义。才有意义。 建立系统数学模型的方法很多，主要有两类：建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机

5、理建模机理建模 （白箱白箱-系统的各元件及参数已知，结构已知）；系统的各元件及参数已知，结构已知）； 实验建模实验建模（数据建模，（数据建模，系统辨识系统辨识） （黑箱黑箱-结构全不知道或结构全不知道或灰箱灰箱-知知 道一部分）。道一部分）。 二、建立数学模型的依据二、建立数学模型的依据 通过系统本身的物理特性来建立。通过系统本身的物理特性来建立。 如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等 三、数学模型的特点三、数学模型的特点 1、实物、实物（抽象）数学表达式（抽象）数学表达式 2、不同的控制系统可以具有相

6、同的数学模型、不同的控制系统可以具有相同的数学模型 即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，单摆在平衡位置附近单摆在平衡位置附近 的的自由运动自由运动 电阻、电容、电感电路中电容的电阻、电容、电感电路中电容的放电过程放电过程 都是都是衰减振荡衰减振荡 。 相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。 说明说明：一般由于机械系统比较复杂，参数调整不方便，在很多情况下，采用电模拟的：一般由于机械系统比较复杂，参数调整不方便，在很多情况下，采用电模拟的 方法，对系统分析，特别是在现在，电气、电子技术的发展，为

7、电模拟提供了良好的方法，对系统分析，特别是在现在，电气、电子技术的发展，为电模拟提供了良好的 条件。在专用模拟机或通用模拟机上，采用数学模型相似的条件。在专用模拟机或通用模拟机上，采用数学模型相似的电网络电网络代替要研究的系统代替要研究的系统 来进行计算和研究，方便，易行。来进行计算和研究，方便，易行。 应用：应用： 模拟：两相似系统，通过分析一个系统而达到对另外系统分模拟：两相似系统，通过分析一个系统而达到对另外系统分 析研究，称为模拟，这种方法称为功能模拟法。析研究，称为模拟，这种方法称为功能模拟法。 3、同一控制系统可以有不同的数学模型、同一控制系统可以有不同的数学模型 同一控制系统具有

8、各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热 变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而 建立的数学模型可能不同。建立的数学模型可能不同。 因此，建立数学模型时，一定要搞清输入因此，建立数学模型时，一定要搞清输入 量、输出量。量、输出量。 四、数学模型的分类四、数学模型的分类 1、微分方程微分方程 时间域时间域 t 单输入单输入 单输出单输出 2、传递函数传递函数 复数域复数域 s=+i - - - 3、频率特性频率特性 频率域频率域 - - - 4、状态方

9、程状态方程 时间域时间域 t 多输入多输入 多输出多输出 用一组微分方程描用一组微分方程描 述系统的状态特性述系统的状态特性 21 微分方程模型（时间域模型）微分方程模型（时间域模型） 一、控制系统微分方程的分类一、控制系统微分方程的分类 线性系统线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程 是定常和线性的。线性系统可应用是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理叠加原理，将多输入及多输出的，将多输入及多输出的 系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。

10、 另外线性系统还有一个重要的性质，就是另外线性系统还有一个重要的性质，就是齐次性齐次性，即当输入量的数，即当输入量的数 值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化 规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数 值的大小是无关的。值的大小是无关的。 非线性系统非线性系统：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。 非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的非线性系统最重要的问题

11、之一就是确定模型的结构，如果对系统的 运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。 一般来说，这样的模型是由一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程非线性微分方程和非线性差分方程给出给出 的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。 非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运 动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来

12、解释，主要原因是主要原因是 非线性现象有非线性现象有频率对振幅的依赖性频率对振幅的依赖性、多值响应多值响应和和跳跃谐振跳跃谐振、分谐波分谐波 振荡振荡、自激振荡自激振荡、频率插足、异步抑制、频率插足、异步抑制、分岔和混沌分岔和混沌等等。 借助表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：借助表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程： i=0,1n j=0,1,m 可对系统进行描述。可对系统进行描述。 1、线性定常系统、线性定常系统 ai,bj 都不是都不是xo(t)和和xi(t)及它们导数的函数，也不及它们导数的函数，也不 是时间的函数；是时间的函数； 2、线性时变系统、线性时变系统 ai,bj

13、是时间的函数；是时间的函数； 3、非线性系统、非线性系统 ai,bj 有一个依赖有一个依赖xo(t)和和xi(t)或它们导数，或者在或它们导数，或者在 微分方程中出现时间的其他函数形式。微分方程中出现时间的其他函数形式。 线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。 )()(.)()()(.)(0 )1( 1 )( 0 )1( 1 )( txbtxbtxbtxatxatxaii m imoo n on 二、微分方程模型的建立微分方程模型的建立 根据系统根据系统物理机理物理机理建立系统微分方程模型的建立系统微分方程模型的基本步骤基本步骤：

14、（1）确定系统中各元件的输入、输出物理量；）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条 件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系；）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。 例例1：单自由度机械位移系统（如插床、刨床）如图，：单自由度机械位移系统（如插床、刨床）如图， 建立建立 间的微分方程关系式。间的微分方程

15、关系式。 分析：分析： 输入：输入： 力力 输出：输出： m的位移的位移 质量质量-弹簧弹簧-阻尼器系统阻尼器系统 m的受力分析的受力分析 注意：注意： 习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的 左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边；左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边； 由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于 右边的阶次；右边的阶次； 上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。 三、系统微分方程

16、中变量形式的选择系统微分方程中变量形式的选择 四、四、 系统元件间的负载效应系统元件间的负载效应 对于两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使对于两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使 另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了 负载，因此这一影响称为负载效应，也称耦合。这时，如只是孤立的负载，因此这一影响称为负载效应，也称耦合。这时，如只是孤立的 分别写出两个元件的动力学方程，则经过消去中间变量而得到的整个分别写出两个元件的动力学方程，则经过消去中间变量而得到的整个 系统的动力学方程将是错

17、误的。系统的动力学方程将是错误的。 例例1 复习：复习：1、数学模型的类型、数学模型的类型 2、建立数学模型的方法、建立数学模型的方法 3、建立数学模型的步骤、建立数学模型的步骤 2.3 传递函数模型传递函数模型 2.3.1 定义定义 传递函数是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和综合的数学工具。通过传递传递函数是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和综合的数学工具。通过传递 函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作 量，而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性系统的传

18、递函数和频率量，而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性系统的传递函数和频率 特性有利于对系统研究、分析和综合。特性有利于对系统研究、分析和综合。 线性定常系统的线性定常系统的传递函数传递函数，定义为初始条件为零时，定义为初始条件为零时， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 三要素：三要素：1) 线性定常系统线性定常系统 2) 零初始条件零初始条件,即在外界输入作用前，输入、输出的初始条件即在外界输入作用前，输入、输出的初始条件 为为0。 3) 输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）输出与输入的拉氏变换之比（复域模型） 重点重点:

19、传递函数的概念传递函数的概念 传递函数的性质传递函数的性质 传递函数的列写传递函数的列写 形式上记为：形式上记为： (nm) 2.3.2 几点说明（性质）几点说明（性质） （1）传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出）传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出 的模型形式。的模型形式。 它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。 它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。 传递函数的分母和分子分别反映系统本身与外界无关的固有特性传递函数的分母和分子分别反映系统本身

20、与外界无关的固有特性 和系统同外界之间的联系。和系统同外界之间的联系。 (2)若输入已定，则系统的输出完全取决于其传递函数，因为，若输入已定，则系统的输出完全取决于其传递函数，因为， Xo(s)=G(s)Xi(s) (或或C(s)=G(s)R(s) 通过拉氏变换，可求得系统在时域的输出：通过拉氏变换，可求得系统在时域的输出： Xo(t)=L-1Xo(s)=L-1G(s)Xi(s) 或或c(t)=L-1C(s)=L-1G(s)R(s) nn nn mm mm asasasa bsbsbsb sR sC sG 1 1 10 1 1 10 )( )( )( （3）传递函数中（分子的阶次小于分母的阶次

21、）传递函数中（分子的阶次小于分母的阶次 nm）是一切物理系统）是一切物理系统 所固有的，所固有的，这是因为任何物理系统均含有惯性。这是因为任何物理系统均含有惯性。 （4）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。 （5）可减化对系统动态性能分析的过程）可减化对系统动态性能分析的过程 R(s)一定时一定时 C(s)完全由完全由G(s)决定，因此：决定，因此： G(s)的特征和形态的特征和形态分析系统的性能分析系统的性能 另：对系统性能的要求另：对系统性能的要求 对对G(s)的要求的要求 （6） 记记 = 式中：称式中：称 )()( )()( )( 1

22、1 n mG psps zszsK sG nn nn mm mm asasasa bsbsbsb sR sC sG 1 1 10 1 1 10 )( )( )( 称称 -为系统的特征根为系统的特征根 -为系统的特征多项式。为系统的特征多项式。 （7）由于）由于 可以是零、实数、复数，因此在复平可以是零、实数、复数，因此在复平 面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有一一对应的面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有一一对应的 关系。这将引出经典控制论的一种重要分析方法：关系。这将引出经典控制论的一种重要分析方法：根轨迹法根轨迹法。 分析方法：根轨迹法。分析方法：根轨迹法

23、。 （8）传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应）传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应 该式表明：系统的传递函数与系统的脉冲响应有单值对应的关系，该式表明：系统的传递函数与系统的脉冲响应有单值对应的关系， 由于传递函数是系统的一种数学模型，能反映系统的静、动态性能，由于传递函数是系统的一种数学模型，能反映系统的静、动态性能， 故系统的脉冲响应也可以反映系统的静、动态性能，即系统的脉冲响故系统的脉冲响应也可以反映系统的静、动态性能，即系统的脉冲响 应也可以作为系统的数学模型。应也可以作为系统的数学模型。 2.3.3 传递函数的列写传递函数的列写 法一：法一：列写系统的微分方程列写系统的微分

24、方程 消去中间变量消去中间变量 在初始条件为在初始条件为0的情况下，取拉氏变换的情况下，取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比求输出与输入拉氏变换之比 法二：法二：列写系统中各元件（各环节）的微分方程列写系统中各元件（各环节）的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的代数方程组，消去中间变量整理拉氏变换后的代数方程组，消去中间变量 整理成传递函数的形式整理成传递函数的形式 举例一些常用典型元部件的传递函数的列写举例一些常用典型元部件的传递函数的列写 2.3.4 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 （解释一下方框图（解释一下方框图-将系统中各元件的名称

25、或功用写在框图单元中，并标将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标 明它们之间的连接顺序和信号流向。主要用来说明系统的构成和工作原理）明它们之间的连接顺序和信号流向。主要用来说明系统的构成和工作原理） 不失一般性，设系统的方框图如图所示：不失一般性，设系统的方框图如图所示： （1）前向通道传递函数）前向通道传递函数是输出是输出C(S)与偏差与偏差E(S)之比：之比： )(sB )(sE )(sN )(sC )(sH )( 1 sG)( 2 sG )(sR 输入信号 偏差信号 干扰信号 输出信号 反馈信号 （2）反馈通道传递函数）反馈通道传递函数 特殊地特殊地, 时，称为单位反馈。时，称为

26、单位反馈。 （3）对输入引起的开环传递函数（）对输入引起的开环传递函数（ ）-也可定义为，也可定义为，闭环系闭环系 统的前向通道传递函数与反馈回路传递函数之积，或定义为反馈统的前向通道传递函数与反馈回路传递函数之积，或定义为反馈 信号信号B(S)与偏差与偏差E(S)之比之比: （4）对输入量的闭环传递函数（）对输入量的闭环传递函数（ ）- 输出信号与输入信号拉输出信号与输入信号拉 氏变换之比，氏变换之比，GB(S) (注意推导注意推导) )()()( )( )( )( 21 sHsGsG sE sB sGK )()()(1 )()( )( )( )( 21 21 sHsGsG sGsG sR

27、sC sGB （5）对扰动量的闭环传递函数（）对扰动量的闭环传递函数（ ） （6）定义）定义 为系统的误差为系统的误差 )()()(1 )( )( )( )( 21 2 sHsGsG sG sN sC sG N )()()(sBsRsE 由输入量引起的误差传递函数（由输入量引起的误差传递函数（ ） 描述系统框图的两种最基本、最重要的形式描述系统框图的两种最基本、最重要的形式 （1）体现输入输出关系的描述）体现输入输出关系的描述 开环形式开环形式 （2）体现反馈机制关系的描述）体现反馈机制关系的描述 闭环形式闭环形式 )()()(1 1 )( )( )( 21 sHsGsGsR sE se 2.

28、4典型环节的传递函数典型环节的传递函数 环节环节-从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成 能组成独立的运动方程的一部分称为一个环节能组成独立的运动方程的一部分称为一个环节。环节可以是一环节可以是一 个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节 不能有相互影响（无负载效应）不能有相互影响（无负载效应）。 系统是由环节组成的，或者系统是由有关环节串联、并联或反馈连系统是由环节组成的，或者系统是由有关环节串联、并联或反馈连 接而成的。接而成的。 有了传递函数以后，我们

29、用如图所示的方框图简洁地表示一个系统。指向有了传递函数以后，我们用如图所示的方框图简洁地表示一个系统。指向 方方 框的箭头表示输入信号，从方框出来的箭头表示输出信号。框的箭头表示输入信号，从方框出来的箭头表示输出信号。 2.4.1 串联和并联串联和并联 方框图的优点是可以清晰地表明系统中信号的流向。而且，利用方框方框图的优点是可以清晰地表明系统中信号的流向。而且，利用方框 图可以简明表示出系统中各部分的连接关系。下面考虑几种常见的连图可以简明表示出系统中各部分的连接关系。下面考虑几种常见的连 接方式。接方式。 1.串联串联 两个传递函数分别为两个传递函数分别为 和和 的系统（环节）的串联用图的

30、系统（环节）的串联用图2.11表表 示。所谓串联，即是将第一个环节示。所谓串联，即是将第一个环节 的输出信号作为第二个环节的输出信号作为第二个环节 的输入信号，连到第二个环节，第二个环节的输出即为整个系统的输入信号，连到第二个环节，第二个环节的输出即为整个系统 的输出。因此，根据传递函数的定义不难得到的输出。因此，根据传递函数的定义不难得到: 因此，从因此，从 到到 的传递函数为的传递函数为 （2.4.1） (2.4.1)式可以推广到个环节的串联，即式可以推广到个环节的串联，即 ， ， 串联后串联后 整个系统的传递函数是各个传递函数的乘积整个系统的传递函数是各个传递函数的乘积 )( 1 sG)

31、( 2 sG )( 1 sG )()()()()()( 1212 sUsGsGsYsGsY )(sU)(sY)()( )( )( )( 12 sGsG sU sY sG )( 1 sG)( 2 sG )(,sGn )()()()( 121 sGsGsGsG nn 2.并联并联 上图表示两个环节的并联，在并联结构图中我们引入了信号分支上图表示两个环节的并联，在并联结构图中我们引入了信号分支 点和信号相加点。所谓信号分支点，就是信号在该点分两路分别点和信号相加点。所谓信号分支点，就是信号在该点分两路分别 送入送入 和和 。需要指出的是，这里的。需要指出的是，这里的“分支分支”不同于通常不同于通常

32、所说的所说的“分流分流”，因为从分支点出来的两路信号都是，因为从分支点出来的两路信号都是 ，与原信，与原信 号一样，而不是将原信号一分为二。所谓信号相加点，是指两个号一样，而不是将原信号一分为二。所谓信号相加点，是指两个 信号在此处汇合，汇合后流出的信号是两个信号的（代数）和。信号在此处汇合，汇合后流出的信号是两个信号的（代数）和。 分支点和相加点的概念可以推广到多个信号的情况。分支点和相加点的概念可以推广到多个信号的情况。 不难得到并联情况下系统的输入不难得到并联情况下系统的输入输出关系：输出关系： )( 1 sG )( 2 sG )(sU 因此可以得到结论：n个传递函数分别为 的环节并联

33、后，整个系统的传递函数等于这几个传递函数的和，即 记 均是实常数 . )()()( )()()()()()()( 21 2121 sUsGsG sUsGsUsGsYsYsY )(),(),( 21 sGsGsG n )()()()( 21 sGsGsGsG n 特点：最高不超过二阶特点：最高不超过二阶 上面的上面的m1表示系统有表示系统有m1个零的零点个零的零点 n1表示系统有表示系统有n1个零的极点个零的极点 m2表示系统有表示系统有m2个实数零点个实数零点 n2表示系统有表示系统有n2个实数极点个实数极点 m3表示系统有表示系统有m3对复数零点对复数零点 n3表示系统有表示系统有n3对复数

34、极点对复数极点 称上面七种环节为系统的典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节称上面七种环节为系统的典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节 、积分环节、震荡环节、延时环节等。、积分环节、震荡环节、延时环节等。 其中其中, 比例环节比例环节 惯性环节惯性环节 积分环节积分环节 二阶微分环节二阶微分环节 一阶微分环节一阶微分环节 二阶积分环节（振荡环节）二阶积分环节（振荡环节） 延迟环节延迟环节 K 1s 12 22 ss 1 1 Ts 12 1 22 TssT s 1 s e 惯性环节与延迟环节的区别惯性环节与延迟环节的区别： 惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后惯性环节从输入

35、开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后 一段时间才接近所要求的输出值；一段时间才接近所要求的输出值； 延迟环节从输入开始后在延迟环节从输入开始后在0 时间内没有输出，但时间内没有输出，但t =之后，之后， 输出完全等于输入。输出完全等于输入。 2.4.2典型环节的传递函数典型环节的传递函数 在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干个典型环节；或是在在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干个典型环节；或是在 系统设计中，在系统某处增加若干环节。所谓典型环节就是构成系统的一些系统设计中，在系统某处增加若干环节。所谓典型环节就是构成系统的一些 基本要素，它们在系统分析和设计中起着重要的作

36、用。基本要素，它们在系统分析和设计中起着重要的作用。 一、放大环节一、放大环节 放大环节又称比例环节，其输出量以一定比例复现输入信号，即放大环节又称比例环节，其输出量以一定比例复现输入信号，即 , 其传递函数为其传递函数为 . 图图2.17所示的是一个用运算放大器构成的放大环节，所示的是一个用运算放大器构成的放大环节， 其放大倍数为其放大倍数为 )()(tKuty K sU sY sG )( )( )( 1 2 1 2 )( )( R R sU sU K R2 二、惯性环节二、惯性环节 惯性环节中因含有储能元件，故对突变的输入信号不能立即复现。惯性环节中因含有储能元件，故对突变的输入信号不能立

37、即复现。 其运动方程如下：其运动方程如下： （2.4.13） 其中其中 称为时间常数称为时间常数 ， 称为惯性环节的增益。由（称为惯性环节的增益。由（2.4.13）容易得）容易得 出惯性环节的传递函数为出惯性环节的传递函数为 （2.4.14） 当输入信号当输入信号 时，由时，由(2.4.13)不难求出惯性环节的输出响应为不难求出惯性环节的输出响应为 （2.4.15） )()( )( tKuty dt tdy T TK 1)( )( )( Ts K sU sY sG )( 1)(ttu )1 ()( /Tt eKty 二、惯性环节二、惯性环节 由图由图2.18(a)和和(b)看出，当输入信号从零

38、突变到看出，当输入信号从零突变到1后，输出信号并不能后，输出信号并不能 立即响应，而是逐渐增大。当立即响应，而是逐渐增大。当 时，输出信号趋于稳态值时，输出信号趋于稳态值 ， 输出响应曲线在输出响应曲线在 时的上升斜率为时的上升斜率为 ，因为，因为 t K 0t T K T K e T K y t T t 0 )0( 二、惯性环节二、惯性环节 三、积分环节三、积分环节 三、积分环节三、积分环节 三、积分环节三、积分环节 四、微分环节四、微分环节 四、微分环节四、微分环节 五、延时环节五、延时环节 六、振荡环节六、振荡环节 2.5方框图模型（结构图）方框图模型（结构图） 方框图模型是控制系统的又

39、一种数学模型方框图模型是控制系统的又一种数学模型。特点：具有图示模型的直。特点：具有图示模型的直 观，具有数学模型的精确。观，具有数学模型的精确。方框图方框图具有数学性质，可以进行代数运算具有数学性质，可以进行代数运算 和等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍。和等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍。 结构框图结构框图：将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标明它：将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标明它 们之间的连接顺序和信号流向。主要用来说明系统的构成和工作原理们之间的连接顺序和信号流向。主要用来说明系统的构成和工作原理 。 2.5方框图模型（

40、结构图）方框图模型（结构图） 函数框图函数框图：把元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号：把元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号 流向传递方向的箭头将这些框图单元连接起来。主要用来说明环节的流向传递方向的箭头将这些框图单元连接起来。主要用来说明环节的 特性、信号流向、变量关系、简化系统框图及获得整个系统的传递函特性、信号流向、变量关系、简化系统框图及获得整个系统的传递函 数。数。 方框图的建立方框图的建立将网络看作一个系统，各元件便是系统中的各个环节将网络看作一个系统，各元件便是系统中的各个环节 建立方框图的方法是：建立方框图的方法是：（1）列出各环节（元件）的传递函数）

41、列出各环节（元件）的传递函数 （2）用图的形式连接起来。）用图的形式连接起来。 要注意的是：由于传递函数的条件是零初始的，因此方框图也是零初要注意的是：由于传递函数的条件是零初始的，因此方框图也是零初 始条件的。始条件的。 n建立步骤： 1）列出各环节（元件）的传递函数； 2）根据各环节之间的信号流向，用图的形式连接起来 。 例1 无源网络： 2 )()(RsIsUc )()()( 21 sIsIsI 1 1 1 )( )( R sU sI CssUsI)()( 12 )()()( 1 sUsUsU cr 2.5.1框图单元、比较点和引出点框图单元、比较点和引出点 1 框图单元框图单元：框图内

42、为传递函数，指向框图的箭头表示输入，离开：框图内为传递函数，指向框图的箭头表示输入，离开 框图的箭头表示输出，箭头上表明了相应的信号。框图的箭头表示输出，箭头上表明了相应的信号。 比较点比较点（相加点）：将两个或两个以上的输入信号进行相加或相（相加点）：将两个或两个以上的输入信号进行相加或相 减的元件。箭头上的减的元件。箭头上的“+”或或“-”表示信号相加还是相减，其上的表示信号相加还是相减，其上的 所有信号应具有相同的量纲。所有信号应具有相同的量纲。 引出点引出点（分支点）：表示信号引出和测量的位置，同一位置引出（分支点）：表示信号引出和测量的位置，同一位置引出 的几个信号在大小和性质上完全

43、一样。引出数量和信号的大小无的几个信号在大小和性质上完全一样。引出数量和信号的大小无 关。关。 2.5.2系统构成方式系统构成方式 串联连接：各个环节一个个顺序连接。串联连接：各个环节一个个顺序连接。 G1(s) X(s) Y(s) 2.5.2系统构成方式系统构成方式 并联连接：输入相同，输出相加或相减的连接形式。并联连接：输入相同，输出相加或相减的连接形式。 反馈连接：将系统或环节的输出信号全部或部分地通过反馈回路反馈连接：将系统或环节的输出信号全部或部分地通过反馈回路 反馈到输入端，又重新输入到系统中。反馈与输入相加称为反馈到输入端，又重新输入到系统中。反馈与输入相加称为“正反馈正反馈 ”

44、 ，与输入相减的称为，与输入相减的称为“负反馈负反馈”。 G1(s) G2(s)G(s)=G1(s)G2(s) X(s) X(s) Y1(s) Y(s)Y(s) G1(s) G2(s) G(s)=G1(s)G2(s) X(s) X(s) Y1(s) Y(s) Y(s) + Y2(s) 2.5.2系统构成方式系统构成方式 2.5.3 框图变换法则框图变换法则 引出点的变换法则：引出点的变换法则： 引出点前移：引出点前移： 引出点后移：引出点后移： G(s) H(s) X(s) X(s) Y(s) Y(s) + B(s) E(s) )()(1 )( SHSG SG G AGA AG G AGA A

45、G G G AG A A G AG AG 1/G A A 比较点变换法则：比较点变换法则： 加法交换律：加法交换律： 加法结合律：加法结合律： AA-B+C + - B A-B + + C A A-B+C + + C A+C + - B A + - B A-B+C + C A A-B+C + - B A-B + + C 比较点变换法则：比较点变换法则： 比较点前移：比较点前移： 比较点后移：比较点后移： G A AG-B + - B AG G A AG-B + - B/G A-B/G 1/G B G A AG- BG + - B AG G A AG-B + - B/G A-B/G G BG 比

46、较点变换法则：比较点变换法则： 引出点前移越过比较点：引出点前移越过比较点： A + - B A-B A A-B + - B A-B + - B AG A-B 例例: A点右移点右移 消去回路消去回路 消去回路消去回路 消去回路消去回路 得系统传递函数：得系统传递函数： G1(s)G3(s) G4(s) G7(s) G2(s) G5(s) Xi(s) + - + - X0(s) + - G6(s) A 2.6 梅逊公式梅逊公式 对于用信号流图表示的控制系统，可以用梅逊（对于用信号流图表示的控制系统，可以用梅逊（Mason）公式方便地）公式方便地 求出从输入信号到输出信号的传递函数。求出从输入信号到输出信号的传递函数。 含多个局部反馈的闭环控制系统含多个局部反馈的闭环控制系统 对反馈信号为相加的取对反馈信号为相加的取”-” 对反馈信号为相减的取对反馈信号为相减的取”+” 传传递递函函数数之之积积）（每每一一反反馈馈回回路路的的开开环环 积积前前向向通通道道的的传传递递函函数数之之 1 (S)GB 适用条件适用条件: 1、整个方框图只有一个前向通道；、整个方框图只有一个前向通道； 2、各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。、各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。 2.7 数据模型的实验测定法数据模型的