关于数的整除问题的讨论

1、关于数的整除问题的讨论麟游县九成宫中学 田宏刚关于整数问题（特别是正整数）它与人们的生活实践密切相关。在整数性质单位讨论中，发现最多的还是它的整除性质，下面做一些分析、说明，以便进一步运用于解决实际问题。关键词: 数的整除 讨论（一）关于数的整除的概念 这一理解有多种方法，一般认为：若存在整数a，正整数b，当a=b成立，这时称b整除a，或a被b整除，表示为ba，a叫b的倍数，b叫a的两数；b不能整除a，表示b+a；它与除尽所区别的是：除尽要求的是两数的商为有限小数，而a,b本身也在有理数范围内或a,b是非有理数。总之，只要两数的商是有限小数即可。而整除则是在整数范围内讨论的，并且两数的商为整数

2、，余数为o；两整数a,b，若ba，则b一定能除尽a；而b能除尽a，则b不一定能整除a。从同余角度，ba还可表示为ao(modb)这就是说，两整数a,b，若a除以b商为整数，当且仅当余数R=o时, ba。（二）2及5（n为正整数）整除定理介绍 关于整除问题，我们先来讨论除数为个别正整数的情况，若除数为这些书的相反数时，只需在商前面添符号“”其余性质都不变。关于除数为2、5、3、9、10的情况，我们已比较熟悉，不再述了，我们来讨论除数为2及5的情况（nN）1. 2及5整除定理，若一整数（十进制的）若能被整除，则它的1到n位数能被2整除。证：设Z= +能被2整除。设它的第n+m+1位到第n+m位为M

3、,第n位到第1位为N,即M=+，N=+，则2M，2N，则Z= MN，所以2Z。 反之，若2不整除N，由于2 M，所以 MN不整除2。所以Z能被2整除的充分必要条件是：Z的1到n位数能被2整除。 由于10=2 5，Z= MN，所以 N=+能被5整除时，Z必然能被5整除。反之不能被5整除。推论1：若一整数的末两位数字能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。否命题亦成立。推论2: 若一整数的末三位数字能被8或125整除，则这个数能被8或125整除。否命题亦成立。（三）整数的奇偶性及其运算。整数的奇偶性分析在解决整数，方程及图形的性质问题中有着广泛的应用，下面作初步说明。1. 主要运算性质：(1)

4、两奇数的和差为偶数；积商（存在ba，b0）为奇数。(2)两整数a,b中若有一奇一偶；则它们和，差为奇数。积为偶数，商(存在ba，b为奇数)为偶数。(3)若两整数a,b（o除外）的和为奇数，则a,b有不同的奇偶性；若ab的积为奇数，则a,b同为奇数。(4)若两整数a,b的和为偶数，则a,b有相同的奇偶性。(5)奇数的乘方及连续乘积为奇数；偶数的乘方及连续乘积为偶数；若n个数的乘积为偶数，则它们之中有一个必然为偶数（逆定理亦成立）(6)奇数偶数。(7)对整数a,b。则a+b与a-b有相同的奇偶性。说明：对于以上的推论，均可把偶数表示成2m(mz)，奇数表示成2n+1(nz)的形式加以证明（从略）。

5、2. 定理及应用：（1） 对于一元二次方程+bx+c=o(ao)若a,b,c均为奇数且a=1，那么此方程无整数根。 证明：（反证法）若设有整数根,.由韦达定理：+= = b, = = c . 由= c为奇数知：,.均为奇数，则+= = b为偶数，则b为偶数，这已知b为奇数矛盾。 假设不成立，故此方程无整数根。（2） 在勾股定理+ = 中，若要求勾股数a,b,c（即a,b,c为正整数）那么a,b中至少有一正偶数。证:(反证法)下面我们来反设a,b都为正奇数的情况： 设a=2m+1,b=2n+1,(mmN) 则+ =+ =4+4m+2+4+4n =4(+m+n+)由分析：若a,b同为奇数，则，均为

6、奇数，+ = 为偶数。求算术平方根得c为偶数，则c中含因数2.则 中含因数4，但实际上 =4(+m+n+) 却不能被4整除，则这种结论不成立，所以a,b不能同为奇数。(3)这样，我们可以介绍发现一组或几组勾股数的一般方法：a,b中必有一偶数，不妨设b=2n（nN）联想+=2=2.则可按下列步骤进行：1由于+ = 中，a与c的奇偶关系有两种情况存在：（1）a为奇数，则c为奇数;(2) a为偶数，则c为偶数。（分析从略）联想m+t与mt （n,t）有相同的奇偶性，可令a= mt，c=m+t，则=，=，那么=4 mt ，由此b=2，但为了避免不是正整数的情况，可再次联想奇数的平方为奇数” “偶数的平

7、方为偶数”不影响a，c的奇偶性，可令a= ，c=，则b=4，所以b=2mt, (m,t)即b为偶数。2对比b=2 mt，与b=2n，于是得：（1）b为偶数，把b写成b=2n（nN）的形式，求出n的各个正约数(包括1和n)把相乘得n的两个约数编为一组。（2）可令m=，t=，（，N且=）不妨设m，t中较大的为m，较小的为t （m=t时划去这一组）用方法（1）（2）联合起来，可在已知2 mt时求得a=，c=的全部勾股值。3若已知，则a= ,可用方法（1）分解a的全部正约数对，相乘为a的编为一组，但两因数相同时即除去，设mt, (m,t),代入b=2 mt，c=可得。（2）应注意：求m,t时需解方程组

8、 其中，为a的不同正约数，且，的奇偶性不同时应舍去。4勾股数组的两种形式（1） ( m,t,mt,且mt为大于1的完全平方数)。 （2）( m,t,且mt),其中a,b的表达式可以互换.5.举例：已知下列勾股数中的一个，求另外两个。（1）a=4;(2)b=8.解：（1）a=4=2 2, 代入（2）式mt=2.求2的约数1,2.且21，m=2,t=1.b=3，c=5,所以这组勾股数组为：a=4, b=3,c=5. (2)b=8,代入(1)式，mt=16,mt,m=16,t=1;或m=8,t=2.即可分别求得勾股数组：a=15,b=8,c=17或a=6,b=8,c=10.(四)同余法及余数定理在整

9、除中的应用：1.余数问题 两整数a,b(a,b0)且除数大于1或小于-1时，若两整数不能整除时，必然会出现余数，记为R，令商为m ,则a,b的关系可表示为:a=bm+R,(a,m,RZ且b0)。 2.余数的有关定理及同余式表示一般地，在除数b为正整数时，余数R的取值范围是Ro,b),但在余数的应用和计算过程中暂且“看作”余数小于0或大于除数的情况，还可以把这个关系式用同余式表示为aR(mod b).利用同余式来计算余数会带来方便。有下面的： 同余定理：设a (mod b) , m (mod b) ,其中0 b, 0 b, 则：（1）a+m +(mod b) ；（2）a-m (mod b); （

10、3）am(mod b); (4)若n,aR(mod b),则 (mod b)。证：（1）由题意，a-0(mod b)及m-0(mod b)，设a=Ab+ ,m=Bb+(A,BZ)a+m= Ab+Bb+=(A+B)b+(+),其中A+BZ, a+m +(mod b). ( 2 ) 类似的，可证：a-m (mod b)（ 3 ）1先证明：若aR(mod b) ,则a- R(mod b)。证：aR(mod b) a=Ab+Ra=-Ab+(-R) a- R(mod b). 2再证明：am(mod b)。a (mod b) a=Ab+m (mod b) m=Bb+(A,BZ)则am= （Ab+）(Bb+

11、)=AB+Bb+Ab+=b(ABb+B+A)+ am(mod b). ( 4 ) aR(mod b) a=Ab+R (AZ),n时， = = =b 其中A,n,R,r都为正整数，且n r1. (mod b)。3. 余数的处理方法:由以上证明可知:两整数的和，差,积,乘方除以同一正整数b的余数，等于他们分别除以b的余数的和，差,积,乘方。这样，在整数除法中，余数可按整数运算做各种运算，但这样计算出来的余数可能不在o,b)，怎样把最终的余数计算到o,b)呢？（1）若余数Rb,则从R中减去b的正整数倍，使得Rb，（2）若余数R0，则从R中加上b的正整数倍，使得0R。4. 应用举例：例1：求证：能被3

12、7整除。 证明：设N= = 88888(mod 37) 77777(mod 37) N= （ （mod 37) （mod 37) 又10（mod 37) 10 （mod 37) N （mod 37) + （mod 37) 0 （mod 37)即 0 （mod 37) 能被37整除。例2：求证：X为奇数时， 1（mod 8)证：设X=2n+1（n Z）则=4+4n+1= 4 n（n+1）+1 n Z，则n与n+1必为连续整数，则n与n+1中必有一奇一偶，4 n（n+1）0 (mod 8)4+4n+11 (mod 8) 即 1（mod 8)。 例3：今天是星期五，再过天是星期几？解：= 1 (mo

13、d 7 ) 1 (mod 7 ) 再过天是星期六。例4: 若一正整数被2除余1，被5除余2，被7除余3，被9除余4，求这个最小的正整数M.解：由题意M1(mod 2 ) M2(mod5) M3(mod7) M4(mod 9 )又=3151(mod 2 ) =1261(mod 5 )12622(mod 5 ) =906(mod 7) 90424(mod 7) 3(mod7)=707(mod 9) 7074(mod 9) N=315+1262+904+707=1417.M= N-2=14172630=157例5：求证：对于任何整数X,Y,则2，或同时能被17整除，或同时不能被17整除。证：若172

14、，则整数m,使得17m=2( 1 )求方程（1）的整数解得 （ ， Z ）把方程的解代入多项式=9（）+=17（）这表明2的必要条件是17. ( 1 ) 若17.则整数n,使得17n=9x+ ( 2 ) 求方程（2）的整数解得 （，Z ）把此方程的解代入2得，2=+3（）=17（）这表明17 2的充分条件是：17 ( 2 )由( 1 )( 2 )可知：1717 2。即原命题得证。例6: 设p为奇质数，求方程+=的正整数解。（）解：+=2=（），若为整数，则2xy为正偶数，那么（）为偶数，由于p为奇质数，2不整除p 2，即为偶数令=2m, (mZ) 则，即=pm，由于mZ，p为质数，x, y中至