相似形和圆(中考专题复习)教学课件

1、 1.比例的基本性质及运用；比例的基本性质及运用； 2.相似三角形的性质和判定；相似三角形的性质和判定； 3.相似多边形及位似图形。相似多边形及位似图形。 与近几年各地的中考试卷相比，与近几年各地的中考试卷相比，2009年全国年全国 各地中考数学试卷对相似这个专题内容的考查总各地中考数学试卷对相似这个专题内容的考查总 体上呈现出紧扣体上呈现出紧扣标准标准、考查基础、注重联系、考查基础、注重联系、 学以致用等特点，其中的亮点阐释如下学以致用等特点，其中的亮点阐释如下: 1、紧扣、紧扣标准标准，考查基本知识、基本技能和基本，考查基本知识、基本技能和基本 数学思想方法；数学思想方法； 2、与其它知识

2、有机结合，考查综合应用知识解决问题、与其它知识有机结合，考查综合应用知识解决问题 的能力；的能力； 3、创设趣味情境，考查学生应用所学知识解决问题的、创设趣味情境，考查学生应用所学知识解决问题的 能力；能力； 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 例例1 如图，在长为如图，在长为8 cm、宽为、宽为4 cm的的 矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩 形（图中阴影部分）与原矩形相似，则形（图中阴影部分）与原矩形相似，则 留下矩形的面积是（留下矩形的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 c ,FEDB , AE AC DE BC AD AB 例例

3、2、如图，、如图，在一直线上，且在一直线上，且 写出图中所有的相似三角形。写出图中所有的相似三角形。 ACEABD EFCAFB BFCAFE ADEABC 解：解： PQMNNP, .12AD, 3:2:PNPQ PQMN 例例3：如图，矩形：如图，矩形的顶点的顶点分别分别 ACAB, MQ, BC,18BC 上，上，在在边上，边上， 若若求矩形求矩形 的长与宽。的长与宽。 在在 , xPQ , 2 3 xPN PQMNPNQM PNBC,BCAD PNAE ABCAPN 12 12 18 2 3 , x x AD AE BC PN 6x 9, 6PNPQ 解：设解：设 在矩形在矩形中，中，

4、 ,即即 9023ABCABBCADBCP ， 上，且满足且满足 例例4 已知已知 BD Q为线段为线段上的动点，点上的动点，点 在射在射 AB PQAD PCAB 线线 （如图（如图1所示）所示） A D P C B Q 图1 2AD Q B PC （1）当）当，且点且点 与点与点 重合时（如图重合时（如图2所示），所示）， 的长；的长；求线段求线段 DA P C B （Q） 图2 , 2 ABADDABD AD,BCPBCD ,PBCABD 90ABC 2 2 3 PC ,45PBC1 AB AD PC PQ ,PCPQ 45PBCC PQC 3BC 解：解： 为等腰直角三角形为等腰直角三

5、角形 根据勾股定理：根据勾股定理： （2）在图）在图1中，连结中，连结 AP当当 ，且点且点 Q在线段在线段 AB 上时，设点上时，设点 BQ、 之间的距离之间的距离 为为 x， APQ PBC S y S ，其中其中 APQ S表示表示 APQ的面积的面积， PBC S 表示表示 PBC的面积的面积， 求求 y关关 于于 x的函数解析式，并写出的函数解析式，并写出x的取值范围的取值范围 3 2 AD A D P C B Q 图1 ,APPBCPE 如图：连接如图：连接过点过点 作作 EABPF 于点于点 ，F 于点于点 , , PBEDPEBDAB,90 BEPDAB , 4 3 2 2 3

6、 AB AD EP EB ,3kEB ,4kEP kkPEBCS BPC 643 2 1 2 1 设设则则 kEBPF3 PEBC PFAQ S S y BPC APQ 2 1 2 1 xAQxBQ2, x k kx y 4 1 2 1 43 32 )20(x 例例5、在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同、在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同 一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量. .下面是下面是 他们通过测量得到的一些信息：他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图甲组：如图1 1，测得一根直立于平地，长为，测得一根直立于平地，长为80c

7、m80cm的竹竿的竹竿 的影长为的影长为60cm.60cm. 乙组：如图乙组：如图2 2，测得学校旗杆的影长为，测得学校旗杆的影长为900cm.900cm. 丙组：如图丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为 圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为，影长为 156cm. . 任务要求任务要求 （1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的 高度；高度； （2）如图）如图3，设太阳光线，设太阳光线NH M 与与相切于点相切于点. .请根请根 O 据甲、丙两组得到的

8、信息，求景灯灯罩的半径（友情据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情 提示：如图提示：如图3，景灯的影长等于线段，景灯的影长等于线段NG 222 156208260 D D F E 900cm 图图2 B C A 60cm 80cm 图图1 GH N E 156cm M E O E 200cm 图图3 K E 的影长；需要的影长；需要 ）. . 时可采用等式时可采用等式 90BACEDFBCAEFD ， ABCDEF ABAC DEDF ， 8060 900DE 解：（解：（1）由题意可知：）由题意可知： 即即 DE=1200（cm） 所以，学校旗杆的高度是所以，学校旗杆的高度是12m

9、D D F E 900cm 图图2 B C A 60cm 80cm 图图1 图图3 GH N 156cm M O 200cm K 解：由（解：由（1）知）知: 208, 156 6080 ,GN GNGH AC GN AB 260156208 22 NH 与与oo设设 的半径为的半径为 ，r NH 设设 相切，相切， ，NHOM 90HGNOMN ，HNGONMHGNOMN NH NO HG OM 260 8 156 rr 12r 答：景灯灯罩的半径是答：景灯灯罩的半径是12cm 连接连接OM 给学生的几点建议：给学生的几点建议： 1、落实基础知识是关键；、落实基础知识是关键； 2、注意应用意

10、识和能力的训练、注意应用意识和能力的训练 2、与圆有关的位置关系、与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系；）点与圆的位置关系； （2）直线与圆的位置关系；）直线与圆的位置关系； （3）圆与圆的位置关系。）圆与圆的位置关系。 3、圆中的计算、圆中的计算 （1）扇形的面积、弧长；）扇形的面积、弧长； （2）圆锥的侧面积和全面积。）圆锥的侧面积和全面积。 1、圆的相关概念与基本性质、圆的相关概念与基本性质 （1）弧、弦、弦心距；）弧、弦、弦心距； （2）圆周角、圆心角；）圆周角、圆心角； （3）圆的对称性。）圆的对称性。 与近几年各地的中考试卷相比，与近几年各地的中考试卷相比，2009年全国各地

11、中年全国各地中 考数学试卷对圆这个专题内容的考查总体上变化不大，考数学试卷对圆这个专题内容的考查总体上变化不大， 比较平稳，仍旧注重比较平稳，仍旧注重“双基双基”的考查。当然，也有一些的考查。当然，也有一些 令人耳目一新的创新性题目和题型，够成了一道亮丽的令人耳目一新的创新性题目和题型，够成了一道亮丽的 风景线，在这里分别结合以下几类综合题加以说明。风景线，在这里分别结合以下几类综合题加以说明。 1、圆与相似三角形综合题、圆与相似三角形综合题2、圆与三角函数综合题、圆与三角函数综合题 3、圆的证明与计算、圆的证明与计算4、圆的动点问题、圆的动点问题 证明：证明：AB是是 O的直径，的直径， A

12、CB=90， 又又CDAB于于D，BCD=A， A=F， F=BCD=BCG，在，在BCG 和和BFC中，中，BCGBFC 例例1 （湖北（湖北黄冈卷）如图，已知黄冈卷）如图，已知AB是是 O的直径，的直径， 点点C是是 O上一点，连结上一点，连结BC，AC，过点，过点C作直线作直线CDAB于于 点点D，点，点E是是AB上一点，直线上一点，直线CE交交 O于点于点F，连结，连结BF，与，与 直线直线CD交于点交于点G求证：求证：BC =BGBF 2 BFBGBC 2 BC BF BG BC 解：延长解：延长CG交交 O于点于点M, ,ABCM直径 BCBM ,MCBCFB 是公共角，又CBF

13、GCBCFB BFBGBC 2 BC BF BG BC 例例2 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,AE是角是角 平分线，平分线，BM平分平分ABC交交AE于点于点M,经过经过B,M两点两点 的的 O交交BC于点于点G,交交AB于点于点F,FB恰为恰为 O的直径的直径. （1）求证：）求证：AE与与 O相切；相切； （2）当）当BC=4,cosC= 1 3 时，求时，求 O的半径的半径. ， 证明：连结证明：连结，则，则 是角平分线，是角平分线， OMOB 12 OM BMABC平分平分 13 23 OMBC AMOAEB ABCABACAE AEBC 90AEB90AMO

14、OMAE AEO 在在中，中， 与与相切相切 ， O B G E C M A F 1 2 3 O B G E C M A F ABCABACAE 1 2 BEBCABCC ， ABE90AEB 6 cos BE AB ABC Or6AOr OMBCAOMABE OMAO BEAB 6 26 rr 3 2 r O 3 2 （2）解：在）解：在 中，中， ，是角平分线，是角平分线， 在在中，中， 设设的半径为的半径为 ，则 ，则 解得解得 的半径为的半径为 3 1 cos, 2ABCBE O B G E C M A F 1 2 3 , 3 1 cos, 4cBC 1 0 阴 S 3、已知：如图，、

15、已知：如图，ABC中，中，AC=BC，以，以BC为直径的为直径的 O交交AB于于E，过点，过点E作作EDAC于于D. （1）求证：）求证：AE=BE ; ED是是 O的切线的切线; （2）若）若BC=4，B=30，求 ，求 . ,OE ,ABCABCAC OBOE ABC 1 OEA ,1AC 解：（解：（1）连接）连接 的中点是的中点是AB,BCEo BEAE OE)2(,AC ACED EDOE ED是是 O的切线的切线; 中点，为连接ABEAC,BCEC,) 3( 302BECRtAB,CE中，在 2EC4,BC又 由勾股定理得：由勾股定理得： 32BE ACEDAE, 32 30BAR

16、中，在ADEt 1, 43,AD, 3DEDCBCAC又 3 2 3 312 2 1 2 1 SDECDOE OEDC梯形 3 2 360 460 360 2 Rn S EOC扇形 3 2 -3 2 3 S-S EOCOEDC 扇形梯形阴影 S ABCD,4,20cmBCcmAB PADCBAcm4 Q C CDscm/1P Q D tt APQD 例例4. 如图如图1：在矩形：在矩形中中, 点点 从从开始开始,沿折线沿折线 以以 /s/s的速度移的速度移 从从 开始开始, ,沿沿 边以边以的速度移动的速度移动, ,点点 和点和点 同时出发同时出发, ,当其中一点到达当其中一点到达时时, ,另

17、一点也随之停止另一点也随之停止 ( (单位单位:s),:s),问问 为何值时为何值时, ,四边形四边形 为矩形为矩形? ? 动动,点点 运动运动.(1)设运动时间为设运动时间为 P Q cm2t P Q (2)(2)如图如图2,2,如果如果 和和 的半径都是 的半径都是 , ,那么那么 为何值时为何值时, , 和和 外切 外切? ? 图图 1 图图 2 DQAP APQD tt 204 )(4 st 解解:(1):(1)当当时时, , 为矩形为矩形. . , ,解得解得 四边形四边形 ts4APQD 为为 为矩形为矩形. 时时, 四边形四边形 cmPQ4(2)(2)当当时时, ,两圆相切两圆相

18、切, ,应分三种情况讨论应分三种情况讨论. . PABAPQD 4PQ)(4 st 在在上上. .只有当四边形只有当四边形为矩形时为矩形时, , , ,对于这种情况由对于这种情况由(1)(1)得得 点点 PCD244,tCPtCQ 在在 上运动上运动. . 点点 4)244(tt )( 3 20 st 令令 P Q当点当点在点在点的右侧时的右侧时, , st4 s 3 20 s 3 28 综上所述综上所述, ,当当 、 时，两圆外切时，两圆外切. . 点点 PBCCQ PQCQ 在在上上. .此时此时 5,5, 5,5,故故 554,4,故两圆不可能外切故两圆不可能外切. . t P Q当点当

19、点在点在点的左侧时的左侧时, , )( 3 28 st , 4)244(tt令令 P Q cm2 cm3 tPQ 和和 的半径分别为的半径分别为 和和, ,那么那么 为何值时为何值时, , 和和 外切外切? ? (2)如果如果 解题反思解题反思: P Q 和和 外切的可能性进行探究外切的可能性进行探究; ; 情况对情况对 P(1)点点 有三种情况有三种情况,应根据不同的应根据不同的 给学生的几点建议：给学生的几点建议： 1、加强圆部分的数形结合思想的训练；、加强圆部分的数形结合思想的训练； 2、注意圆与各部分知识综合题型的训练；、注意圆与各部分知识综合题型的训练； 3、注意动点问题的训练；、注

20、意动点问题的训练； 4、注意结合实际生活背景的探究题的训练。、注意结合实际生活背景的探究题的训练。 结结 束束 （2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外 两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。简两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。简 称比例线段。已知四条线段称比例线段。已知四条线段 ,dcba如果如果 d c b a 或者或者 dcba:那么叫做成比例的项。比例两端的两项那么叫做成比例的项。比例两端的两项 , a d叫做比例外项，中间的两项叫做比例外项，中间的两项 cb,叫做比例内项，线段叫做比例内项，线段 d叫做叫做 ,cba的

21、第四比例项。当线段内项相同时，即的第四比例项。当线段内项相同时，即 c b b a 或或cbba: 那么线段那么线段 b叫做线段叫做线段 a和和 c的比例的比例 中项。中项。 （1）如果选用如果选用同一长度单位同一长度单位的两条线段的两条线段 , a b的长度分的长度分 nm, 。 amb n n m b a ，那么就说这两条线段的比是那么就说这两条线段的比是 ： 别为别为 （3）比例的性质）比例的性质 基本性质：基本性质： 0abcdbcad d c b a 合比性质：合比性质： d dc b ba d c b a 等比性质等比性质 ：)0(ndb n m d c b a b a ndb m

22、ca （4）在线段）在线段 AB上有一点上有一点 ,C若若 ACBCABAC:，则点，则点 C就是就是 AB的黄金分割点。的黄金分割点。 AC与 与AB的比叫做黄金比。的比叫做黄金比。 （1）相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成）相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成 比例的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形对应边比例的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形对应边 的比叫做相似比。的比叫做相似比。 （2）相似三角形判定相似三角形判定 一般三角形一般三角形直角三角形直角三角形 两角对应相等两角对应相等一个锐角相等一个锐角相等 两边对应成比例，两边对应成比例， 相应的相应的夹角夹角相

23、等相等 两边两边对应对应成比例成比例 三边对应成比例三边对应成比例 相似三角形性质相似三角形性质 1、对应角相等；、对应角相等； 2、对应高、对应角平分线和对应中线的比都等于相似比；、对应高、对应角平分线和对应中线的比都等于相似比； 3、周长的比等于相似比，、周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方面积的比等于相似比的平方。 （3） （1）定义：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边）定义：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边 形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。 （2）相似多边形的性质：相似多边形周长的比等于相似）相似多边

24、形的性质：相似多边形周长的比等于相似 比；面积比等于相似比的平方。比；面积比等于相似比的平方。 （3）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形， 而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的 两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的 相似比又称为位似比。相似比又称为位似比。 圆的有关概念圆的有关概念 （1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所 有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长有点组成

25、的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长 为半径。为半径。 （2）弦：连接圆上两点的线段叫做弦，直径是过圆）弦：连接圆上两点的线段叫做弦，直径是过圆 心的弦，也是圆中最长的弦。心的弦，也是圆中最长的弦。 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧， 大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。 （4）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 （5）圆心角：顶点在圆心，角两边与圆相交的角叫）圆心角：顶点在圆心，角两边与圆相交的角叫 做圆心角。做圆心角。 （6）圆周角：顶点在圆上，

26、角两边与圆相交的角叫）圆周角：顶点在圆上，角两边与圆相交的角叫 做圆周角做圆周角 圆的有关性质圆的有关性质 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的 直线；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。直线；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。 （2）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧。分弦所对的弧。 推论：平分弦（不是直径）的直经垂直于弦，并且平推论：平分弦（不是直径）的直经垂直于弦，并且平 分弦所对的弧。分弦所对的弧。 （3）在同圆或等圆中在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两，如

27、果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两条弦的弦心距中的一组量相等，其余各组量都条弦、两条弦的弦心距中的一组量相等，其余各组量都 分别相等。分别相等。 （4）圆周角定理及其推论：）圆周角定理及其推论： 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周直径所对的圆周 角是直角；角是直角； 0 90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。 三角形的内心和外心三角形的内心和外心 （1）确定圆的条件：过）确定圆的条件：过不在同一直线上不在同一直线上的三点确的三点确 定一个圆。定一个圆。 （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆， 这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形 的三边中垂线的交点，叫做三角形的外心。的三边中垂线的交点，叫做三角形的外心。 （3）三